Частина 1 2

121

тіло впаде на Землю; швидкість тіла в момент приземлення; кут, який утворює траєкторія тіла з горизонтом в точці його падіння.

Відповідь: t = 4,64 с; S = 65,7 м; υ =34,4 м/с; α = 65,70.

16 Рівняння руху двох матеріальних точок мають вигляд

x = (t + 4t2	− 3t3 ) м і	x	2	= (t − 2t2	+ t3 ) м. Визначити момент
1

часу, при якому прискорення цих точок будуть рівні. Відповідь: t = 0,5 с.

17 По краю платформи, що рівномірно обертається з кутовою швидкістю ω =1 рад/с, йде людина і обходить платформу за час t =9,9 с. Яким є найбільше прискорення a руху людини відносно Землі? Радіус платформи R =2 м.

Відповідь: a = 5,34 м/с2.

18 Точка рухається по колу радіусом R =30 см із сталим кутовим прискоренням ε . Визначити тангенціальне

прискорення aτ точки, якщо відомо, що за час t =4 с вона зробила три оберти і наприкінці третього оберту її нормальне прискорення an =2,7 м/с 2 .

Відповідь: aτ =-0,26 м/с2.

19 Колесо обертається із сталим кутовим прискоренням ε = 2 с-2. Через 0,5 с після початку руху повне прискорення колеса дорівнює a = 0,136 м/с2. Визначити радіус колеса.

Відповідь: R = 0,061 м.

20 Диск радіусом	r = 0,1 м почав обертатися із сталим
кутовим прискоренням	ε = 0,5 с-2. Знайти нормальне,

тангенціальне і повне прискорення точок на ободі диска через дві секунди після початку руху.

Відповідь: a	n	=	0,1 м/с2; a	= 0,05 м/с2; a = 0,11 м/с2.
			τ
21 Обертання			колеса	описується	рівнянням
ϕ = (6t − 2t3 ) рад.		Визначити:		середнє значення кутової

швидкості і кутового прискорення за проміжок часу від початку руху до зупинення; кутове прискорення в момент зупинення.

Відповідь: ω =3 с-1; ε = 6 с-2; ε =-12 с-1.

22 Вентилятор обертається зі швидкістю N=900 обертів за хвилину. Після вимикання вентилятор зробив до зупинення 75

122

обертів. Скільки часу пройшло з моменту вимикання вентилятора до його зупинення?

Відповідь: t = 10 с.

23 Вал робить 180 обертів за одну хвилину. З певного моменту вал починає гальмувати і обертається рівносповільнено з кутовим прискорення ε = -3 с-2. Через який час вал зупиниться? Скільки обертів зробить вал до зупинення?

Відповідь: t = 6,3 с; N = 9,4.

24 Автомобіль, що рухався зі швидкістю υ = 14 м/с був зупинений гальмуванням. За час гальмування до зупинення він пройшов шлях S = 35 м. Визначити кутове прискорення коліс під час гальмування, обертання коліс за час гальмування та час

гальмування, якщо діаметр	колеса	автомобіля	дорівнює
D = 0,7 м.
Відповідь: ε = -8 c-2; ϕ = 100 рад; t		= 5 с.
25 Місяць обертається	навколо	Землі з	періодом

T = 27 діб. Середній радіус орбіти Місяця складає R = 4×105 км. Знайти лінійну швидкість руху Місяця навколо Землі та його нормальне прискорення.

	Відповідь:υ = 1,08·103 м/с; an = 2,9 10-3 м/с2.
	26 Нормальне прискорення точки, яка рухається по колу
радіусом		r = 4	м,	описується рівнянням			an = (1+ 6t + 9t2 ) м/с2.
Визначити: шлях, пройдений точкою за							t = 5	с після початку
руху, тангенціальне прискорення точки.
	Відповідь: S = 85 м; a				= 6 м/с2.
	27			τ
		Матеріальна точка			починає	рух по		колу радіусом
r = 0,125		м	із	сталим	тангенціальним			прискоренням
aτ	= 0,005 м/с2. Визначити: час, при якому вектор прискорення
a	утворює з		вектором швидкості			υ	кут	α = 450; шлях,
пройдений точкою за цей час.
	Відповідь: t = 5 с; S = 0,0625 м.
	28	Канатний шків			станка-качалки			нафти радіусом
r = 0,2 м обертається згідно					з рівнянням		ϕ = (- t + 0,1×t2 ) рад.

Знайти тангенціальне, нормальне і повне прискорення точок на ободі шківа для моменту часу t = 10 с.

123

Відповідь: aτ = 0,04 м/с2; an = 0,2 м/с2; a = 0,204 м/с2.

29 Колесо обертається зі сталим кутовим прискоренням ε = 2 с-2. Через τ = 0,5 с після початку руху повне прискорення колеса стало дорівнювати a = 0,136 м/с2. Визначити радіус колеса.

Відповідь: R = 0,061 м.

30 За яку секунду від початку руху шлях, пройдений тілом під час рівноприскореного руху, втроє більше шляху, пройденого за попередню секунду. Рух відбувається без

початкової швидкості. Відповідь: за другу.

31 На горизонтальному столі стоїть візок масою m1 = 4 кг. До візка прив'язаний один кінець шнура, перекинутого через блок, другий кінець шнура звисає вертикально. З яким прискоренням а буде рухатися візок, якщо до цього кінця шнура прив'язати гирю масою m2 = 1 кг. Тертям та масою блока знехтувати.

Відповідь: а=1,96 м/с2.

32 Похила площина, що утворює кут α = 250 із горизонтом, має довжину l = 2 м. Тіло, рухаючись рівноприскорено, зісковзнуло з цієї площини за час t =2 с. Знайти коефіцієнт тертя μ тіла об площину.

Відповідь: μ =0,35.

33 Матеріальна точка масою т = 2 кг рухається під дією деякої сили F згідно з рівнянням х = А + Bt + Сt2 + Dt3, де С = =1 м/с2, D = - 0,2 м/с3. Знайти значення сили в моменти часу t1= =2 с і t2= 5 с. У який момент часу сила дорівнює нулю?

Відповідь: F1=-0,8 Н; F2=-8 Н; F=0, при t = 1,67 c.

34 Катер масою т = 2 т починає рухатися і протягом часу

τ = 10 с	розвиває при русі по спокійній воді швидкість υ =
=4 м/с.	Визначити силу тяги F мотора, вважаючи її сталою.

Силу опору Fc руху вважати пропорційною швидкості; коефіцієнт опору k = 100 кг/с.

Відповідь: F=1,03 кН.

35 Диск радіусом R = 40 см обертається навколо вертикальної осі. На краю диска лежить кубик. Беручи

124

коефіцієнт тертя μ = 0,4, знайти частоту ν обертання, при якій

кубик зісковзне з диска. Відповідь: ν =0,5 с-1.

36 До шнура підвішена гиря масою m. Гирю відвели убік так, що шнур набув горизонтального положення, і відпустили. Чому дорівнює сила Т натягу шнура в момент, коли гиря проходить положення рівноваги?

Відповідь: Т=3mg.

37 Яку найбільшу швидкість υ max може розвинути велосипедист, проїжджаючи заокруглення радіусом R = 50 м, якщо коефіцієнт тертя ковзання між шинами і асфальтом

дорівнює	μ =0,3?	Який кут φ відхилення велосипеда від
вертикалі, коли велосипедист рухається по заокругленню?
Відповідь: υ max= 12,1 м/с; φ=16042`.
38	Сила F	надає тілу масою	m1 прискорення
a = 2 м / с2	. Та сама сила тілу масою m		надає прискорення
1		2

a2 = 3 м / с2 . Яке прискорення надасть ця сила цим тілам, якщо їх з’єднати?

Відповідь: a = 1,2 м / с2 .

39 На гладкому горизонтальному столі лежить брусок масою m = 4 кг. До бруска прив'язані два шнури, перекинуті через нерухомі блоки, прикріплені до протилежних країв столу. До кінців шнурів підвішені гирі, маса яких m1 =1 кг і m2 = 2 кг. Знайти прискорення a, з яким рухається брусок, і силу T натягу кожного зі шнурів. Масою блоків і тертям знехтувати.

