- •§1. Первообразная и неопределенный интеграл: основные определения и теоремы
- •§2. Таблица основных интегралов
- •§3. Основные правила интегрирования
- •§4. Основные методы интегрирования
- •I Непосредственное интегрирование
- •II Метод замены переменной
- •II.1 Подведение под знак дифференциала
- •II.2 Метод подстановки
- •III Интегрирование по частям
- •§5. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •§6. Интегрирование рациональных функций
- •I Рациональные функции
- •1) ; 2); 3); 4).
- •II Интегрирование простейших дробей
- •III Интегрирование правильных рациональных дробей
- •§7. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
- •I Интегралы вида
- •II Интегралы вида
- •V Интегралы вида
- •III Квадратичные иррациональности: общий случай,
- •IV Интегрирование биномиальных дифференциалов:
§3. Основные правила интегрирования
I. .
II. .
III. Если , то.
Неопределенный интеграл – это множество функций и равенства I и II надо понимать как совпадение множеств. Например, равенство I означает следующее: чтобы получить элементы множества , надо каждый элемент множества умножить на число .Правило III можно доказать так: . Тогда
,
т.е. .
Отметим, что правило III “работает” только тогда, когда вместо переменной интегрирования фигурирует линейная функция :
,
но . Для этого интегралаправильный ответ имеет вид: .
Замечание. Правило III есть весьма частный случай замены переменной (см. следующий параграф).
§4. Основные методы интегрирования
I Непосредственное интегрирование
Так принято называть вычисление интегралов с помощью таблицы основных интегралов, правил интегрирования и тождественных преобразований подынтегральной функции.
Примеры.
1.
.
2.
.
Можно предложить и другой способ:
.
Ответы по форме различны, но формулы тригонометрии позволяют доказать их тождественность.
3. .
4.Частный случай формулы 14 из §2:
.
5.Один полезный прием:
.
II Метод замены переменной
Существуют две реализации этого метода: 1) в качестве новой переменной интегрирования рассматриваем некоторую функцию , которая фигурирует в подынтегральном выражении; 2) переменную интегрированиязаменяем специально подобранной функцией.
II.1 Подведение под знак дифференциала
Теорема 1. Пусть известно, что . Тогда, если функция– непрерывно-дифференцируема, то
. (1)
Доказательство. Первое условие теоремы означает, что .
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим
,
что и доказывает (1).
Чтобы воспользоваться этой теоремой на практике, необходимо вычленить в подынтегральной функции производную некоторой функции, объединить эту производную с дифференциалом переменной интегрирования и сделать замену. После вычисления интеграла вернуться к исходной переменной интегрирования.
Примеры.
6.
.
Замечание 1. Замену такого типа можно производить и без подведения под знак дифференциала.
7.
.
8.
.
Сразу отметим здесь, что такой простой заменой не всегда удается избавить-
ся от иррациональности (попробуйте сами, заменив в числителе на).
Замечание 2. Приведем две формулы, которые часто встречаются и их
лучше запомнить как табличные:
,
.
II.2 Метод подстановки
Теорема 2. Пусть требуется вычислить интеграл и пусть– непрерывно-дифференцируемая функция, имеющая обратную. Тогда, если
, (2)
то
Доказательство. Равенство (2) означает, что . Тогда
.
Сравнение начала и конца этой цепочки равенств и доказывает равенство (3).
Пример.
9.
=
.
Ответ можно упростить, если учесть формулу синуса двойного угла:
.
III Интегрирование по частям
Теорема 3. Если и– непрерывно-дифференци-руемые функции, то справедлива формула
. (4)
Доказательство вытекает из правила дифференцирования произведения: . Проинтегрируем обе части этого равенства и учтем одно из свойств неопределенного интеграла:
,
,
отсюда и следует формула интегрирования по частям (3).
При практическом применении этого метода подынтегральное выражение надо разбить в произведение таким образом, чтобы функциявычислялась просто, а интеграл в правой части (4) был бы проще исходного.
Примеры.
10.
.
.
Замечание 3. Если при вычислении интеграла взять другую первообразную, например, получим тот же результат:
.
Замечание 4. Область применения этого метода в основном исчерпывается интегралами вида , где– многочлен, а– это: 1) показательные, тригонометрическиеи гипербо-лические функции; 2) логарифмические и обратные тригонометрические функции. При этом в качествев случае 1) берем многочлен, а в случае 2)– логарифмы и аркфункции. Отметим, что в случае 2) «многочлен» может содержать степени переменной с ненатуральными показателями.
Примеры.
12.
.
13.
.
Мы пришли к уравнению , из которого
получаем
.
14.Для интеграла путем двукратного интегриро-
вания по частям можно получить уравнение
,
из которого находим
.
Аналогичным образом можно найти интегралы
, , .