- •Методичні вказівки до практичних занять
- •Обчислювальна математика
- •2010 Зміст
- •Урахування похибок
- •1.1 Основні джерела похибок
- •1.2 Основні поняття
- •1.3 Правила обчислення похибок
- •1.4 Деякі правила обчислення максимальних граничних похибок
- •1.5 Приклади
- •1.6 Задачі
- •Методи розв'язування нелінійних рівнянь
- •2.1 Відокремлення коренів
- •2.2 Метод половинного поділу (бісекцій або діхотомії)
- •2.3 Метод січних (хорд, пропорційних частин)
- •2.4 Метод Ньютона (дотичних, лінеаризації)
- •2.4.1 Модифікований метод Ньютона
- •2.4.2 Метод Ньютона-Бройдена
- •2.5 Метод хорд та дотичних (комбінований метод)
- •2.6 Метод простих ітерацій
- •Методи розв'язування систем нелінійних рівнянь
- •3.1 Метод простих ітерацій
- •3.2 Метод Зейделя
- •3.3 Метод Ньютона
- •3.4 Модифікований метод Ньютона
- •Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)
- •4.1 Метод ітерації
- •4.2 Зведення слар до вигляду, який придатний до застосування методу ітерації.
- •4.3 Метод Зейделя
- •4.4 Метод релаксації
- •4.5 Метод прогонки
- •4.6 Методика розв’язування задачі
- •5. Наближення функцій
- •5.1 Інтерполяція
- •5.2 Інтерполяційна формула Лагранжа
- •5.3 Оцінка похибки інтерполяційної формули Лагранжа
- •5.4 Збіжність функціонального інтерполяційного процесу неперервних функцій
- •5.5 Методика розв’язування задачі лінійної інтерполяції
- •5.6 Методика розв’язування задачі параболічної інтерполяції
- •5.7 Поліноми Чебишева
- •5.8 Інші методи інтерполяції. Інтерполяційний многочлен Ньютона
- •5.9 Методи інтегрально-диференціальної інтерполяції
- •5.10 Методи інтегрального згладжування
- •5.11 Метод найменших квадратів
- •5.12 Особливості мнк
- •5.13 Метод найкращого інтегрального наближення
- •5.14 Методи інтерполяції та згладжування на основі сплайнів
- •5.15 Інтерполяційні диференціальні кубічні сплайни
- •Список використаних джерел
1.6 Задачі
1. Сторони трикутника а=17,3 см; в=23,6 см; с=14,2 см виміряні з похибкою 1 мм. Визначити периметр трикутника. Відповідь: см.
2. Ребра прямокутного паралелепіпеда см;см;см виміряні з абсолютною похибкою 1 мм. Визначити об’єм паралелепіпеда. Відповідь:,см3.
3. Знайти різницю з вірними знаками: .
Відповідь: немає вірних знаків.
4. Знайти добуток приблизних чисел , які вірні в написаних знаках.
Відповідь:;.
5. Знайти частку приблизних чисел , які вірні в написаних знаках.
Відповідь:;.
6. Знайти сторону квадрату, якщо його площа приблизно .
Відповідь:;;.
7. Знайти об’єм кулі, якщо її діаметр см;.
Відповідь:
Методи розв'язування нелінійних рівнянь
Якщо алгебраїчне та трансцендентне рівняння досить складні, то корені рідко вдається знайти точно. Окрім того, в деяких випадках коефіцієнти відомі лише приблизно, і тому задача про точне визначення коефіцієнтів рівняння не має сенсу. Тому важливе значення мають способи приблизного знаходження коренів рівняння та оцінка степені їх точності.
Нехай задано неперервну функцію в деякому обмеженому або необмеженому інтервалі. Необхідно знайти всі або деякі корені рівняння
(2.1)
Корінь рівняння (2.1) – всяке значення , яке обертаєв нуль (тотожність (2.1), тобто, або нуль функції.
Вважаємо, що (2.1) має тільки ізольовані корені. Ця задача передбачає два етапи розв'язування:
а) відокремлення коренів, тобто виокремлення достатньо малої області, що належить до області допустимих значень функції , у якій є один і тільки один корінь;
б) уточнення наближеного значення кореня до наперед заданої точності.
2.1 Відокремлення коренів
Для відокремлення дійсних коренів корисно знати кількість коренів, а також нижню і верхню межі їх розташування. Для цього використовується ряд теорем [1].
Теорема 1. Теорема Больцано-Коші. Якщо неперервна функція на кінцях відрізка має різні за знаком значення, тобто, то на цьому відрізку рівняння (1) має хоча б один корінь. Якщо, крім цього, існує і зберігає знак, тобто або>0, то корінь єдиний.
Теорема 2. Алгебраїчний многочлен степеня
(2.2)
має рівно коренів, дійсних або комплексних, при умові, що кожний корінь підраховується таку кількість разів, якій дорівнює його кратність.
Теорема 3. Якщо - корінь алгебраїчного многочлена з дійсними коефіцієнтами, тотакож є коренем тієї ж кратності.
Наслідок. Алгебраїчний многочлен з дійсними коефіцієнтами непарного степеня має хоча б один дійсний корінь.
Теорема 4. Нехай і, де- коефіцієнти (2.2),. Тоді модулі всіх коренів рівняння (2.2) задовольняють нерівності:
.
На практиці застосовують такі методи відокремлення коренів: засобами комп’ютерної графіки, дослідження функцій і побудова графіка функції, застосування методу половинного поділу.
Процес відокремлення коренів починається з установлення знаків в граничних точкахіобласті її існування. Потім за допомогою процесу половинного поділу визначають знаки функціїв точках поділу.
За допомогою методу підбирання можна, застосовуючи комп'ютер, протабулювати функцію з певним кроком і визначити проміжки, на яких вона змінює знак.
Приклад 1. Відокремити корені рівняння .
Розв’язування. Тут . Відповідно теоремі 2 рівняння має не більше трьох дійсних коренів. Методом підбирання визначимо, що
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
+ | ||
- |
- |
+ |
+ |
+ |
- |
- |
+ |
+ |
Отже, рівняння має три корені. Інтервали знаходження коренів: (-3;-2); (0;1); (2;3) .
Використовують також графічний спосіб відокремлювання коренів: будують графік функції і наближено визначають області, де графік перетинає вісь абсцис. Інколи зручно рівняння (2.1) записати у вигляді . Значеннями коренів у цьому випадку будуть абсциси точок перетину графіків функційі.
Приклад 2. Відокремити корені рівняння
Розв’язування. Перетворимо його до вигляду і побудуємо графіки функційі . З рис. 1 випливає, що рівняння має два корені, і вони належать, відповідно, проміжкам: .
Рис. 2.1. Графічне відокремлення коренів.
Приклад 3. Відокремити корені рівняння .
Розв'язування. Тут , томупри. Звідси;. Отже, рівняння має тільки два дійсні корені, один з яких є в інтервалі, а інший ― в інтервалі. Уточнюємо інтервали знаходження коренів: (-1;0) і (1;2).
Приклад 4. Відокремити корені рівняння . Тут,. На основі теореми 4 корені знаходяться в інтервалі<< 2. Уточнюємо інтервал коренів:
-2 |
-1 |
1 |
2 | |||
- |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
Інтервал знаходження коренів: (-2;-1)
Для грубої оцінки похибки використовується теорема:
Теорема 5. Нехай - точний, а- приблизний корені рівняння, які знаходяться на одному й тому ж відрізку, причому>0. Тоді виконується оцінка:, де в якостіможна брати .
Приклад 5. Оцінити абсолютну похибку, якщо , а.
<
Взагалі універсальних методів відокремлення коренів не існує.