4.18. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей при помощи производных. Этот способ обычно называют «Правилом Лопиталя».
Напомним, что под
неопределенностями понимают неопределенные
выражения вида:
,
встречающиеся при вычислении пределов
функций. Некоторые элементарные приемы
раскрытия неопределенностей были даны
(п.2.13).
Теперь, опираясь
на теорему Коши, введем правило Лопиталя
для раскрытия неопределенностей типа
и
,
которые являются основными видами
неопределенностей.
Неопределенность вида
Теорема (правило Лопиталя).
Пусть функции
и
определены и дифференцируемы в некоторой
окрестности точки
,
за исключением, быть может, самой точки
.
Пусть
и
в указанной окрестности точки
.
Тогда, если существует (конечный или
бесконечный) предел
,
то существует и
предел
,
причем справедлива формула
=
.
Теорема дает правило, сводящее вычисление предела отношения двух функций к вычислению предела отношения их производных.
Замечания.
1. Если производные
и
удовлетворяют тем же требованиям, что
и сами функции
и
,
то правило Лопиталя можно применять
повторно.
Получим при этом
=
.
2. При вычислении предела отношения производных допустимы различные упрощения полученных выражений, сокращение общих множителей, использование уже известных пределов.
3. Теорема справедлива
и в случае, когда
(
или
).
Пусть требуется
найти
,
если
.
Сделаем подстановку
.
Тогда, если
,
то
.
Имеем
.
Примеры
Найти пределы функций:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Неопределенность
вида
Теорема (правило Лопиталя).
Пусть функции
и
определены и дифференцируемы в некоторой
окрестности точки
,кроме,
быть может, самой точки
.
Пусть
и
в указанной окрестности точки
.
Тогда, если существует (конечный или
бесконечный) предел
,
то существует и
предел
,
причем справедлива формула
=
.
Замечания, сделанные для первой теоремы справедливы и для второй теоремы.
Примеры
Найти пределы функций:
1.
.
2.
.
3.
.
Чтобы раскрыть
неопределенности видов
,
их путем алгебраических преобразований
сводят к неопределенностям типа
или
,
после чего применяют правило Лопиталя.
Неопределенность
вида
Пусть
и
.
Требуется найти
.
Перепишем искомое выражение в виде
или
и применим правило Лопиталя.
Примеры
Найти пределы функций:
1.
.
2.
.
Неопределенность
вида
Пусть
,
.
Тогда
.
Сводим данное
выражение к неопределенности
:
Примеры
Найти пределы функций:
1.
.
2.
.
Неопределенности
видов
Такие неопределенные выражения возникают при вычислении пределов показательно-степенной функции
,
когда имеет место один из трех случаев:
а)
,
;
;
б)
,
;
;
в)
,
;
.
В этих случаях поступают следующим образом:
1) логарифмируют функцию, стоящую под знаком предела, т.е., если
,
то
;
2) вычисляют предел
.
Предел
представляет собой неопределенность
уже изученного типа
.
Ее раскрываем сведением к неопределенностям
вида
или
и применяем правило Лопиталя.
Следует заметить, что вычисляется предел не от заданной функции, а от ее логарифма.
3) Находят предел функции у.
Пусть
или
(в силу непрерывности логарифмической
функции).
Тогда
,
т.е.
.