Частина 1 2

131

момент часу людина масою m, що знаходилася на задньому візку, плигнула на передній зі швидкістю u відносно свого візка. Визначити швидкість υ1 переднього візка після стрибка.

r r mM r

Відповідь: υ1 =υ0 + (m + M )2 u .

74 Ракета із стартовою масою M=1000 кг запущена з поверхні Землі вертикально вгору і піднімається з прискоренням 2g. Відносна швидкість витікання продуктів згорання υ= =1200 м/с. Паливо повністю згорає протягом t=8 с. Знайти витрату палива та його масу.

Відповідь: DmDt =24,5 кг/с; m=188 кг.

75 Два легкі візки масою m1 і m2= 2m1 відповідно з’єднанні між собою стиснутою, зв’язаною ниткою, пружиною. Після перепалювання нитки пружина випрямляється і візки роз’їжджаються у різні боки. Вважаючи коефіцієнт тертя для обох візків однаковим, визначити: 1) відношення швидкостей

руху візків		υ1 ;	2)	відношення				часів, протягом			яких візки
	t1	υ2							S1
рухаються		; 3) відношення пройдених шляхів								.
	t2
			υ1		t1		S1		S2
Відповідь:				=2;		=2;		=4.
							S2
			υ2		t2
76 Яку роботу треба виконати, щоб за час τ											піднятися

нагору по ескалатору, що рухається вниз зі швидкістю υ , якщо висота підйому h, а кут нахилу ескалатора до горизонту α .

æ	h		ö
Відповідь: A = ç			+υτ ÷mg sin α .
		α
è sin			ø

77 Куля масою m1 = 2 кг зіштовхується з кулею, що знаходиться у стані спокою, більшої маси і при цьому втрачає 40% кінетичної енергії. Визначити масу m2 більшої кулі. Удар вважати абсолютно пружним, прямим, центральним.

Відповідь: m2 =15,7 кг.

78	Налетівши	на	пружинний буфер, вагон масою
m = 16 т,	що рухався	зі	швидкістю υ = 0,6 м/с, зупинився,

132

стиснувши пружину на l = 8 см. Знайти загальну жорсткість k пружин буфера.

Відповідь: k =900 кН/м.

79 Куля масою m1, що летить зі швидкістю υ1 = 5 м/с, ударяє нерухому кулю масою m2. Удар прямий, непружний. Визначити швидкість u куль після удару, а також частину ω кінетичної енергії першої кулі, яка витрачається на збільшення внутрішньої енергії цих куль. Розглянути два випадки: а) m1 =

=2 кг, m2 = 8 кг; б) m1 = 8 кг, m2 = 2 кг.

Відповідь: u1 = 1 м/с; ω1 = 0,8; u2 = 4 м/с; ω2 = 0,2.

80 У балістичний маятник масою М = 5 кг потрапила куля масою m = 10 г і застрягла в ньому. Знайти швидкість υ кулі, якщо маятник, відхилившись після удару, піднявся на висоту h = 10 см.

Відповідь:υ = 700 м/с.

81 Молот масою m1 = 5 кг ударяє невеликий шматок заліза, що лежить на ковадлі. Маса ковадла дорівнює m2=100 кг. Масою шматка заліза знехтувати. Удар непружний. Визначити ККД η удару молота за даних умов.

Відповідь: η = 0,95.

82 Гелікоптер масою M = 3000 кг витрачає на піднімання 30% потужності двигуна. Визначити потужність двигуна гелікоптера, якщо він може піднятися на висоту H = 1500 м за t = 120 с. Рух гелікоптера вважати рівномірним.

Відповідь: N = 1,23×106 Вт.

83 Тіло масою m = 0,2 кг, яке кинули під кутом α = 600 до горизонту, впало на землю через 2 с на відстані l = 10 м від місця кидання. Визначити роботу, виконану при киданні, потенціальну і кінетичну енергію тіла у найвищій точці траєкторії. Опором повітря знехтувати.

Відповідь: A = 10 Дж; En = 7,5 Дж; Ek = 2,5 Дж.

84 Куля масою m = 10 г, що летить горизонтально зі швидкістю υ = 300 м/с, потрапляє у підвішений на нитках дерев’яний брус масою M = 6 кг і застряє в ньому. Визначити, на яку висоту підніметься брус.

Відповідь: h = 13 мм.

133

85 Тіло масою m = 1 кг рухається під дією деякої сили

так, що залежність пройденого	шляху від часу описується
рівнянням S = A − Bt + Ct2 − Dt3 ,	де В = 3 м/с, С = 5 м/с2, D =

=1 м/с3. Визначити потужність сили в момент часу t = 1 с. Відповідь: N = 16 Вт.

86 Тіло, падаючи з деякої висоти, в момент падіння на землю мало імпульс p = 100 кгм/с і кінетичну енергію

Ek = 500 Дж. Визначити, з якої висоти падало тіло, а також його

масу.

Відповідь: h = 5,1 м; m = 10 кг.

87 Тіло масою m = 0,4 кг спускається з похилої площини висотою h = 0,1 м і довжиною l = 1 м, після чого рухається по горизонталі. Коефіцієнт тертя тіла на всьому шляху μ = 0,04.

Визначити: кінетичну енергію тіла біля основи площини; шлях, пройдений тілом на горизонтальній ділянці до зупинення.

Відповідь: Ek = 0,24 Дж; S = 1,53 м.

88 Гиря, покладена на верхній кінець спіральної пружини, стискає її на x = 1 мм. На скільки стисне пружину гиря, якщо її кинути вертикально вниз на пружину з висоти h = 0,2 м зі швидкістю υ = 1 м/с?

Відповідь: x = 0,08 м.

89 Тіло масою m = 3 кг рухається зі швидкістю υ =2 м/с і вдаряється в нерухоме тіло такої самої маси. Вважаючи удар центральним і непружним, визначити кількість теплоти, яка виділяється при ударі.

Відповідь: Q = 3 Дж.

90 При центральному пружному ударі рухоме тіло масою m1 вдаряється в нерухоме тіло масою m2, внаслідок чого швидкість першого тіла зменшується у 2 рази. Визначити: у скільки разів маса першого тіла більша за масу другого тіла; кінетичну енергію другого тіла після удару, якщо кінетична енергія першого тіла до удару дорівнювала Ek1 = 800 Дж.

Відповідь: в 3 рази; Ek 2 = 450 Дж.

91 Маховик, масу якого m = 5 кг можна вважати розподіленою по ободу радіусом r = 0,2 м, вільно обертається

134

навколо горизонтальної осі, яка проходить через його центр і перпендикулярна до його площини, з частотою ν = 12 с-1. При гальмуванні маховик зупиняється через час t = 20 с. Знайти гальмівний момент і число обертів, які зробить маховик до повної зупинки.

Відповідь: M = 0,24 Н×м; N = 120 об.

92 На яку відстань по дорозі під гору може вкотитися обруч за рахунок своєї кінетичної енергії, якщо перед цим він мав швидкість υ = 2 м/с, а нахил дороги становить h = 10 м на кожні S = 100м шляху? Тертя не враховувати.

Відповідь: S = 4,08 м.

93 Момент інерції маховика J = 0,1 кг×м2. Через який час маховик матиме частоту обертання ν = 30 с-1, якщо корисна потужність двигуна N = 100 Вт.

Відповідь: t = 3,9 с.

94 На лаві Жуковського сидить людина і тримає у витягнутих руках два тягарі масою по m = 10 кг кожний. Відстань тягарів від осі обертання l = 0,5 м. Частота обертання лави з людиною ν = 1 с-1. Як зміниться частота обертання лави і яку роботу виконає людина, якщо вона перемістить руки так, що відстань від кожного тягаря до осі зменшиться до x = 0,2 м? Момент інерції лави з людиною відносно осі обертання J = 2,5 кг×м2. Вісь обертання проходить через центр мас лави і людини.

Відповідь: ν1 = 2,3 с-1; A = 190 Дж.

