Глава 16

ДЕМОНСТРАЦИЯ ПО АНАЛОГИИ

Уподобления не доказывают, а лишь объясняют доказанное.

M.B. Ломоносов

Очень распространенным типом доказательства является демонстрация по аналогии (греч. analogía — соответствие, сходство). В доказательстве по аналогии обосновывается сходство двух предметов в каком-либо признаке на основании того, что эти предметы имеют ряд других сходных признаков.

Например, для того чтобы доказать идею о возможности существования органической жизни на какой-либо другой планете, ученые рассуждают так: на данной планете есть атмосфера с наличием в ней кислорода, есть вода, есть необходимая для возникновения жизни температура; на Земле есть такая атмосфера, есть вода, есть требуемая температура и есть органическая жизнь. Поскольку данная планета и Земля сходны в ряде существенных признаков, поэтому, вероятно, они сходны и еще в одном признаке — наличии органической жизни.

Схема доказательства по аналогии такова: пусть некоторый объект А обладает последовательностью свойств а1, а2, ..., an+1 —

А: а1 , а2 , а3 , аn ,..., аn+1.

Второй объект В обладает набором свойств, совпадающих со свойствами объекта А, за исключением аn+1, про который ничего не известно,

—

B: a1,a2,a3, ..., аn.

Тогда из этих двух наблюдений можно сделать вывод, что и второй объект В обладает свойством аn+1 (формула 1).

Доказательство по аналогии основано на том, что предметы могут быть подобными, сходными в каких-либо свойствах, признаках или отношениях, причем такие предметы, которые в целом различны. Умозаключение по аналогии — это логический вывод, в результате которого достигается знание о признаках одного предмета на основании знания того, что этот предмет имеет сходство с другими предметами.

Очевидно, что доказательство по аналогии не является абсолютным, оно гипотетическое. Вы только предполагаете, что второй объект обладает еще и дополнительным свойством. Не являясь абсолютным, в определенных случаях доказательство по аналогии бывает крайне убедительным. Приведем исторический пример доказательства по аналогии, которое оказалось настолько убедительным, что под это доказательство была выделена очень крупная сумма денег. Человек по имени Гаргреве отправился в Австралию в район, который называется Новый Южный Уэльс, и обнаружил там горные породы, очень напоминающие породы знаменитых калифорнийских гор, которые находятся в США. Калифорнийские горы он хорошо знал, так как неоднократно бывал там и работал. Горы в Калифорнии очень богаты минералами.

Пусть в нашем определении A — это горы в Калифорнии, а В — это горы в Новом Южном Уэльсе. Гаргреве заметил поразительное сходство:

165

олово есть и там, и там (а1), цинк есть и там, и там (а2), свинец есть и там, и там (a3), железная руда есть и там, и там (а4), и т.д.

Оценивая признаки, которые оказываются одинаковыми для этих двух горных массивов, он доходит до главного признака, который им не обнаружен, но он подозревает о его существовании. Этот признак an+1 — наличие золота. В горах Калифорнии очень много золота. И он делает предположение, что в Австралии в породе должно быть золото. Он возвращается домой, пишет доклад и в этом докладе, предлагая доказательство по аналогии, аргументирует наличие золота в Австралии. Доклад заканчивается просьбой о выделении очень крупной суммы денег на организацию экспедиции для поиска золота. Доказательство сочли убедительным. Деньги были выделены. Экспедиция отправилась в Австралию, и золото действительно нашли.

Основоположник кибернетики Н. Винер, приступая к исследованиям в области конструирования логических машин, вдохновлялся такой, оказавшейся очень эффективной аналогией. "С самого начала, — пишет он,

— я был поражен сходством между принципами действия нервной системы

ицифровых вычислительных машин. Я не собираюсь утверждать, что эта аналогия является полной, и мы исчерпаем все свойства нервной системы, уподобив ее цифровым вычислительным устройствам. Я хотел бы только подчеркнуть, что в некоторых отношениях поведение нервной системы очень близко к тому, что мы наблюдаем в вычислительных устройствах".

Отом, какую огромную роль аналогия играет в кибернетике, свидетельствует французский ученый Л. Куффиньяль. Убедившись в аналогичности двух механизмов, показывает он, предполагают, что известные функции одного механизма присущи и другому механизму, для которого их наличие не установлено. Как, например, устанавливают дозы новых лекарств для человека? По аналогии функций организмов животного

ичеловека. При изучении действия лекарственного препарата сначала проводят опыты на животных и затем предполагают, что при назначении этого лекарства человеку результаты будут аналогичны результатам, полученным в опытах с животными.

