1.4. Аксиомы степени и бесконечности. Мощности и кардинальные числа множеств

Аксиома степени (Z4). Для любого множества X существует множество всех его подмножеств P(X).

Принимая этот факт, как очевидный, тем не менее пре­д­ставляет интерес анализ структуры P(X).

Множество называется конечным, если число его эле­ме­н­тов можно выразить каким‑либо натуральным числом.

Для конечных множеств имеет место следующая тео­рема.

Теорема 1.7 Пусть X = {x₁, x₂,…, x_n} — множество, содержащее n элементов. Тогда множество всех под­множеств множества X биективно множеству всех бинарных функций, определенных на X, число которых 2ⁿ.

Доказательство. Ясно, что ни одно из подмножеств X не может содержать больше элементов, чем X. Поставим в биективное соответствие каждому из подмножеств Z  X бинарную функцию y₁, y₂,…, y_n, элементы которой определим следующим образом:

1, если x_i  Z,

y_i =

0 в противном случае.

Поскольку наше построение включает все подмножества от  до X, то в результате этого получим последо­ва­тель­ность всех бинарных функций со значениями от 0, 0, …, ­0 до 1, 1, … , 1. Каждой такой функции поставим во взаимно‑однозначное соответствие двоичное число от 0 до 11…1 = 2ⁿ - 1, где в равенстве слева имеем n единиц.

Следовательно, число всех бинарных функций будет 2ⁿ, что и требовалось.

Пусть, например, A = {1, 2, 3}. Тогда элементами мно­же­­ства всех подмножеств A будут:

{ { }, 1, 2, 3, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.

В соответствии с этим построением имеем множество бинарных функций:

000,100,010, 001, 110, 101, 011, 111.

Отдавая дань заключению теоремы 1.7, множество всех подмножеств P(X) конечного множества X обоз­на­чают 2^X.

Представляет несомненный интерес расширение тео­ремы 1.7 для множеств, содержащих бесконечное число эле­мен­тов. Однако, для этого необходимо вначале допустить существование самих таких множеств. Ни одна из вве­ден­ных ранее аксиом не утверждала, хотя и не отрицала этого. По­э­тому до сих пор не ясно, можно ли рассматривать, как мно­жество всю непрерывную прямую, всю плоскость — те­ло и т.д. Очевидным представляется только следующий факт.

Аксиома бесконечности (Z6). Существует, по крайней мере, одно бесконечное множество — нату­раль­ный ряд чисел.

На основании этого можно приступить к построению множеств более сложной структуры: прямой, плоскости и т.д. Естественно при этом возникает вопрос: как сравнивать эти множества по числу элементов?

В частности, формально пытаясь на основании аксио­мы степени расширить теорему 1.7 на множество всех под­множеств натурального ряда, получим, что число элементов множества всех подмножеств натурального ряда равно

lim 2ⁿ = .

n  

Ясно, что этот тривиальный результат ничего не дает в сравнении множеств: исходного и полученного. Нужны бо­лее тонкие оценки структуры бесконечных множеств.

Известные оценки базируются на понятиях мощности и эквивалентности множеств.

Мощностью конечного множества называется число всех элементов данного множества. Мощность произвольного конечного множества X обозначается X.

Скажем, что два множества X и Y из семейства A (ко­нечных или бесконечных) эквивалентны, если существует биекция f: XY.

Это отношение рефлексивно, симметрично и тран­зи­ти­вно. Действительно, рефлексивность вытекает из суще­ств­ования тождественной функции f: X  X, в случае Y = X. Сим­­метричность следует из существования обратной фу­нк­ции для любой биекции f: из f: X  Y следует, что f^-1 :Y­  X. Транзитивность определяется свойством супер­позиции биективных функций (Теорема 1.6).

Следовательно, данное отношение разбивает все мно­жества семейства A на классы эквивалентных элементов. Рассмотрим в чем ее смысл.

Для взаимно‑однозначных функций имеет место следующая теорема.

Теорема 1.8 Если функция f взаимно однозначно отображает конечное множество X на Y, то условия X = n и Y = n эквивалентны.

Доказательство. Если {x_n} — последовательность с n попарно различными членами и множеством значений X, то в силу биективности функции f имеем {f(x_n)} — последова­тельность с n попарно различными членами и множеством значений Y, что и требовалось.

Таким образом, мощность — это то общее, что есть у раз­личных конечных эквивалентных множеств.

Принципиально ничего противоречащего этому не об­на­руживается и в случае бесконечного числа элементов у эк­ви­валентных множеств. Для того, чтобы определять мощ­но­сти бесконечных множеств, введено понятие кардиналь­ных чисел.

Кардинальным числом называется символ, определя­ющий количество элементов бесконечного множества.

Кардинальное число натурального ряда условились обо­зна­чать символом «₀»(читается — алеф нуль).

Пусть для некоторого конечного множества X имеем X = n. Тогда, естественно, допустимо сравнение n < ₀.

Обозначим  — кардинальное число множества всех подмножеств натурального ряда. Расширяя теорему 1.7 на натуральный ряд, получим, что  = 2^0.

Возникает вопрос:  = ₀ или  > ₀? Если  > ₀, то мощность натурального ряда меньше, чем мощность множества всех его подмножеств и мы имеем, во‑первых, способ построения более мощных множеств, переходя от X к P(X), а во‑вторых создаются предпосылки построения шка­лы мощностей, в том числе, бесконечных множеств. Реше­ние этих вопросов рассматривается ниже.