7)Формула полной вер-сти, формула Байеса.

Th1(формула полной вер-сти): пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий Н1,Н2…Нn, образующих полную группу, тогда вер-сть наступления события А нах. по формуле: Р(А)=Р(Н1)*Р_Н1(А)+ Р(Н2)*Р_Н2(А)+…+ Р(Нn)*Р_Нn(А)

Замечание: поскольку заранее не известно, к-ое из событий Н1,Н2 произойдет, то каждое из этих событий наз. гипотезой. Они исчерпывают все возможные предположения относительно 1этапа эксперимента. Событие А-один из возможных исходов 2 этапа.

ПР1: в сборочный цех завода поступает40% деталей от 1 поставщика, 60%-от 2. Известно, что 1 поставщик производит 90% стандартных деталей, а 2-95%. Найти вер-сть того, что на удачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.Н1-деталь от 1 поставщика, Н2- деталь от 2 поставщика. Р(Н1)=0,4 Р(Н2)=0,6 А-деталь стандартная Р(Н1/А)=0,9 Р(Н2/А)=0,95. Р(А)= Р(Н1)* Р(Н1/А)+ Р(Н2)* Р(Н2/А)=0,4*0,9+0,6*0,95=0,93

Следствием формулы полной вер-сти является формула Байеса.

Она позволяет переоценить вер-сти гипотез Нi, принятых для опыта по результатам уже проведенного опыта.

Th2(формула Байеса): пусть событие Н1,Н2…Hn образуют полную группу, тогда условная вер-сть события Нi при условии, что событие А уже наступило нах. по формуле: Р(А/ Нi)=(Р(Нi)*H(Нi/А))/Р(А), где Р(А)-полная вер-сть события А.

ПР2: пусть в ПР1 взятая сборщиком деталь оказалась стандартной. Найти вер-сть того, что она поступила от 1 поставщика. Р(А/Н1)=(0,4*0,9)/0,93=0,39.

8)Независимые испытания. Формула Бернулли.

Поставим перед собой задачу найти вер-сть того, что при n испытаниях событие А произойдет ровно k раз(в произвольной последовательности), искомую вер-сть обозначим Pn(k).

Th(Формула Бернулли): если производится n независимых испытаний, в каждом из к-ых вер-сть появления события А равна р, а вер-сть его непоявления равна q=1-p, то вер-сть того, что событие А произойдет ровно k раз(0≤k≤n) нах. по формуле: Pn(k)=C_n^k*p^k*q^n-k

ПР: производится 3 независимых выстрела по цели. Вер-сть попадания при 1 выстреле равна 0,9.Найти вер-сти: а)промаха б)2 попаданий.А)Р3(0)=С₃⁰*0,9º*(1-0,9)^3-0 =1*1*0,1³=0,001 б) Р3(2)=С²₃*0,9²*0,1¹=0,243

9)Биномиальное распред-ие вер-стей. Вероятнейшее число появления события.

Правая часть формулы Бернулли есть общий член разложения биномы Ньютона. Сов-сть данных вер-стей наз. биномиальным распр-ем вер-стей. Биномиалное распр-ие позволяет определить вер-сть из n появления m, к-ая будет равна Pn(k≤m≤l)=Pn(k)+Pn(k+1)+…+Pn(l).

ПР: по каналу связи передается 5 сообщений, каждое из них независимо от других. с вер-стью 0,3 искажается помехами. Найти вер-сть событий: а) не более 2 передаваемых сообщений искажены. n=5, p=0,3 а) Р5(0≤m≤2)=Р5(0)+Р5(1)+Р5(2)=С⁰₅*0,3º*0,7⁵+С¹₅*0,3¹*0,7⁴+С²₅*0,3²*0,7³=0,8569

Число k в схеме Бернулли наз. наивероятнейшим, если вер-сть того, что событие наступит в n испытаниях k раз не меньше вер-сти остальных возможных исходов испытаний. Наивероятнейшее число нах. по формуле np-q≤k≤np+q

ПР: испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вер-сть того, что элемент выдержит испытание=0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, к-ые выдержат испытания. 15*0,9-0,1≤k≤15*0,9+0,1 13,4≤k≤14,4 k=14