Умозаключение по аналогии, как и любое другое умозаключение, является отображением в нашем сознании обычных отношений вещей. Человек на практике многократно наблюдал постоянство и устойчивость связей между признаками в предметах и явлениях внешнего мира. С течением времени эти связи признаков вещей зафиксировались в сознании человека в виде определенной фигуры логики, которая приобрела аксиоматический характер. Так, человек давно заметил, что если в двух предметах или явлениях имеются какие-то общие существенные признаки, то вполне возможно, несмотря даже на ряд свойственных этим предметам отличительных черт, предполагать, что эти предметы обладают также и другими сходными признаками. Если есть корни, ствол и ветки, то, как правило, есть и листья; если тело жидкое, то в любых сообщающихся сосудах оно расположится на одинаковом уровне, хотя бы эти сосуды отличались формой; если тело хорошо проводит тепло, значит, можно ожидать, что оно хорошо проводит и электричество, и т.д.

Эта уверенность имеет и другое основание в окружающем мире: общая закономерность, которая выражается в существенных признаках предмета или явления, всегда встречается в связи с рядом одних и тех же постоянных

166

устойчивых признаков, хотя условия, в которых проявляется данная общая закономерность, могут быть различными.

Привычка нашего ума к аналогии настолько сильна, что она иногда начинает действовать как бы механически. Аналогия, как мы уже видели, основана на том, что сходные в одном отношении вещи сходны и в остальном. Привыкнув к этому, люди удивляются, что шерстяные одеяла употребляются для предохранения льда от таяния, тогда как обычно шерстяные одеяла применяются для сохранения тепла.

Такой вид аналогии часто встречается в практике самых различных ученых и специалистов. Так, ботаник, замечая по некоторым признакам сходство какого-либо растения с известными ему представителями вида, относит данное растение к этому виду, предполагая, что в найденном растении есть все, еще и не исследованные видовые признаки. Говоря об аналогии, можно сослаться на ряд примеров из истории науки: на аналогию Ньютона между падением яблока и движением небесных тел, на аналогию Франклина между электрической искрой и молнией, на аналогию между распространением волн на воде и звука в воздухе и пр.

Ломоносов в одной из своих ранних работ на основании аналогии сделал вывод о том, что свет есть материя. "Один свет, — пишет он, — затемняет другой, например, солнце — свет свечи; подобно тому, как более сильный голос заглушает другой, слабый. Отсюда следует, что свет есть материя". Английский логик Джевонс говорит, что даже животные "делают заключения" до некоторой степени путем аналогии. Так, битая собака боится каждой палки, и существует очень немного собак, которые не убегут, если вы сделаете вид, будто поднимаете камень, хотя бы на этом месте не было никакого камня. Признание нормальной аналогии между двумя системами идей, говорит Дж.К. Максвелл, "приводит к более глубокому знанию обеих, чем познание, которое можно было получить, изучая каждую систему в отдельности".

Аналогия благодаря своей наглядности и доступности широко используется в математике: а) при изучении десятичных дробей подчеркивается их аналогия с натуральными числами; б) свойства алгебраических дробей аналогичны свойствам арифметических (обыкновенных) дробей; в) методика решения задач на составление уравнений второй степени аналогична методике решения задач на составление уравнений первой степени; г) свойства членов геометрической прогрессии во многом аналогичны свойствам членов арифметической прогрессии и т.п.

Ход умозаключения по этому виду аналогий можно записать в виде следующей формулы:

А имеет признаки а1, а2, а3, х; В имеет признаки а1, а2, а3;

Вероятно, В имеет и признак х.

Возьмем такой пример: модель самолета (А) имеет такую же форму (а1), такое же отношение веса к плоскости крыльев (а2), такое же соотношение между весом носовой части и остальной части фюзеляжа (а3), как и конструируемый самолет. При испытании модели в аэродинамической трубе оказывается, что модель неустойчива (x). На основании аналогии (сходство модели и самолета в трех признаках) конструктор непременно сделает вывод, что самолет будет также неустойчив при полете.

167

Умозаключения по аналогии применяются в физике, строительстве плотин, в лингвистике, кибернетике, истории и т.д. Это, в частности, объясняется тем, что во всех областях науки начинает интенсивно внедряться моделирование, когда возможное поведение интересующих нас объектов исследуется на условных образах, аналогичных исследуемому объекту.

Под моделью (лат. modulus — мера, франц. modèle — образец) в науке понимается искусственно созданный объект в виде схемы, чертежа, логикоматематических знаковых формул, физической конструкции и т.п., который, будучи аналогичен (подобен, сходен) исследуемому объекту (самолету, человеческому сознанию, клетке и т.д.), отображает и воспроизводит в более простом, уменьшенном виде структуру, свойства, взаимосвязи и отношения между элементами исследуемого объекта, непосредственное изучение которого невозможно, недоступно или связано со значительными трудностями, большими затратами средств и энергии, и тем самым облегчает процесс получения информации об интересующем нас предмете.

Исследуемый объект, по отношению к которому строится модель, называется черным ящиком, который представляет собой оригинал, образец, прототип, подчас не данный нам в наблюдении.

Все существующие модели обычно подразделяются на три типа: физические, вещественно-математические и логико-математические. Физические модели имеют природу, сходную с природой изучаемого объекта, и отличаются от него лишь размерами, скоростью течения исследуемых явлений и иногда материалом. Вещественно-математические модели имеют отличную от прототипов физическую природу, но допускают одинаковое с оригиналом математическое описание. Логикоматематические модели конструируются из знаков. Это абстрактные модели, которые строятся как исчисления (лат. calculus — счет). Под исчислением понимается, таким образом, система изучения объектов внешнего мира, в которой предметам какой-либо определенной области ставятся в соответствие материальные знаки (цифры, буквы и др.), и с ними затем по принятым в системе точным правилам производятся операции, необходимые для достижения поставленной цели. Исчисление можно определить и как формальное устройство, позволяющее получать одни последовательности символов из других путем вывода. Исчисления имеют конечный алфавит и правило вывода (С.К. Клини). Математика, возникшая шесть тысячелетий тому назад в Древнем Египте и Вавилонии, строилась прежде всего как исчисление. Только в III в. до н.э. Евклид впервые построил математику в виде аксиоматической теории, т.е. теории, построенной из конечного числа аксиом (греч. axioma — значимое, достойное уважения, принятое, бесспорное) — истинных суждений, которые в рамках замкнутой теорий принимаются без доказательств в качестве исходного положения и которые кладутся в основу доказательства всех других положений этой теории. Из аксиом с помощью заданных правил вывода дедуктивно могут быть получены содержательно истинные предложения (теоремы), сформулированные на языке данной теории.

Но до сих пор в современной школе изучение математики начинается с нумерации и четырех действий арифметики, т.е. с оперирования знаками (цифрами), что само по себе является исчислением.

168

В математической логике имеется несколько взаимосвязанных исчислений:

1) исчисление высказываний, изучающее логические операции с простыми высказываниями, которые объединяются в сложные высказывания с помощью логических связок, сходных с принятыми в обычной речи союзами: и (конъюнкция, в математической логике он представлен символом &), или (дизъюнкция, символ V), если ... то...

(импликация, символ ®), тогда и только тогда, когда (эквивалентность, символ ~), а также с отрицанием, обозначаемым частицей не (символ ù );

2)исчисление классов, изучающее символику Аристотеля;

3)исчисление предикатов, исследующее операции с высказываниями, расчлененными на субъект и

предикат; 4) исчисление отношений, исследующее логические свойства и операции над двухместными, трехместными и т.п. отношениями.

Примером модели, построенной как исчисление, может служить модель (или теория) трансформационных порождающих грамматик (ТТПГ), предложенная выдающимся американским лингвистом Н. Хомским. ТТПГ опирается на тот факт, что любой носитель естественного языка может понять подавляющее большинство предложений, которые он никогда не слышал. Следовательно, в мозгу человека существует устройство, которое помогает ему понимать и воспроизводить правильные фразы известного ему языка (языков) и отвергать неверные. Это устройство, как уже говорилось, называется competence и является объектом изучения лингвистики, так как этот объект сегодняшними средствами естественных наук не может быть изучен. Ставится задача его моделирования. Под языком в ТТПГ понимается множество цепочек из конечного числа элементов. Одни цепочки являются предложениями, другие — нет. Основная задача лингвистики определяется как умение отличить грамматически правильные предложения от неправильных и исследовать структуру правильных предложений. Грамматика — это модель устройства, порождающего все правильные фразы данного языка и только их. Порождение — это не построение в мозгу правильной фразы, а перечисление правильных фраз. При этом грамматичность нельзя путать с осмысленностью и вероятностью встречаемости. Так, неправильными считаются предложения типа:

1)Furiously sleep ideas green colorless (англ.)

2)Read you a book on modern music (англ.)

3)Je n'ai vu rien (фр.)

4)Je n'ai personne vu (фр.).

Апредложение Green colorless ideas sleep furiosly (Зеленые бесцветные идеи яростно спят) рассматривается как правильное. Грамматичными являются предложения, в которых при замене одних членов другими с теми же грамматическими показателями получается правильная фраза. Каждый человек в своей жизни слышал не так уж много предложений, но всегда может отличить правильную фразу от неправильной. Лингвист моделирует структуру такого типа на базе конечного числа известных (наблюденных)

169

правильных и неправильных предложений. В качестве примера могут быть рассмотрены следующие правила порождения, предлагаемые в ТТПГ:

(I) S ® NP+ VP (S — предложение, NP— группа существительного, VР — глагольная группа)

(II) NP ® Det +N

(III) VP ® V+ NP (IV) Det ® the

(V) N ® man, ball...

(VI) V → hit, took…

С помощью этих правил можно образовать правильную английскую фразу: The man hit the ball ( "Мужчина ударил по мячу"):

S

NP + VP (I)

Det + N + VP (II)

Det + N + V + NP (III)

the + N + V + NP (IV) the + man + V + NP (V) the + man + hit + NP (VI)

the + man + hit + Det + N (II) the + man + hit + the + N (IV) the + man + hit + the + ball (V)

Предложения типа The man hit the ball называются ядерными, так как являются следствием прямого вывода. Из ядерных предложений по специальным правилам можно получить пассивные, вопросительные фразы и т.д.

Все правила делятся на Р-правила (правила структуры составляющих)

иT-правила (трансформационные правила).

А® В (Р- правила: заменить А на В, или А º В, или "A" is "В");

АÞ В (Т- правила: т.е. В выведено из А).

Р-правила бывают двух видов: контекстно-свободные (context-free) и контекстно-связанные (context-restricted). Правило называется контекстносвязанным, если оно устанавливает, что символ А может быть заменен символом В, только если находится в окружении X — Y, т.е. X предшествует А , a Y непосредственно следует за А:

А ® В / X — Y.

Все остальные правила — контекстно-свободные. Действие P-правил определяется следующими требованиями:

1)каждое правило должно развертывать один символ;

2)каждый развертываемый символ (за исключением начального) должен входить и в правую часть какого-либо правила;

3)ни один символ не может заменяться пустым символом (т.е. опускаться);

4)результирующая цепочка должна быть отлична от начальной, т.е.

АХ + A + Y;

5)для любой пары символов в грамматике не может одновременно

содержаться пара правил: А ® В; В

® А.

170

			S
		ься пара правил: А ® В; В ® А.
	NP		VP			Adv
Det	N	V			NP
			Det		N

a girl cut the flower yesterday

Вывод по Р-правилам может быть представлен в виде дерева. Например:

T-правила — это правила подстановки вида А Þ В. Если Р-правила переводят одни цепочки в другие, то T-правила переводят одни деревья в другие деревья. T-правила делятся на обязательные (Tob) и факультативные (Topt).

Например, Topt: NP+ VP+ Adv Þ Adv+ NP+ VP (факультативно наречие из конца предложения может быть перенесено в начало).

Левая часть трансформации (T-правила) называется структурным описанием (structural description), правая — структурным изменением (structural change), а сама подстановка — операцией. Операции могут быть элементарными или представлять собой комбинацию элементарных операций. Элементарными операциями являются: 1) добавление (addition); 2) опущение (omission); 3) перестановка (permutation); 4) субституция (substitution).

Примеры:

1)X + Y Þ Х+ Y +Z (добавление)

2)X+ Y Þ Y(опущение)

3)Х+ Y+ Z Þ X +Z + Y (перестановка)

4)Х+ В + С Þ X + D + C, где D может быть только терминальным, т.е. конечным символом.

Правила могут комбинироваться. Например:

B + C + D Þ D + C (перестановка и опущение).

Пример применения трансформационного правила (факультативный перенос наречия в начало предложения, см. рис. ниже).

