- •Глава 4 производная и дифференциал функции
- •4.1. Определение производной
- •Примеры
- •4.2. Геометрический смысл производной
- •4.3. Физический смысл производной
- •4.4. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •4.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
- •4.6. Производная сложной функции
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.8. Таблица производных
- •4.9. Примеры отыскания производных сложных функций
- •Примеры
- •4.14. Определение дифференциала функции
- •4.15. Основные теоремы о дифференциалах
- •Примеры
- •4.16. Дифференциалы высших порядков
- •Примеры
- •4.17. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.18. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •Неопределенность вида
- •Примеры
- •Примеры
- •Упражнения
Примеры
Найти пределы функций:
1.
; ;
.
;
; .
2. .
; ;
;
;
.
3. .
; ;
;
;
.
Упражнения
Пользуясь основными правилами дифференцирования, найти производные функций:
1. |
; |
2. |
; |
3. |
; |
4. |
; |
5. |
; |
6. |
; |
7. |
; |
8. |
; |
9. |
; |
10. |
; |
11. |
12. |
. |
Применив правило дифференцирования сложной функции, найти производные функций:
13. |
; |
14. |
; |
15. |
; |
16. |
; |
17. |
; |
18. |
; |
19. |
; |
20. |
; |
21. |
; |
22. |
; |
23. |
; |
24. |
. |
Найти производные для функций, заданных параметрически:
25. |
; |
26. |
; |
27 |
; |
28. |
. |
Найти производные указанных порядков для функций:
29. |
? |
30. |
? |
31. |
? |
32. |
? |
Найти дифференциалы функций:
33. |
; |
34. |
; |
35. |
; |
36. |
. |
Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:
37. |
; |
Ответ: 1; |
38. |
; |
Ответ: ; |
39. |
; |
Ответ: ; |
40. |
; |
Ответ: 0; |
41. |
; |
Ответ: ; |
42. |
; |
Ответ: 0; |
43. |
; |
Ответ: ; |
44. |
; |
Ответ: ; |
45. |
; |
Ответ: 1; |
46. |
; |
Ответ: 1; |
47. |
; |
Ответ: 1. |
П.Ферма (1601−1665) – французский математик.
М.Ролль (1652−1719) – французский математик.
Ж.Лагранж (1736−1813) – французский математик.
О.Коши (1789−1859) – французский математик.
Г.Лопиталь (1661−1704) – французский математик.