95Шків, насаджений на вісь електродвигуна, обертається

зкутовою швидкістю ω = 93 с-1. Після вимкнення двигуна шків,

зробивши	N = 20	обертів, зупинився. Момент інерції шківа
J = 0,01 кг×м2. Знайти момент сил гальмування та їх роботу.
Відповідь: M = 9,4 10-2 Н×м;				A = -44,4 Дж.
96	Платформа у		вигляді	суцільного диска		радіусом
R = 1 м масою M = 240			кг обертається за інерцією			навколо
вертикальної осі з		частотою ν = 0,1			с-1. На краю платформи
стоїть людина масою m = 80 кг.				З	якою кутовою	частотою

обертатиметься платформа, якщо людина перейде в її центр? Людину вважати матеріальною точкою.

135

Відповідь: ω = 0,166 с-1.

97 Диск масою m = 2 кг котиться без ковзання по горизонтальній поверхні зі швидкістю υ = 2 м/с. На якій відстані можна його зупинити, приклавши до обода силу F = 9,8 Н?

Відповідь: S = 0,82 м.

98 Куля масою 1 кг, що котиться без ковзання зі швидкістю υ = 10 м/с, вдаряється об стінку та відскакує від неї зі швидкістю u = 8 м/с. Знайти кількість теплоти, що виділяється під час удару.

Відповідь: Q = 25,2 Дж.

99 Платформа у вигляді суцільного диска радіусом r = 1,5 м і масою M = 180 кг обертається за інерцією навколо вертикальної осі з частотою ν = 10 хв-1. У центрі платформи стоїть людина масою m = 60 кг. Яку лінійну швидкість відносно підлоги приміщення буде мати людина, якщо вона перейде на край платформи? Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.

Відповідь: υ = 1 м/с.

100 Повна кінетична енергія диска, що котиться по

горизонтальній поверхні, дорівнює Ek	= 24 Дж.	Знайти
кінетичну енергію поступального і обертального рухів диска.
Відповідь: Eпос = 16 Дж; Eоб = 8 Дж.
101 До ободу однорідного диска	масою m = 10 кг,
насадженого на вісь, прикладена стала дотична сила		F = 30 Н.

Визначити кінетичну енергію диска через t = 4 с після початку дії сили.

Відповідь: Ek = 1,44 кДж.

102 Платформа, що має форму диска, може обертатися навколо вертикальної осі. На краю платформи стоїть людина. На який кут ϕ повернеться платформа, якщо людина піде уздовж

краю платформи і, обійшовши її, повернеться у вихідну (на платформі) точку? Маса платформи m1 = 280 кг, маса людини

m2 = 80 кг.

Відповідь: ϕ =0,73 π = 1310.

136

103 На лаві Жуковського стоїть людина і тримає в руці за вісь велосипедне колесо, що обертається навколо своєї осі з кутовою швидкістю ω1 = 25 рад/с. Вісь колеса розташована вертикально і збігається з віссю лави Жуковського. З якою швидкістю ω2 стане обертатися лава, якщо повернути колесо

навколо горизонтальної осі на кут α = 900 ? Момент інерції людини і лави дорівнює J = 2,5 кг×м 2 , момент інерції колеса

J0 = 0,5 кг×м. 2

Відповідь: ω2 = 4,55 рад/с.

104 Однорідний стрижень довжиною l = 1 м може вільно обертатися навколо горизонтальної осі, що проходить через один з його кінців. Коли він висить горизонтально, в інший кінець абсолютно непружно вдаряє куля масою m = 7 г, що летить перпендикулярно до стрижня і його осі. Визначити масу M стрижня, якщо в результаті влучення кулі він відхилиться на

кут α = 600 . Швидкість кулі υ = 360 м/с. Відповідь: M =1,97 кг.

105 На краю платформи у вигляді диска, що обертається

за інерцією навколо вертикальної осі з частотою ν1					= 8 хв −1 ,
стоїть людина масою m1 = 70		кг. Коли людина перейшла в
центр платформи, вона стала		обертатися з		частотою ν 2 =
=10 хв −1 . Визначити масу	m2		платформи.	Момент інерції
людини розраховувати як для матеріальної точки.
Відповідь: m2 =560 кг.
106 На краю нерухомої			лави Жуковського		діаметром
D =0,8 м і масою m1 = 6 кг стоїть людина масою m2					= 60 кг. З
якою кутовою швидкістю	ω	почне обертатися лава, якщо
людина зловить м'яч масою		m = 0,5 кг, що		летить на неї?
Траєкторія м'яча горизонтальна			і проходить на		відстані
r = 0,4 м від осі лави. Швидкість м'яча υ = 5 м/с.
Відповідь: ω =0,1 рад/с.
107 Визначити момент		інерції труби масою			M =10 кг

відносно осі симетрії, якщо внутрішній і зовнішній радіуси труби відповідно дорівнюють R1 =5 см, R2 =8 см.

