2.4. Задания для самостоятельного решения

1. Задайте три массива: А – размерности ;В и С – размерности .

2. Вычислите: ,,,,,,,,.

3. Для тех матриц, для которых возможно, найдите обратные матрицы и сделайте проверку.

4. Задайте два вектора: V- равный второму столбцу матрицы А, U-равный третьей строки матрицы С.

5. Вычислите: ,,,,,,,,.

6. Найдите значения выражений:

а) ; б).

Сделайте проверку.

7. Найдите максимальные и минимальные элементы во всех массивах, вычислите ранги матриц А, В, С и длины векторов V и U.

8. Создайте новые массивы:

- объединив матрицы С и А, матрицы В и С, матрицу А с векторами V и U, векторы V , U и последние столбцы матриц А, В, С;

- расположив матрицу С над матрицей В;

- добавив к матрице В вектор U в качестве первой строки;

- выделив из матрицы С подматрицу, состоящую из второй и третей строк, и второго, третьего и четвертого столбцов;

- выделив из матрицы А произвольную подматрицу размерности .

Лабораторная работа №3

Тема: Решение систем алгебраических уравнений

Цели работы:

1. Рассмотреть способы решения систем уравнений.

2. Рассмотреть способы решения систем линейных уравнений.

3.1. Основные теоретические положения

Системой уравнений называется совокупность уравнений вида

Решением системы уравнений называется любой набор значений , при подстановке которых уравнения системы обращаются в верные равенства.

Системой линейных уравнений называется система вида

или в матричной форме , где,,.

Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система, обладающая хотя бы одним решением, называется совместной.

Совместная система, имеющая единственное решение, называется определённой; в противном случае неопределённой.

Система называется крамеровской, если в ней число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы коэффициентов Аотличен от нуля.

Крамеровская система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера: , где,- определитель, получаемый иззаменой- го столбца на столбец свободных членов.

MathCAD решает уравнения при помощи итерационных методов, поэтому требуется задавать начальные приближения, на основе которых строится последовательность, сходящаяся к искомому решению. Различные начальные приближения приводят к различным решениям.

Для того чтобы решить систему уравнений, необходимо создать блок решения уравнений, содержащий ключевое слово Given и функцию Find.

3.2. Решение систем уравнений

Для решения системы уравнений необходимо:

1. Задать начальные приближения для всех переменных, входящих в систему уравнений, с учётом области определения всех функций входящих в систему.

2. Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает MathCAD, что далее следует система уравнений.

3. Ввести уравнения системы ниже ключевого слова Given. Между левыми и правыми частями уравнений должен стоять логический знак равенства. Для этого используйте сочетание клавиш [Ctrl] и [=] или его символ с палитры отношений.

4. Ввести выражение, включающее функцию Find.

Функция Find (х1, х2, х3, … ) возвращает решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Функция Find возвращает ответ в виде вектора, содержащего значения переменных х1, х2, х3, …, являющиеся решением системы уравнений.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение.