5. Наближення функцій

Для практичного застосування важливі такі задачі [1].

Перша задача полягає в заміні деякої функції, яка задана аналітично або таблично, іншою функцією, яка близька до вихідної, але більш простою і зручною для обчислень. Наприклад, заміна функції многочленом дозволяє отримати прості формули чисельного інтегрування і диференціювання, заміна таблиці приблизною функцією дозволяють отримати значення в її проміжних точках.

Друга задача – відновлення функції на деякому відрізку по заданим на цьому відрізку значенням функції в дискретній множині точок.

Схема розв’язку задачі наближення функції.

1. Визначаємо, який клас функцій для наближення необхідно вибрати. Відповідь на це питання залежить від функції, наближення якої відшукується, і мети, для якої в подальшому буде використовуватись наближення функції. Широко застосовуються класи функцій: многочлени, тригонометричні функції, показникові функції тощо.

2. Вибираємо критерій наближення вихідної функції. У якості критерію можна вибрати, наприклад, збігання вихідної функції і наближення у вузлових точках (Лагранжева інтерполяція), або мінімум суми квадратів відхилення у вузлових точках (метод найменших квадратів). Вибір критерію наближення визначається метою побудови наближення функції і може суттєво впливати на результати.

3. Вказуємо правило, яке із заданою точністю дозволяє отримати значення функції в проміжних точках (не вузлових). В тому числі даємо відповідь на питання, які вузли використовувати для наближення функції та як їх розташовувати.

Два типи наближення функцій: інтерполяція і апроксимація.

5.1 Інтерполяція

Нехай на відрізку задана дискретна множина точокякі називаються вузлами і в яких відомі значення функцій. Спосіб наближення функцій, коли наближена функціязбігається з вихідною функцією увузлі

, (5.1)

де - коефіцієнти наближення, називаєтьсяінтерполяцією, тобто при Якщото маємо випадокекстраполяції. У такій постановці задача має безліч розв’язків.

Найбільш поширений спосіб лінійної інтерполяції, якщо наближена функція шукається у виді лінійної комбінації базисних функцій

(5.2)

Система функції повинна бути лінійно незалежною, крім того

Підставляючи (5.2) в (5.1), отримаємо систему лінійних рівнянь для визначення коефіцієнтів :.

У якості базисних функцій дуже часто вибирають степеневі функції , тобто функцію, яка наближає вихідну, записують у вигляді многочлена степеня

(5.3)

Підставивши (5.3) в (5.2) замість , отримаємо:

(5.4)

При цьому, для розв’язку (5.4) відносно коефіцієнтів необхідно, щоб визначник системи (5.4) – визначник Вандермонда був відмінний від 0:аботаким чином у цьому випадку існує єдиний інтерполяційний многочлен.

Теорема. Єдиність розв’язку задачі інтерполяції. Задача (5.4) про знаходження інтерполяційного многочлена, який задовольняє (5.4) на має єдиний розв’язок.

5.2 Інтерполяційна формула Лагранжа

Шукаємо інтерполяційний многочлен у вигляді: демногочлени степеняп, які задовольняють умовам: - многочлени Лагранжа.

Звідки інтерполяційна формула Лагранжа

(5.5)

Теорема. Інтерполяційна формула Лагранж єдина.

При маємо пряму, яка проходить через 2 точкиі

При маємо параболу, яка проходить через 3 точки,і:

Переваги формули Лагранжа (5.5):

• число арифметичних операцій, які необхідні для побудови многочлена Лагранжа, пропорційно , що є найменшим для усіх форм запису;

• формула (5.5) в явному вигляді містить значення функцій у вузлах інтерполяції, що буває зручно при деяких обчисленнях (наприклад, при побудові формул чисельного інтегрування);

• формула (5.5) можна застосовувати як для рівновіддалених, так і для не рівновіддалених вузлів;

• інтерполяційний многочлен Лагранжа є зручним, коли значення функцій змінюються, а вузли інтерполяції незмінні, що має при багатьох експериментальних дослідженнях.

Недоліки формули Лагранжа(5.5): при зміні числа вузлів треба усі обчислення виконувати спочатку. Це затрудняє проведення апостеріорних оцінок точності (оцінок, які стимулюються в процесі обчислень).

Існують формули, які спрощують обчислення лагранжевих коефіцієнтів. Для сталого кроку по х існують таблиці лагранжевих коефіцієнтів.

Приклад 1. Для заданої таблиці значень функції обчислити , використовуючи інтерполяційну формулу Лагранжа

х	321,0	322,8	324,2	325,0
у	2,50651	2,50893	2,51081	2,51188

Приклад 2. Для функції побудувати інтерполяційний багаточлен Лагранжа, вибравши вузли інтерполяції Знайти

Табличне значення функції тобто похибка

Приклад 3. Побудувати багаточлен Лагранжа та обчислити значення функції в точці , яка задана таблицею:

Таблиця 5.1

Таблиця значень f(x)

	2	3	4	5
	7	5	8	7

Відповідь: