§7. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений

В предыдущем параграфе мы определили рациональную функцию как отношение двух многочленов. Имеется и другое, равносильное, определение, пригодное для функций любого числа переменных.

Функция ,,и т.п. называется рациональной функцией своих аргументов, если над этими аргументами производятся, лишь арифметические операции.

Так запись означаем функцию, в которой надипроводятся только операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Нетрудно заметить, что класс всех рациональных функций замкнут относительно арифметических операций, суперпозиции и операции дифференцирования.

I Интегралы вида

Рационализируются так называемой универсальной тригонометрической подстановкой (УТП) . Тогда, как известно из тригонометрии,

;

аналогично ;

кроме того и.

Таким образом, данный интеграл сводится к интегралу

,

где – некоторая рациональная функция переменной.

Пример 1.

.

Рассмотренная подстановка рационализирует всякий интеграл вида (потому она и называется универсальной). Однако на практике эта подстановка часто приводит к слишком сложным рациональным функциям. Поэтому полезно знать и другие подстановки, которые в некоторых случаях быстрее приводят к цели.

II Интегралы вида

Рационализируется так называемой полууниверсальной тригоно-метрической подстановкой . Действительно,(для аргумента синусааргумент тангенса является половинным);

, ,

,.

Пример 2.

.

III Интегралы вида и

Подведение под знак дифференциала и соответствующая замена рационализирует эти интегралы.

Пример 3.

IV Интегралы вида

Способ преобразования подынтегрального выражения зависит от четности показателей степени.

IV.1 Хотя бы одно из чисел m, n – нечетное

подстановка рационализирует интеграл. Аналогично и для случая.

Примеры. 4..

=5.

=.

IV.2 Оба числа m и n – четные положительные

В этом случае для преобразования подынтегральной функции используют формулы понижения степени:

, .

При этом выражения ,сводится к сумме членов вида. Члены, у которых показатель степениp – нечетный, интегрируются по способу, рассмотренному в пункте IV.1. К остальным членам снова применяют формулу понижения степени, переходя к и так далее.

Пример 6.

IV.3 Оба числа m и n – четные, хотя бы одно отрицательное

В этом случае применима полууниверсальная подстановка, хотя возможны и более простые преобразования с использованием основного тригонометрического тождества. Покажем на примерах

Примеры.

7. .

8.

9.

Замечание 1. Для интегралов видаможно получать рекуррентные формулы. Например,

=.

Здесь первый интеграл – это , а ко второму применим интегри-рование по частям, положив,. Тогда

и .

Итак, имеем:

,

.

Отсюда и получаем рекуррентную формулу

, .

Эта формула позволит любой интеграл вида ,, свести к табличному :

к , если, или же к, если.

Рекомендуем студентам самим получить рекуррентные формулы для интегралов

, ,.

В двух последних не забудьте, что .

Замечание 2. Интегралы вида и т.п., вычисляются с использованием формул преобразования произведений тригономет-рических функций в суммы (разности). Например,

.