137

Відповідь: I = 0,02 кг×м2.

108 Обчислити момент інерції J прямокутника з дроту із сторонами а = 12 см і b = 16 см відносно осі, що лежить у площині прямокутника і проходить через середини малих сторін. Маса рівномірно розподілена по довжині дроту з лінійною густиною τ = 0,1 кг/м.

Відповідь: J=1,44 10-4 кг×м2.

109 Знайти момент інерції J тонкого однорідного кільця радіусом R = 20 см і масою т = 100 г відносно осі, що лежить у площині кільця і проходить через його центр.

Відповідь: J=0,002 кг×м2.

110 Через блок, що має форму диска, перекинутий шнур. До кінців шнура прив'язали тягарці масою т1 = 100 г і т2 = =110 г. З яким прискоренням а будуть рухатися тягарці, якщо маса т блока дорівнює 400 г? Тертям при обертанні блока знехтувати.

Відповідь: а=0,24 м/с2.

111 На лаві Жуковського стоїть людина і тримає в руках стрижень довжиною l = 2,4 м і масою т = 8 кг, розташований вздовж осі обертання лави. Лава з людиною обертається з частотою ν1 = 1 c-1. З якою частотою ν 2 буде обертатися лава з

людиною, якщо стрижень повернути у горизонтальне

положення? Сумарний момент інерції J людини і лави дорівнює

6 кг·м2.

Відповідь: ν 2 =0,61 c-1.

112 Маховик у вигляді диска масою т = 80 кг і радіусом R = 30 см перебуває у стані спокою. Яку роботу A1 потрібно виконати, щоб надати маховику частоту ν = 10 с-1? Яку роботу А2 довелося б виконати, якби при тій самій масі диск мав меншу товщину, але вдвічі більший радіус?

Відповідь: А1=7,11 кДж; А2=28,4 кДж.

113 Куля котиться без ковзання по горизонтальній поверхні. Повна кінетична енергія кулі дорівнює Ek =14 Дж.

Визначити кінетичну енергію Ek1 поступального і Ek 2 обертального руху кулі.

Відповідь: Ek1 =10 Дж ; Ek 2 =4 Дж.

138

114 Визначити момент інерції J тонкого однорідного стрижня довжиною l = 30 см і масою т = 100 г відносно осі, перпендикулярної до стрижня, яка проходить через: а) його кінець; б) його середину; в) точку, що віддалена від кінця стрижня на 1/3 його довжини.

Відповідь: J=3×10-3 кг×м2; J=0,75×10-3 кг×м2; J=10-3 кг×м2. 115 Тонкий однорідний стрижень довжиною l = 50 см і

масою т = 400 г обертається з кутовим прискоренням ε = =3 рад/с2 навколо осі, що проходить перпендикулярно до стрижня через його середину. Визначити обертальний момент

М.

Відповідь: М=0,025 Н×м.

116 Два тіла масами т1 = 0,25 кг і т2 = 0,15 кг зв'язані тонкою ниткою, перекинутою через блок (рис.31). Блок закріплений на краю горизонтального стола, по поверхні якого ковзає тіло масою т1. З яким прискоренням а рухаються тіла і чому дорівнюють сили Т натягу нитки по обидва боки від блока? Коефіцієнт тертя тіла об поверхню стола дорівнює μ = 0,2. Маса

блока дорівнює т =0,1 кг і її можна вважати рівномірно розподіленою вздовж обода. Масою нитки і тертям у підшипниках осі блока знехтувати.

