Из равенства (4) получаем
.
(7)
Используя выражения (5) и (6), из (7) находим, что
.
(8)
Выражение (8) является законом Гука в современной формулировке. Из него следует, что продольная деформация прямопропорциональна соответствующему нормальному напряжению
.
(9)
Томас Юнг указал, что закон Гука справедлив только в пределах упругих деформаций материала. На рис. 1б представлена зависимость относительной линейной деформации бруска от нормального напряжения. Из (8) можно найти значение модуля продольной упругости материала
(10)
или
.
(11)
Таким образом, модуль упругости равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс (рис. 1б).
В данной работе модуль Юнга определяется по величине прогиба балки. Для этого необходимо найти зависимость стрелы прогиба балки от модуля Юнга, геометрических параметров балки и нагрузки.
Рассмотрим изгиб балки прямоугольного сечения под действием силы, приложенной к центру балки (рис. 2). Внутренние силы, обусловленные взаимодействием частиц (атомов и молекул), сохраняют форму и целостность тела. Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, т.е. деформировать это тело. При этом возникают дополнительные внутренние силы, препятствующие этой деформации.
Обозначим
стороны прямоугольника, лежащего в
сечении, через а
и в,
а длину балки -
(рис. 2).
Рис.2
Обозначим
стороны прямоугольника, лежащего в
сечении, через а
и в,
а длину балки -
(рис. 2). Пусть до деформации элемент
балки имел форму прямоугольного
параллелепипеда. Мысленно проведем два
близких нормальных сечения, т.е. вырежем
малый элементААВВ,
длину которого обозначим
.
В результате изгиба элементаААВВ
все прямые, параллельные АА
и ВВ,
перейдут в дуги окружностей с центрами,
лежащими на оси, проходящей через точку
О перпендикулярно
плоскости рисунка (рис. 3).
При
малых деформациях слои, лежащие выше
линии NN,
сжимаются, а слои, лежащие ниже линии
NN,
удлиняются. При этом длина нейтральной
линии NN
остается неизменной. Пусть R
– радиус
кривизны нейтральной линии. Тогда
,
где
- угол, выраженный в радианах.
Рассмотрим
слой балки, находящийся ниже линии NN
и имеющий толщину
(R).
Длина рассматриваемого слоя
,
а изменение длины
.
Используя выражение (7), можно записать
,
(12)
где F – внутренняя сила, действующая на площадь A нормального сечения рассматриваемого слоя.
Напряжение, обусловленное внутренней силы, равно:
=
.
(13)
Рис.3.
Предположим, что при изгибе все нормальные сечения остаются плоскими (гипотеза Бернулли). Сумма напряжений, созданных внутренними силами и действующих на плоскость нормального сечения, равна нулю:
N
=
,
(14)
где интеграл берется по площади нормального сечения A. Это является результатом того, что слои, лежащие выше нейтральной линии, сжимаются, а слои, лежащие ниже этой линии, удлиняются. Таким образом, напряжения выше и ниже нейтральной линии имеют разные знаки.
Рис. 4
Рассечем балку плоскостью AB, перпендикулярной нейтральной линии NN'. Установим систему координат X1Y1Z1 так, чтобы ее начало совпадало с центром тяжести C нормального сечения (рис. 4). Ось X1 проходит через нейтральную линию NN, а ось Y1 направлена вниз. Рассмотрим внутренние силовые факторы, действующие на эту отсеченную часть балки со стороны отброшенной ее части.
Изгибающий момент Mx1 , созданный внутренними силами относительно оси X1, равен
,
(15)
где
- момент инерции сечения относительно
осиX1:
.
(16)
Выберем систему координат XYZ такую, чтобы ось ОZ была направлена вдоль нейтральной линии NN, а ось OY – перпендикулярно оси ОZ (рис. 5). Поместим начало координат в точку O, расположенную над левой опорой. Тогда уравнение для нейтральной линии изогнутой балки представится в виде у=у(z). Причем верхняя и нижняя линии балки смещены, соответственно, вверх и вниз на b/2 от нейтральной линии.
Рис. 5