Правила оперируют с символами, превращая их в цепочки и деревья. Все символы делятся на основные (словарные) и вспомогательные.

Словарные символы состоят из символов классов, которые репрезентируют составляющие высоких рангов — NP, VP и т.д., и морфемных символов, которые представляют собой составляющие низших рангов — man, hit и т.д. Начальный символ S — sentence (предложение), который относится к основным, задается до первого правила, он определяет границы порождающей грамматики. Среди морфемных символов различают символы грамматических морфем (морфемы Pres, Past и т.д.) и символы лексических

171

S

S

NP

VP

Adv

Adv

NP

VP

Det

N

V

NP

Topt

Det N

V

NP

Det N

permutation

Det

N

a

girl

cut

the

yesterday

a

girl

cut

the

flower yesterday

flower

морфем. Морфемные символы являются конечными, они называются терминальными (лат. termino — ограничивать). Цепочка — это соединение одного или нескольких словарных символов. Вспомогательные символы делятся на переменные символы, для каждого из которых должна быть задана область его применения ( W, У, Z и т.д.), операторы (→, + и т.д.) и символы сокращений, т.е. скобки. Р-правила устанавливают структуры, лежащие в основе языка, а Т-правила изменяют структуры. Предложение, полученное применением Т-правил, называется производным, или выведенным, предложением (derived sentence). Терминальные цепочки имеют абстрактный вид, обязательные трансформации (Тов) превращают их в предложения языка, готовые к фонетической интерпретации. Предложения, полученные в результате применения Р-правил и обязательных Т-правил (и только их), — называются ядерными предложениями (kernel sentences). Если два предложения выведены посредством Т-правил из одного глубинного, их называют родственными (related sentences). Например, родственными являются следующие четыре предложения:

1.Mary hit the boy.

2.The boy was hit by Mary.

3.Whom hit Mary?

4.Who hit the boy?

Общая глубинная структура этих предложений следующая:

	S
	NP			VP
N	V		NP
			Det		N

P-правилаMaryвсегда предшествуютhit theT-правиламboy. Оба типа правил строго упорядочены: после применения правила i правило j применять нельзя, если

172

i < j. Одно и то же правило можно применять сколько угодно раз подряд, если сохраняются условия для его применения. Для Р-правил обязательно развертывание нетерминальных символов высших рангов прежде развертывания нетерминальных символов низших рангов, а развертывание нетерминальных символов должно предшествовать развертыванию терминальных символов. Эти последствия должны группироваться в конце.

Для T-правил обязательно выполнение следующего требования: более общие правила должны следовать за менее общими, при этом выход одного должен являться входом другого.

Для построения ТТПГ нужен корпус, содержащий: а) список различных максимально грамматичных предложений рассматриваемого языка; б) список различных максимально неграмматичных предложений языка. (Пробную грамматику можно построить уже по первому списку.)

Ключевыми моментами процедуры построения ТТПГ являются:

1.Определение значения морфем и составление словаря вида: морфема

—ее значение — принадлежность к некоторому классу (например, к классу суффиксов существительного).

2.Установление того, про какие классы можно сказать, что они образуют субъект и т.п., т.е. установление функций классов, полученных в первом пункте, и выделение типов предложений, объединяемых тождественным порядком тождественных функций, например:

субъект — глагол — объект (1-й класс),

субъект — глагол (2-й класс) и т.д.

3.Установление, начиная с самого длинного предложения, и запись в виде таблицы встречаемости классов и позиции этой встречаемости.

4.Установление того, какие элементы встречаются всегда, какие

не всегда, какие встречаются вместе и т.п., и сведение таким способом к минимуму число возможных комбинаций и типов.

5.Установление синтаксических отношений между членами в предложениях разных типов.

6.Сравнение типов предложений и изучение их сходства и различия.

7.Запись решения с соблюдением рекомендуемого порядка применения правил.

8.Проверка решения и внесение исправлений.

ТТПГ претендует на статус общей теории, которая объясняет все имеющиеся факты и предсказывает все возможные новые. Объяснительные теории считаются высшей ступенью научного описания.

Любая моделирующая теория должна удовлетворять требованиям внешней адекватности (в нашем случае — перечислять только правильные предложения) и общности (в ТТПГ общие понятия формулируются вне зависимости от конкретного языка).

Наука о языке проходит в своем развитии стадии, связанные с тремя разными процедурами.

1. Процедура открытия грамматики:

Совокупность

Грамматика

высказываний

173