- •Теория функций комплексной переменной Лекция № 70. Определение функции комплексной переменной
- •1.1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи
- •1.3. Определение функции комплексной переменной
- •Лекция № 71
- •1.4. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Тема 2 : Ряды с комплексными членами
- •2.1. Числовые ряды
- •2.2. Степенные ряды
- •2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •Лекция № 72. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Гармонические функции
- •Тема 4 : Интеграл от функции комплексной переменной
- •4.1. Определение интеграла
- •4.2. Основная теорема Коши
- •Лекция № 73
- •4.3. Интегральная формула Коши
- •4.4. Производные высших порядков от аналитической функции
- •4.5. Ряд Тейлора
- •. . . . .
- •4.6. Ряд Лорана
- •Лекция № 74
- •Тема 5 : Вычеты
- •5.1. Изолированные особые точки аналитической функции
- •5.2. Определение вычета
- •5.3. Основная теорема о вычетах
- •5.4. Применение вычетов к вычислению интегралов
- •Операционное исчисление Лекция № 75. Тема 1 : Оригинал и изображение
- •1.1. Определение оригинала и изображения
- •1.2. Изображения некоторых функций
- •Тема 2 : Основные теоремы операционного исчисления
- •2.1. Теоремы подобия, запаздывания и смещения
- •Лекция № 76.
- •3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники
- •Литература
- •С о д е р ж а н и е
Лекция № 72. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной
3.1. Определение производной
Пусть функция определена в некоторой окрестности точкиz.
Определение 1. Если существует предел ,
то он называется производной функции и обозначаетсяили, а функцияназывается дифференцируемой.
Теорема 1. Если функция определена в неко-торой окрестности точкии функциииимеют непрерывные частные производные, то функциябудет дифферен-цируемой, если
(1)
Верно и обратное.
Условия (1) называются условиями Коши – Римана.
Пусть существует предел .
Так как этот предел не зависит от пути, по которому , то полагая, получаем
. (2)
Аналогично, полагая , имеем
. (3)
Сравнивая формулы (2) и (3), получаем условия (1).
Обратная часть теоремы. Пусть выполняются условия (1).
,
где при.
Преобразуем это выражение с учётом формул (1)
,
где при. Это означает, что предел существует и равен
.
Замечание 1. Из определения производной следует, что правила диф-ференцирования функции комплексной переменной такие же, как для функции действительной переменной.
3.2. Гармонические функции
Определение 2. Функция комплексной переменной дифференцируемая в точке и в некоторой ее окрестности называется аналитической.
Пример 1. Показать, что функция является аналитической и найти её производную.
и тогда
Замечание 2. Аналогично можно показать, что таблица производных для функций комплексной переменной такая же, как и для функций действительной переменной.
Из условий Коши – Римана можно получить уравнения, которым удовлетворяют функции и. Продифференцировав первое условие поx, а второе – по y и сложив полученные результаты, получим
и аналогично (4)
Определение 3. Функции, которые удовлетворяют уравнениям (4), называются гармоническими.
Если известна одна из функций или, то другую можно определить. Пусть известна, например, функция, тогда
где - произвольная точка, а- фиксированная.
Пример 2. По действительной части аналитической функциивосстановить мнимую часть.
Имеем
В качестве пути интегрирования выберем ломаную, звенья которой параллельны координатным осям, тогда
где C - произвольная постоянная. Если задать условие , то, что определяет функцию
Тема 4 : Интеграл от функции комплексной переменной
4.1. Определение интеграла
Пусть на некоторой линии L задана непрерывная функция . Разобьём кривую L на п частей y B
. В каждой части
разбиения произвольно выберем
точку и составим интегральнуюL
сумму
. A
Тогда O x
Таким образом, вычисление интеграла от функции комплексной переменной сводится к вычислению двух криволинейных интегралов от функций идействительных переменных. Из этого следует факт существования интеграла и его основные свойства:
1. Если
2. , т.е. при изменении направления пути инте-грирования интеграл меняет знак;
3. Если выполняется
где L длина линии.
Аналогично происходит и вычисление интеграла. Если линия
,
т.е. и тогда
Пример 3. Вычислить , где контуром является окружностьL :
Представим уравнение окружности в комплексной форме
,
тогда
.