Відповідь: а=1,96 м/с2; Т1=0,98 Н; Т2=1,18 Н. m1

m2

Рисунок 31

117 На краю горизонтальної платформи, що має форму диска радіусом R = 2 м, стоїть людина масою m1 = 80 кг. Маса платформи дорівнює т2 =240 кг. Платформа може обертатися навколо вертикальної осі, що проходить через її центр. Нехтуючи тертям, знайти, з якою кутовою швидкістю ω буде

139

обертатися платформа, якщо людина буде йти вздовж її краю із швидкістю υ = 2 м/с відносно платформи.

Відповідь: ω=0,445 рад/с.

118 Платформа у вигляді диска радіусом R = 1 м обертається за інерцією з частотою ν1 = 6 хв-1. На краю платформи стоїть людина, маса т якої дорівнює 80 кг. З якою частотою ν 2 буде обертатися платформа, якщо людина перейде

в її центр? Момент інерції платформи дорівнює J =120 кг·м2. Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.

Відповідь: ν 2 =10 хв-1.

119 Людина масою m=60 кг, що стоїть на краю горизонтальної платформи масою M=120 кг, яка обертається за інерцією навколо нерухомої вертикальної осі з частотою ν1 =10 хв-1, переходить до її центра. Вважаючи платформу круглим однорідним диском, а людину – точковою масою, визначити, з якою частотою ν 2 буде обертатися платформа.

Відповідь: ν 2 = 20 хв-1.

120 Людина масою m=60 кг, що стоїть на краю горизонтальної платформи радіусом R=1 м і масою M=120 кг, яка обертається за інерцією навколо нерухомої вертикальної осі з частотою n1=10 хв-1, переходить до її центра. Вважаючи платформу круглим однорідним диском, а людину – точковою масою, визначити, яку роботу здійснить людина при переході від краю платформи до її центра.

Відповідь: А=65,8 Дж.

121 У циліндр довжиною l = 1,6 м, заповнений повітрям

при нормальному атмосферному тиску P0 ,		почали повільно
всувати	поршень з площею основи S = 200	см 2 . Визначити
силу F ,	що діє на поршень, якщо його зупинити на відстані
l1 = 10 см від дна циліндра.
Відповідь: F =32,4 кН.
122 У балоні знаходиться газ при температурі T1 = 400 К.
До якої температури T2 треба нагріти газ,		щоб його тиск
збільшився в 1,5 разу?

					140
Відповідь: T2 =600 К.
123		Балон	ємністю V = 20			л заповнений азотом при
температурі T = 400				К. Коли частину газу витратили, тиск у
балоні	знизився		на	P = 200		кПа. Визначити	масу	m
витраченого газу. Процес вважати ізотермічним.
Відповідь: m =34 г.					V = 15 л знаходиться
124		У балоні ємністю					аргон під
тиском	P1	= 600	кПа	і при	температурі T1 = 300		К. Коли	з

балона була взята деяка кількість газу, тиск у балоні знизився до P2 = 400 кПа та встановилася температура T2 = 260 К.

Визначити масу m аргону, взятого з балона. Відповідь: m =33 г.

125 Дві посудини однакового об’єму містять кисень. В

одній посудині тиск			P1	= 2 МПа і температура	T1 = 800 К, в
іншій P2	= 2,5 МПа,		T2	= 200 К. Посудини з'єднали трубкою й
остудили	кисень, що			знаходиться в них, до	температури
T = 200 К. Визначити тиск P в посудинах.
Відповідь: P =1,5 МПа.
126 Обчислити густину ρ азоту, що знаходиться у балоні
під тиском P = 2		МПа і має температуру T = 400 К.
Відповідь:		ρ =16,8 кг/м3.

127 Визначити відносну молекулярну масу μ газу, якщо при температурі T = 154 К і тиску P = 2,8 МПа він має густину

ρ = 6,1 кг/м3.

Відповідь: μ =2,8.

128 Визначити температуру газу, який знаходиться в закритій посудині, якщо його тиск збільшується на 0,4% від початкового при нагріванні на T = 1 К.

Відповідь: Т=250 К.

129 У посудині ємністю V = 40 л знаходиться кисень при

температурі T = 300	К. Коли частину газу витратили, тиск у
балоні знизився на	P = 100 кПа. Визначити масу m

витраченого кисню. Процес вважати ізотермічним. Відповідь: m =51 г.