- •Міністерство освіти і науки України
- •Сумський державний університет
- •Конотопський інститут
- •Методичні вказівки
- •Завдання для практичних робіт
- •Тема 1. "Побудова математичних моделей задач лінійного програмування". Задача 1.
- •Задача 2.
- •Задача 3.
- •Задача 4.
- •Задача 5.
- •Задача 6.
- •Задача 7.
- •Задача 8.
- •Приклади розв’язування задач.
- •Задача 1.
- •Задача 2.
- •Задачі для самостійної роботи.
- •Задача 1.
- •Задача 2
- •Задачі для самостійної роботи.
- •Тема: "Транспортна задача. Метод потенціалів" Задача 1
- •Задача 2
- •Тема. Метод множників Лагранжа до задач нелінійного програмування (знп), система умов якого включає й обмеження нерівності.
- •Розрахункова робота №1 (рр) з "Економіко-математичного моделювання"
Задача 2.
Знайти мінімальне і максимальне значення функції мети z при наявності системи обмежень:
Z= -2x1 + 4x2 +8 extr;
Розв‘язання:
1. Будуємо граничні прямі:
I: -5x1 + 2x2 = 7;
x1 = 0; x2 =3,5; (0; 3,5);
x2 = 0; x1 = -1,4; (-1,4; 0);
II: x1 -2x2 =5;
x1 = 0; x2 = -2,5; (0;-2,5);
x2 = 0; x1 = 5; (5; 0);
III: x1 + x2 = 2;
x1 = 0; x2 = 2; (0;2);
= 0; x1 = 2; (2;0);
IV: x1 + x2 = 6;
x1 = 0; x2 = 6; (0; 6);
x2 = 0; x1 = 6; (6; 0);
V: x1 = 0;
VI: x2 = 0;
2. Будуємо багатокутник розв’язків – ABCDEF.
3. Будуємо вектор мети
4. Проводимо лінії рівняння перпендикулярно Мінімуму можуть відповідати точки E і F, а максимуму точка A.
5. Визначаємо координати точок:
E: IIVI:;
Z min =
F: IIIV:
Z min =
A: IIV:
Z max =
Відповідь: на планах EF з координатамипри плані
Задачі для самостійної роботи.
Розв’язати графічно ЗЛП:
1. 2.
Відповідь: Відповідь:
3. 4.
Відповідь:Відповідь:
5. 6.
Відповідь: Відповідь:
7. 8.
Відповідь:Відповідь:
9. 10.
Відповідь: Відповідь:
Тема : "Розв’язування ЗЛП симплекс-методом"
Задача 1.
На виготовлення двох видів продукції виділяється три види ресурсів. Запаси ресурсів: 99, 74 і 101 у.о. відповідно до норми їх витрат: 3 і 2 у.о. – 1 ресурсу; 2 і 2 у.о. – 2 ресурсу; 1 і 2 у.о. – 3 ресурсу відповідно на одиницю продукції кожного виду і прибуток 14 і 12 у.о. від реалізації одиниці продукції кожного виду відповідно. Знайти симплекс-методом такий план виробництва, який забезпечував би найбільший прибуток. Скласти подвійну задачу до вихідної і виписати її оптимальний план з останньої симплекс-таблиці розв‘язку вихідної задачі.
Розв‘язання:
Відповідно до умови задачі отримаємо таку математичну модель:
(1)
Канонічний вид задачі (1):
Опорний розв’язок, наприклад, можна отримати при . Тоді, тобто
Основна матриця системи обмежень:
. Ранг матриці А дорівнює тому, що, наприклад, визначник
Так як кількість додатних координат опорного розв’язку дорівнює рангу матриці А, то даний опорний розв’язок є невиродженим. Базис складають вектори Базисна матриця має вигляд:
. Обернена матриця .
Розкладаємо небазисні вектори А1, А2 по векторам базису Для скорочення запису зробимо це у вигляді однієї матричної формули:
Запишемо симплекс-таблицю, яка відповідає даному опорному розв’язку:
-
№
Базис
Сі
базис
14
12
0
0
0
Ci
1
0
99
3
2
1
0
0
2
0
74
2
2
0
1
0
3
0
101
2
3
0
0
1
4
0
-14
-12
0
0
0
Обчислимо значення функції мети:
Оцінки:
Так як оцінки івід’ємні:0 і0, то даний опорний розв’язок не оптимальний. В базис вводимо вектор, бо його оцінканайменша із від’ємних. Із базиса виводимо вектор, бо відношення координат стовпчикадо стовпчика: 99/3 = 33; 74/2 = 37; 101/2 = 50,5 – найменше із додатних для вектора. Розрахунковий елемент “3” отримаємо на перетині продовжень стрілок.
Обчислюємо нові елементи симплекс-таблиці, яка відповідає новому опорному розв’язку. Елементи рядка, який містить розрахунковий елемент ділимо на нього. Інші елементи таблиці отримаємо за правилом “хрест-на-хрест”. Наприклад, для нового значення в клітині з числом 74 маємо:і т. д. Нова симплекс-таблиця, яка відповідає новому опорному розв’язку має вид:
-
№
Базис
Сі базис
14
12
0
0
0
Сі
1
14
33
1
2/3
1/3
0
0
2
0
8
0
2/3
-2/3
1
0
3
0
35
0
5/3
-2/3
0
1
4
462
0
-8/3
14/3
0
0
Так як оцінка від’ємна:0, то даний опорний розв’язок не оптимальний. В базис вводимо вектор, бо його оцінка0. Із базиса виводимо вектор, тому що відношення координат стовпчикадо стовпчика: 33: 2/3 = 49,5; 8: 2/3 = 12; 35: 5/3 = 21 – найменше із додатних для вектора. Розрахунковий елемент “2/3” отримаємо на перетині продовжень стрілок. Аналогічно попередньому отримаємо нову симплекс-таблицю, яка відповідає новому опорному розв’язку.
№
|
Базис |
Сі базис |
14 |
12 |
0 |
0 |
0 |
Сі | |
| |||||||||
1 |
14 |
25 |
1 |
0 |
-1 |
-1 |
0 |
| |
2 |
12 |
12 |
0 |
1 |
-1 |
3/2 |
0 |
| |
3 |
0 |
15 |
0 |
0 |
1 |
-5/2 |
1 |
| |
4 |
|
|
494 |
0 |
0 |
2 |
4 |
0 |
|
Обчислимо значення функції мети:
Оцінки:
Так як всі оцінки невід’ємні, то даний опорний розв’язок оптимальний:
Z max = 494 при плані .
Подвійна задача до (1):
min,
Із останньої симплекс-таблиці:
тоді
чого й треба було чекати.
Відповідь: при.