2.2. Операции математической логики

Функции F₂¹ поставлена в соответствие операция отрицания или логическое «не». Эта операция имеет следу­ющее обозначение: . Например, если x = 0, то  x = 1. Отрицание определяется таблицей истинности 2.1 для функ­ции F₂¹, рассмотренной выше. Операция отрицания является унарной, так как имеет один аргумент. Ее смысловое значе­ние: «не истина» это «ложь», а «не ложь» это — «истина».

Перейдем теперь к рассмотрению бинарных, т.е. операций, имеющих два аргумента, которые можно получить из таблицы 2.2 при анализе свойств функций. Ниже рассмотрены только те функции, которые пред­ставляют определенный интерес, аналогично тому, как бы­ло сделано при анализе таблицы 2.1.

Функция F₁² представлена операцией, которая по­лучила название — конъюнкция или логическое умно­жение. Этой операции соответствует союз «И» в русском языке. В математической логике для нее приняты обоз­начения  или . Какой из них применять — дело вкуса. Мы, следуя [2], будем использовать, как правило, первый из них. Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания, связанные ею. Рассмотрим в качестве примера высказывания х₁ = a  1, x₂ = a  0 и x₃ = x₁  x₂. Из таблицы 2.2 видно, что х₃ истинно тогда и только тогда, когда x₁ = x₂ = 1. Если теперь вернуться к атомарному смыс­лу, то получится, что x₃ истинно тогда и только тогда, когда а  . Таким образом, создаются предпосылки получения новых атомарных высказываний на основе формальных результатов математической логики. В этом же плане мы рассмотрим и другие функции, которые получили специ­альные наименования.

Следующая из них функция F₆² представлена опе­рацией, которая именуется «разделительная дизъюнкция», «исключающее или» или «сложение по модулю два». Из таблицы 2.2 видно, что она принимает значение «истина» тогда и только тогда, когда или один или другой из опе­рандов истинны, но не оба имеют одно и тоже значение истинности. В латыни есть союз aut для разделительной дизъюнкции, в русском языке это союз «или ‑ или». Опера­ция имеет обозначение « ». Иногда, если смысл не теря­ется, то применяют также обозначение: «+».

Рассмотрим пример. Пусть x₁ = а  A, х₂ = b  B, где A и B — произвольные множества и х₃ = х₁  х₂. В этом случае х₃ примет значение «истина» исключительно на симмет­рической разности множеств A и B. Проверьте это!

Функции F₇² поставлена в соответствие операция — дизъюнкция. В отличии от предыдущей она включительна. В латыни ей соответствует союз vel. В связи с этим для нее и принято и обозначение — «». В русском языке ей соот­ветствует союз «или». В качестве примера рассмотрим выс­казывание х₃ = х₁  х₂, где х₁ = а  A, х₂ = а  B, A и B — произвольные множества. Данное высказывание истинно, тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из выс­ка­зываний х₁, х₂ или оба вместе. Нетрудно проверить, что х₃ истинно тогда и только тогда, когда элемент а принад­лежит объединению множеств A и B.

Функции F₈² поставлена в соответствие операция, име­нуемая — «стрелка Пирса». Обозначается: «↓». Она при­нимает значение «истина» тогда и только тогда, когда оба ее операнда ложны: «бесспорная ложь».

Функции F₉² поставлена в соответствие операция «эквивалентность». Обозначается «» либo «». Ее применение по­зволяет индицировать эквивалентность операндов в смысле истинности. Это дает возможность расширить экви­валентность вплоть до атомов. Например, пусть х₁ = (а mod 2 = 0), x₂ = = (b mod 2 = 0) и х₃ = х₁  х_2. Тогда х₃ принимает значение «истина» тогда и только тогда, когда a и b на­ходятся в одном классе эквивалентности, то есть оба четные или оба нечетные.

Функции F₁₃² поставлена в соответствие операция, именуемая, «импликация». Смысл английского слова «im­plication» означает — «подразумеваемое». Соответствующее обоз­начение:  или . Такая интерпретация породила неко­торые споры. Пусть, например, х₁ — высказывание, озна­чающее «2 + 2 = 5», а х₂ — высказывание, которое определяет «3 + 3 = 6». Тогда, согласно таблице истинности 2.2 из того, что х₁ — ложно, а х₂ — истинно, подразумевается, что х₃ — истинно, хотя никакой связи по смыслу между х₁ и х₂ нет. В данной ситуации необходимо снова отметить, что мате­матическая логика ответственности за связь первичных высказываний не несет. Они могут быть построены не по правилам мате­матической логики, а по правилам пред­метной области. Тем не менее, абстрактный результат нис­колько не противоречит логическому смыслу операции. В логике конструкция «если A, то B» ложна тогда и толь­ко тогда, когда из истины следует ложь.

Функции F₁₄² поставлена в соответствие операция, именуемая «штрих Шеффера». Она обозначается сим­волом «│». Ее истинностное значение утверждает, что «кто‑то лжет»: высказывание, определенное либо первым, либо вторым из двух операндов данной операции.