IV Интегрирование биномиальных дифференциалов:
подстановки Чебышева
Биномиальным
дифференциалом называют выражение вида
,
где
,
– действительные числа, а показатели
степени
,
,
– рациональные числа.
Выясним случаи, когда подобные выражения рационализируются.
IV.1
.
Этот случай соответствует ситуации,
рассмотренной в пункте I.
Действительно,
и
интеграл рационализируется подстановкой
,
где
.
IV.2
.
Рассмотрим подстановку
,
где
–
знаменатель дроби
,
так что
.
Тогда
,
и
.
IV.3
.
Предлагается подстановка
,
где
–
знаменатель дроби
.
Докажите самостоятельно, что и в этом
случае, интеграл рационализируется.
Эти три случая интегрируемости биномиальных дифференциалов в элементарных функциях были известны еще в XVII веке. Однако, лишь в XIX веке Чебышев доказал, что других случаев нет.
Пример
6.
.
Здесь
,
и
;
так как
,
то имеем случай третьей подстановки
Чебышева. Итак,
или
.
Находим
отсюда
и
:
,
,
,
.
Кроме
того,
.
Имеем для интеграла:
.
Замечание к теме
В первом семестре мы рассмотрели многообразие функций, к которым в первую очередь применяются методы математического анализа – это элементарные функции. Нетрудно убедиться, что операция дифференцирования не выводит нас за пределы этого многообразия. Иначе обстоит дело с обратной операцией – интегрированием. Очень часто оказывается, что первообразная элементарной функции сама не является элементарной. К числу таких заведомо не выражающихся в конечном виде интегралов относятся, например,
,
,
Важно подчеркнуть, что все эти интегралы не только реально существуют, но и играют большую роль, как в самом математическом анализе, так и в его приложениях.