- •Методичні вказівки до практичних занять
- •Обчислювальна математика
- •2010 Зміст
- •Урахування похибок
- •1.1 Основні джерела похибок
- •1.2 Основні поняття
- •1.3 Правила обчислення похибок
- •1.4 Деякі правила обчислення максимальних граничних похибок
- •1.5 Приклади
- •1.6 Задачі
- •Методи розв'язування нелінійних рівнянь
- •2.1 Відокремлення коренів
- •2.2 Метод половинного поділу (бісекцій або діхотомії)
- •2.3 Метод січних (хорд, пропорційних частин)
- •2.4 Метод Ньютона (дотичних, лінеаризації)
- •2.4.1 Модифікований метод Ньютона
- •2.4.2 Метод Ньютона-Бройдена
- •2.5 Метод хорд та дотичних (комбінований метод)
- •2.6 Метод простих ітерацій
- •Методи розв'язування систем нелінійних рівнянь
- •3.1 Метод простих ітерацій
- •3.2 Метод Зейделя
- •3.3 Метод Ньютона
- •3.4 Модифікований метод Ньютона
- •Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)
- •4.1 Метод ітерації
- •4.2 Зведення слар до вигляду, який придатний до застосування методу ітерації.
- •4.3 Метод Зейделя
- •4.4 Метод релаксації
- •4.5 Метод прогонки
- •4.6 Методика розв’язування задачі
- •5. Наближення функцій
- •5.1 Інтерполяція
- •5.2 Інтерполяційна формула Лагранжа
- •5.3 Оцінка похибки інтерполяційної формули Лагранжа
- •5.4 Збіжність функціонального інтерполяційного процесу неперервних функцій
- •5.5 Методика розв’язування задачі лінійної інтерполяції
- •5.6 Методика розв’язування задачі параболічної інтерполяції
- •5.7 Поліноми Чебишева
- •5.8 Інші методи інтерполяції. Інтерполяційний многочлен Ньютона
- •5.9 Методи інтегрально-диференціальної інтерполяції
- •5.10 Методи інтегрального згладжування
- •5.11 Метод найменших квадратів
- •5.12 Особливості мнк
- •5.13 Метод найкращого інтегрального наближення
- •5.14 Методи інтерполяції та згладжування на основі сплайнів
- •5.15 Інтерполяційні диференціальні кубічні сплайни
- •Список використаних джерел
Урахування похибок
1.1 Основні джерела похибок
Похибки, які пов’язані з постановкою задачі (фізична та математична моделі) називаються похибками задачі.
Похибки, які виникають у результаті існування нескінченних процесів у математичному аналізі називаються залишковими похибками.
Похибки, які пов’язані з існуванням у математичних і фізичних формулах числових параметрів, значення яких може бути визначене лише приблизно, називаються вихідними похибками.
Похибки, які визвано системою зчислення, називаються похибками округлення.
Похибки, які викликані діями над приблизними числами, називаються похибками дій.
Контроль обчислень буває поточний і заключний.
1.2 Основні поняття
Приблизне число а – число, яке нехтовно відрізняється від точного А і замінює останнє в обчисленнях.
Похибка приблизного числа а – різниця між відповідним точним числом А і даним приблизним , тобто .
Якщо знак похибки невідомий, то користуються абсолютною похибкою приблизного числа
(1.1)
Тоді: 1. Якщо А відомо, то абсолютна похибка визначається за (1.1).
2. Якщо А невідомо, то вводять граничну абсолютну похибку - всяке число, яке не менше абсолютної похибки цього числа
(1.2)
Звідси , або
Приклад 1. Визначити граничну абсолютну похибку числа , яке заміняє.
Вважають, що п перших значущих цифр (десятинних знаків) приблизного числа вірним, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, який виражається п-ю значущою цифрою, рахуючи справа наліво [1].
Приклад 2. Точне число , приблизне- з трьома вірними знаками, тому що.
Практично найкраще вибирати якомога менше при даних умовах число, яке задовольняє (1.2). При записі приблизного числа вказують його граничну абсолютну похибку.
Приклад 3. Довжина відрізка ;.
Відносна похибка приблизного числаа – відношення абсолютної похибки цього числа до модуля відповідного точного числа.
Гранична відносна похибка даного приблизного числаа – будь-яке число, яке не менше відносної похибки цього числа. .
У якості граничної відносної похибки можна прийняти .
Звідси: .
Приклад 4. При визначенні молярної маси повітря отримали . Знаючи, що відносна похибка цього значення дорівнює 1%, знайти межі, в яких знаходиться.
1.3 Правила обчислення похибок
Абсолютна похибка суми (різниці) декількох приблизних чисел не перевищує суми абсолютних похибок чисел:
Відносна похибка добутку декількох приблизних чисел, які відмінні від 0, не перевищує суми відносних похибок цих чисел:
Відносна похибка частки не перевищує суми відносних похибок діленого і дільника:
Гранична відносна похибка п-го степеня числа у п разів більша граничної відносної похибки самого числа:
Гранична відносна похибка кореня п-го степеня числа у п разів менша граничної відносної похибки підкореневого числа:
1.4 Деякі правила обчислення максимальних граничних похибок
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
1.5 Приклади
Виконати додавання приблизних чисел, які вірні в написаних знаках [1]:
1. .
2. .
3.
Виконати віднімання приблизних чисел, які вірні в написаних знаках:
1. .
2. .
3. - немає вірних знаків, тому що.
Обчислити добуток приблизних чисел, які вірні в написаних знаках:
1. ;.
2. ;.
3. .
Обчислити частку приблизних чисел, які вірні в написаних знаках:
1. ;.
2. ;.
3. ;.
Обчислити степені приблизних чисел, якщо основи степеня вірні у вказаних знаках:
1. ;.
2. ;.
3. .
Обчислити значення коренів, якщо підкореневі вирази вірні в написаних знаках:
1. ;.
2. ;.
3. ;.