Відповідь: a=1,4 м/с2; T1=11,2 Н; T2=16,8 Н.

40 Шайба, пущена по поверхні льоду з початковою швидкістю υ0 = 20 м/с, зупинилася через t = 40 с. Знайти коефіцієнт тертя μ шайби об лід.

Відповідь: μ =0,051.

41 По похилій площині з кутом нахилу α = 300 тіло рухається вниз без прискорення. З яким прискоренням те саме тіло буде рухатись по тій самій площині, якщо кут нахилу буде

β = 450 ?

Відповідь: a = 2,94 м/с2.

125

42 Тіло лежить на похилій площині, що складає з

горизонтом кут α = 40 . При якому мінімальному значенні коефіцієнта тертя тіло почне сповзати з площини?

Відповідь: μ = 0,07 .

43 Акробат на мотоциклі описує «мертву петлю» радіусом r = 4 м. З якою найменшою швидкістю υ min повинен проїжджати акробат верхню точку петлі, щоб не зірватися?

Відповідь: υ min= 6,26 м/с.

44 Тягарець, прив'язаний до нитки довжиною l = 1 м, описує коло у горизонтальній площині. Визначити період Т обертання, якщо нитка відхилена на кут φ = 600 від вертикалі.

Відповідь: Т=1,42 с.

45 Маса ліфта з пасажирами дорівнює M = 800 кг. Визначити, з яким прискоренням і в якому напрямку рухається ліфт, коли відомо, що натяг троса, на якому тримається ліфт,

дорівнює: 1) 12000 Н, 2) 6000 Н.

Відповідь: a1 = 5,2 м/с2, ліфт піднімається; a2 = -2,3 м/с2,

ліфт опускається.

46 З яким прискоренням рухається тіло по похилій

площині, що складає з горизонтом кут α = 40 при коефіцієнті тертя, який дорівнює 0,03?

Відповідь: a ≈ 0,4 м/с2.

47 За який час тіло, спускаючись з гори, кут нахилу якої до горизонту складає α = 40 при коефіцієнті опору, який дорівнює μ =0,03, пройде шлях S = 100 м?

Відповідь: t = 23 с.

48 Через блок перекинута нитка, до кінців якої підвішені вантажі m1 = 2 кг і m2 = 2,1 кг. Початкові швидкості вантажів дорівнюють нулю. Яким буде переміщення вантажів за час t = 2 с? Яка сила натягу нитки? Масою нитки і тертям у блоці знехтувати.

Відповідь: T = 20,1 Н.

49 На похилій площині, що утворює з горизонтом кут α = 300, знаходиться тіло масоюm1 = 2 кг (рис. 27). Тіло

рухається вгору по похилій площині під дією зв'язаного з ним невагомою і нерозтяжною ниткою, перекинутою через блок,

126

вантажу масою m2 = 20 кг. Початкові швидкості тіла і вантажу дорівнюють нулю, коефіцієнт тертя тіла μ =0,1. Визначити

прискорення, з яким рухається тіло, і силу натягу нитки. Блок вважати невагомим, тертям знехтувати.

				m2
α	m1

Рисунок 27

Відповідь: a = 13,2 м/с2; T = 28,2 Н.

50 Тіло масою m = 2 кг здійснює прямолінійний рух, що

описується рівнянням S = A − Dt + Ct 2 − Dt3 . Вважаючи, що С = =2 м/с2, D = 0,4 м/с3, визначити силу, яка діє на тіло через 1 с після початку руху.

Відповідь: F = 3,2 Н.

51 До стелі рухомого ліфта на нитці підвішене тіло масою m = 0,5 кг. Визначити силу натягу нитки під час руху

ліфта вгору з прискоренням a = 2 м/с2;		вниз із прискоренням
a = 2 м/с2.	= 5,9 Н; T2 = 3,9 Н.
Відповідь: T1
52 Два тіла	масою m1 = 0,5 кг	і m2 = 0,7 кг, зв'язані

невагомою і нерозтяжною ниткою, лежать на горизонтальній площині (рис. 28). До першого тіла прикладена горизонтально напрямлена сила F = 6 Н. Нехтуючи тертям, знайти: прискорення тіл; силу натягу нитки.

Відповідь: a = 5 м/с2; T = 3,5 Н.

m1 m1 F

Рисунок 28

127

53 Невагомий блок закріплено на вершині двох похилих площин, які утворюють кут α = 300 і β = 450 з горизонтом (рис. 29). Через блок перекинуто нитку, до кінців якої прикріплені тіла масою m1 = 0,45 кг і m2 = 0,5 кг. Нехтуючи тертям, знайти:

прискорення, з яким рухаються тіла; силу натягу нитки. Відповідь: a = 1,33 м/с2; T = 2,8 Н.

	m2
α	m1 β1

Рисунок 29

54 Куля масою m = 45 кг обертається на нерозтяжній дротині довжиною l = 5 м в горизонтальній площині, здійснюючи n = 16 об/хв. Який кут α з вертикаллю утворює дротина і яка сила її натягу?

Відповідь: α = 450; Т = 630 Н.

55 Тіло масою m = 104 кг тягнуть по похилій площині довжиною l = 6 м на висоту h = 1,5 м. Знайти найменшу силу тяги, якщо коефіцієнт тертя між тілом та площиною дорівнює

μ = 0,35.
Відповідь: T=58 кН.
56	На	тіло масою	m = 10 кг, яке	лежить на похилій
площині,	що	утворює	кут α = 200	з горизонтом, діє

горизонтально напрямлена від площини сила F = 8 Н. Нехтуючи тертям, знайти: прискорення тіла; силу тиску тіла на площину.

Відповідь: a=4,11 м/с2; N= 89,4 Н.

57 Вагон масою m = 1000 кг спускається по канатній залізничній дорозі з нахилом α = 150 до горизонту (див. рис. 30). Визначити силу натягу Т каната при гальмуванні вагона в кінці спуску, якщо швидкість вагона перед гальмуванням υ0 = 2,5 м/с,

час гальмування t = 6 с, а коефіцієнт тертя μ = 0,05. Відповідь: 2480 Н.

128

T

υ

m

α

Рисунок 30

58 До кронштейна, закріпленого на візку, підвішена на нитці куля масою m = 5 кг. На який кут відхилиться куля з ниткою від вертикалі при русі візка з прискоренням a = 0,5 м/с2?

Відповідь: α = 2054′ .

59 Куля масою m = 0,01 кг вилітає із ствола рушниці зі швидкістю υ = 875 м/с. Визначити середню силу тиску порохових газів та час руху кулі у стволі, якщо його довжина дорівнює l = 1,2 м.

Відповідь: F = 3,19 кН; t = 0,0028 с.

60 Літак летить зі швидкістю υ = 100 м/с і описує вертикальну петлю Нестерова радіусом R = 360 м. Знайти силу, яка притискує льотчика масою m = 80 кг до сидіння: у нижній точці петлі; у верхній точці цієї петлі.

Відповідь: N1 = 3 кН; N2 = 1,44 кН.

61 Снаряд, що летів зі швидкістю υ =400 м/с, у верхній точці траєкторії розірвався на два осколки. Менший осколок, маса якого складає 40% від маси снаряда, полетів у протилежному напрямку зі швидкістю u1 =150 м/с. Визначити

швидкість u2 більшого осколка. Відповідь: u2 =770 м/с.

62 Куля масою m1 =5 кг рухається зі швидкістю υ1 =1 м/с і зіштовхується з кулею, яка знаходиться у стані спокою, масою m2 =2 кг. Визначити швидкість u1 і u2 куль після удару. Удар вважати абсолютно пружним, прямим, центральним.

Відповідь: u1 =0,43 м/с; u2 =1,43 м/с. Напрямки руху протилежні.

129

63 Куля масою m1 =4 кг рухається зі швидкістю υ1 =5 м/с і зіштовхується з кулею масою m2 =6 кг, що рухається їй назустріч зі швидкістю υ2 =2 м/с. Визначити швидкості υ1 і υ2

куль після удару. Удар вважати абсолютно пружним, прямим, центральним.

Відповідь: u1 =3,4 м/с; u2 =3,6 м/с. Напрямки руху

протилежні.

64 З гармати, що не має противідкатного пристрою, стріляють в горизонтальному напрямку. Коли гармата нерухомо закріплена, снаряд вилітає зі швидкістю υ1 = 600 м/с, а коли

гармата відкочується назад, швидкість снаряда складає υ2 =

=580 м/с. З якою швидкістю відкотилася при цьому гармата? Відповідь: u = 41 м/с.

65 Куля масою т1 = 10 кг, що рухається зі швидкістю υ1 = = 4 м/c, зіштовхується з кулею масою т2 = 4 кг, швидкість якої дорівнює υ2 =12 м/с. Вважаючи удар прямим, непружним,

знайти швидкість u куль після удару в двох випадках: а) мала куля доганяє велику кулю; б) кулі рухаються назустріч одна одній.

Відповідь: u1 = 6,29 м/с; u2 = -0,57 м/с.

66 На підлозі стоїть візок у вигляді довгої дошки з легкими колесами. На одному кінці дошки стоїть людина. Маса людини М = 60 кг, маса дошки т = 20 кг. З якою швидкістю u (відносно підлоги) буде рухатися візок, якщо людина піде вздовж дошки зі швидкістю (відносно дошки) υ = 1 м/с? Масою коліс знехтувати. Тертя у втулках не враховувати.

Відповідь: u2 = 0,575 м/с.

67 У човні масою т1 = 240 кг стоїть людина масою m1 = =60 кг. Човен пливе зі швидкістю υ 1= 2 м/с. Людина стрибає з човна в горизонтальному напрямку зі швидкістю υ = 4 м/с (відносно човна). Знайти швидкість u руху човна після стрибка людини в двох випадках: а) людина стрибає вперед за рухом човна; б) у бік, протилежний руху човна.

Відповідь: u1 = 1 м/с; u2 = 3 м/с.

130

68 На підлозі стоїть візок у вигляді довгої дошки з легкими колесами. На одному кінці дошки стоїть людина. Маса людини М = 60 кг, маса дошки т = 20 кг. Знайти, на яку відстань: а) пересунеться візок, якщо людина перейде на інший кінець дошки; б) переміститься людина відносно підлоги; в)

переміститься центр мас системи візок -		людина відносно
підлоги. Довжина дошки дорівнює	l = 2	м. Масою коліс
знехтувати. Тертя у втулках не враховувати.
Відповідь: L1 = 1,5 м; l1 = 0,5 м; l2	= 1,5 м.

69 На залізничній платформі встановлена гармата. Маса платформи із гарматою М = 15 т. Гармата стріляє вгору під кутом φ = 600 до горизонту в напрямку рейок. З якою швидкістю υ1 покотиться платформа внаслідок віддачі, якщо маса снаряда

т = 20 кг і він вилітає зі швидкістю υ2 = 600 м/с?

Відповідь:υ1 = 0,575 м/с.

70 У стоячій воді знаходиться нерухомий човен масою

M = 140 кг. Людина масою m = 60 кг стоїть у човні і переходить

зноса на корму. При цьому човен перемістився на відстань l = 1,2 м. Знехтувавши опором води, визначити довжину човна.

Відповідь:	L = 4 м.
71 На	човні масою M = 4500 кг встановлено

горизонтальний брандспойт, що викидає зі швидкістю υ = 6 м/с відносно човна назад 25 кг/с води. Знехтувавши опором рухові човна, визначити: швидкість човна через t = 180 с після початку руху; максимально можливу швидкість човна.

Відповідь: u = 3,8 м/с; umax = 6 м/с.

72 Платформа з піском загальною масою M=2 т стоїть на рейках на горизонтальній ділянці шляху. У пісок потрапляє снаряд масою m=8 кг і застрягає у ньому. Нехтуючи опором, визначити, з якою швидкістю буде рухатися платформа, якщо у момент попадання швидкість снаряда υ =450 м/с, а її напрямок – зверху вниз під кутом α = 300 до горизонту.

Відповідь: u = 1,55 м/с.

73 Два однакових візки масою M кожний рухаються за інерцією (без тертя) один за одним зі швидкістю υ0 . У деякий