- •§1. Первообразная и неопределенный интеграл: основные определения и теоремы
- •§2. Таблица основных интегралов
- •§3. Основные правила интегрирования
- •§4. Основные методы интегрирования
- •I Непосредственное интегрирование
- •II Метод замены переменной
- •II.1 Подведение под знак дифференциала
- •II.2 Метод подстановки
- •III Интегрирование по частям
- •§5. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •§6. Интегрирование рациональных функций
- •I Рациональные функции
- •1) ; 2); 3); 4).
- •II Интегрирование простейших дробей
- •III Интегрирование правильных рациональных дробей
- •§7. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
- •I Интегралы вида
- •II Интегралы вида
- •V Интегралы вида
- •III Квадратичные иррациональности: общий случай,
- •IV Интегрирование биномиальных дифференциалов:
§5. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен
В этом параграфе рассматриваем интегралы вида
, .
В квадратном трехчлене выделим полный квадрат , где, а. После этого интеграл можно разбить на сумму двух интегра-
лов. Например,
.
Интеграл в первом слагаемом – это , а во втором – арктангенс или «высокий» логарифм.
Аналогично для получим:
.
Здесь первый интеграл равен , а второй – это арксинус или «длинный» логарифм.
Примеры.
1.
.
2.
.
Замечание. Если , то интегралы ипосле выделения полного квадрата можно найти с помощью правилаIII из §3 (замена переменной не обязательна).
§6. Интегрирование рациональных функций
I Рациональные функции
Определение. Рациональной функцией (или рациональной дробью) называется отношение двух многочленов
.
При этом дробь называется правильной, если ; в противном случае дробь называется неправильной.
Из алгебры известно, что неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель «столбиком» можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Например,
поэтому .
Интегрирование многочлена не представляет трудностей, поэтому надо сосредоточиться на интегрировании правильных дробей.
Среди всевозможных правильных дробей выделяют так называемые
простейшие дроби следующих четырех типов:
1) ; 2); 3); 4).
Здесь: ;– действительные числа, причем.
II Интегрирование простейших дробей
Правило III §3 позволяет сразу написать
,
.
Чтобы проинтегрировать дроби третьего и четвертого типов, следует выделить полный квадрат, сделать замену переменной и разбить интеграл на сумму двух интегралов. Например, для дроби третьего типа :
Для дроби четвертого типа аналогично будем иметь
Здесь интеграл вычисляется путем подведения под знак дифференциала:
Для интеграла во втором слагаемом можно вывести рекуррентную формулу, предварительно преобразовав его следующим образом:
Ко второму интегралу применим формулу интегрирования по частям, положив ,. Тогда, а– это уже вычисленный интеграл. Получим
,
.
Из последнего равенства и получим рекуррентную формулу
.
Эта формула позволяет последовательно вычислять интегралы для любого , опираясь на то, что
.
Вывод: интегралы от простейших рациональных дробей выражаются в конечном виде через рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.
III Интегрирование правильных рациональных дробей
Сформулируем (без доказательств) две теоремы алгебры, которые позволяют свести интегрирование правильных дробей к интегрированию простейших.
Теорема 1. Всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить единственным образом на множители двух типов: а) ли-нейные , б) квадратичные , где – действи-тельные числа. Эти множители могут быть простыми, если , и крат-ными, если .
Отметим, что линейные множители соответствуют действительным корням многочлена, а квадратичные – парам комплексных сопряженных корней.
Теорема 2. Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей; при этом:
a) линейному простому множителю в разложении знаменателя дроби на множители соответствует дробь 1го типа ;
b) линейному кратному множителю соответствует сумма дробей 1го и 2го типов вида
;
c) квадратичному простому множителю соответствует дробь 3го типа ;
d) квадратичному кратному множителю соот-ветствует сумма дробей 3го и 4го типа вида
.
Здесь , , – некоторые действительные числа, часть из которых может быть равна 0. Указанное разложение единственное (с точностью до порядка слагаемых).
Можно предложить следующий алгоритм разложения правильной дроби на простейшие слагаемые:
1) в соответствии с разложением знаменателя дроби на множители выписываем формальное разложение дроби на простейшие слагаемые с неизвестными коэффициентами;
2) приводим выписанную сумму дробей к общему знаменателю;
3) приравниваем числитель дроби, полученной в пункте 2), числителю исходной дроби;
4) равенство (тождественное!) многочленов, полученное в пункте 3) позволит нам найти неизвестные коэффициенты либо методом неопределенных коэффициентов ( т.е. приравнивая коэффициенты, стоящие при равных степенях х) либо методом частных значений (т.е. придавая переменной х конкретные – “ удобные ” – значения ).
Замечание. Метод частных значений особенно удобен в случае прос-тых действительных корней знаменателя разлагаемой дроби. Можно ком-бинировать оба метода определения неизвестных коэффициентов.
Примеры. 1. Разложить на простейшие слагаемые дробь
1й шаг: пишем формальное разложение
2й шаг: приводим сумму дробей к общему знаменателю
3й шаг: приравниваем числители
4й шаг: метод неопределенных коэффициентов дает систему уравнений
Отсюда :Искомое разложение имеет вид
Теперь, если понадобится, легко найти интеграл
2. Вычислить .
Имеем:
Отсюда следует тождество:
Для определения коэффициентов положим в этом тождестве последовательно . Сразу получим:, т.е. ,,. Окончательно имеем:
3.
Разложение на простейшие дроби здесь достигается путем незамысловатых преобразований:
Искомый интеграл равен
В заключение сформулируем основной результат данного параграфа: интегралы от рациональных функций выражаются в конечном виде с помощью рациональных функций, логарифмов и арктангенсов. Иными словами, всякая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.
В связи с этим интегралы от иррациональных и трансцендентных выражений стараются специально подобранными подстановками рационализировать, т.е. свести к интегралам от рациональных функций. Этим подстановкам и будут посвящены следующие параграфы.