Примеры

1. Найти для функции.

;

.

2. Найти для функции.

; ;;.

4.14. Определение дифференциала функции

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции.

Пусть функция дифференцируема, т.е. имеет производную в каждой точке ее области определения.

Определение.

Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменнойх:

или .

Для функции имеем:

, т.е. .

Тогда

или .

Значит, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.

Из формулы следует, что

или .

Следовательно, производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента.

4.15. Основные теоремы о дифференциалах

Так как дифференциал функции есть произведение производной функции на дифференциал независимой переменной, то большинство теорем и формул, относящихся к производным, сохраняет свою силу и для дифференциалов.

Пусть идифференцируемые функции. Тогда имеют место следующие формулы:

1. ,;

2. ;

3. ,;

4. ;

5. ,;

6. ,;

7. если ,или, то

или .

Из таблицы производных можно получить таблицу дифференциалов функций.

Правила дифференцирования		Формулы дифференцирования
1.	,	1.
2.		2.
3.	,	3.
4.		4.
5.	,	5.
6.	,	6.
7.	, если	7.
8.	, если ,	8.
		9.
		10.
		11.
		12.
		13.

Примеры

Найти дифференциалы функций:

1. .

;

.

2. .

.

4.16. Дифференциалы высших порядков

Дифференциалы высших порядков определяются аналогично производным высших порядков.

Для функции ее первый дифференциалесть также функция отх.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) называют дифференциал от первого дифференциала, т.е.

или

.

Отсюда получаем выражение для второй производной

.

Дифференциалом n-го порядка (или n-дифференциалом) называют дифференциал от дифференциала (n-1) порядка, т.е.

или .

Примеры

Найти для функций:

1. .

;

;

.

2. .

;

;

.

4.17. Основные теоремы дифференциального исчисления

Знание производной некоторой функции позволяет делать заключение о поведении самой функции. В основе различных приложений понятия производной лежат несколько теорем, называемых основными теоремами дифференциального исчисления.

Теорема (теорема Ферма^).

Пусть функция определена на интервалеи в некоторой точкеэтого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точкесуществует производная, то она равна нулю, т.е..

Рис. 4.2

Геометрически это означает, что в точке с абсциссой () касательная к графику функциипараллельна осиОх (рис. 4.2).

Теорема (теорема Ролля^).

Если функция

1) определена и непрерывна на отрезке ;

2) имеет производную на интервале ;

3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е., то в интервалесуществует, по крайней мере, одна точкас, в которой производная данной функции равна нулю, т.е. .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что на графике функции найдется точка, в которой касательная к графику параллельна осиОх (рис.4.3).

Рис. 4.3

Теорема (теорема Лагранжа^).

Если функция

1) непрерывна на отрезке ;

2) имеет производную на интервале,

то в интервале существует, по крайней мере, одна точкас такая, что справедлива формула

или

.

Последнее равенство читается так: приращение функции на интервале равно произведению производной в некоторой внутренней точке интервала на приращение независимой переменной.

Эту формулу называют формулой конечных приращений.

Теорема (теорема Коши^).

Если функции и

1) непрерывны на отрезке ;

2) имеют производные ина интервале;

3) производная на интервале,

то в интервале существует, по крайней мере, одна точкас такая, что справедлива формула

.

Теорема Коши устанавливает связь между приращениями функций на некотором отрезке и значениями их производных в некоторой точке, лежащей внутри этого отрезка.