- •Теория функций комплексной переменной Лекция № 70. Определение функции комплексной переменной
- •1.1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи
- •1.3. Определение функции комплексной переменной
- •Лекция № 71
- •1.4. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Тема 2 : Ряды с комплексными членами
- •2.1. Числовые ряды
- •2.2. Степенные ряды
- •2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •Лекция № 72. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Гармонические функции
- •Тема 4 : Интеграл от функции комплексной переменной
- •4.1. Определение интеграла
- •4.2. Основная теорема Коши
- •Лекция № 73
- •4.3. Интегральная формула Коши
- •4.4. Производные высших порядков от аналитической функции
- •4.5. Ряд Тейлора
- •. . . . .
- •4.6. Ряд Лорана
- •Лекция № 74
- •Тема 5 : Вычеты
- •5.1. Изолированные особые точки аналитической функции
- •5.2. Определение вычета
- •5.3. Основная теорема о вычетах
- •5.4. Применение вычетов к вычислению интегралов
- •Операционное исчисление Лекция № 75. Тема 1 : Оригинал и изображение
- •1.1. Определение оригинала и изображения
- •1.2. Изображения некоторых функций
- •Тема 2 : Основные теоремы операционного исчисления
- •2.1. Теоремы подобия, запаздывания и смещения
- •Лекция № 76.
- •3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники
- •Литература
- •С о д е р ж а н и е
Лекция № 76.
2.2. Теорема о свёртке
Определение 1. Выражение вида
называется свёрткой функций и .
Теорема. Если и , то
.
Действительно,
= (во внутреннем интеграле заменим переменную) = =
Пример 1. По изображению найти оригинал.
Из таблицы изображений
и
поэтому по теореме о свёртке получим
2.3. Теорема о дифференцировании оригинала
Теорема. Если , то
Докажем эту формулу для первой производной, применив формулу интегрирования по частям:
Аналогично, применяя формулу интегрирования по частям п раз, получим изображение п-ой производной.
Пример 2. Найти изображение функции , воспользовавшись теоремой о дифференцировании оригинала.
2.4. Теорема о дифференцировании изображения
Теорема.
Доказывается дифференцированием по р преобразования Лапласа.
Пример 3. Найти изображение функции , воспользовав-шись теоремой о дифференцировании изображения.
2.5. Теорема об интегрировании оригинала
Теорема. Если , то
Пусть и
тогда по теореме о дифференцировании оригинала получаем
или
Пример 4. Найти изображение функции
Воспользуемся результатом примера 3 и теоремой об интегрировании оригинала:
2.6. Теорема об интегрировании изображения
Теорема. Пусть , тогдаесли интеграл сходится.
Преобразуем интеграл
Пример 5. Найти изображение функции
Так как по теореме смещения
то
2.7. Теорема разложения
Теорема. Если ,
то
где особые точки функции . R
O s
Рассмотрим интеграл
(1)
Переходя в выражении (1) к пределу при , и учитывая, что
(лемма Жордана),
получим
т.е.
где L контур, внутри которого находятся все особые точки функции . По теореме о вычетах получаем
Рассмотрим частные случаи теоремы.
Пусть правильная рациональная дробь.
Тогда функция имеет конечное число полюсов. Здесь возмож-ны два случая:
1. Случай простых полюсов.
Тогда по теореме о вычетах получаем
(2)
2. Случай кратных полюсов ( кратность k-го полюса).
Аналогично
(3)
Замечание. Если изображение имеет комплексно-сопряженные полюсы , то можно показать, что и вычеты в этих точках будут комплексно-сопряженными, и тогда
.
Пример 6. По изображению найти оригинал.
Здесь Тогда функция имеет двукратный полюс и простой комплексно-сопряженный . Применяя формулы (2) и (3), получим
Лекция № 77. Тема 3 : Приложения операционного исчисления
3.1. Решение линейных дифференциальных уравнений и
систем с постоянными коэффициентами
Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения
(1)
при начальных условиях: .
Здесь искомая функция, а
Обозначим .
Тогда, применяя к обеим частям уравнения (1) преобразование Лапласа и используя теорему о дифференцировании оригинала, после перегруп-пировки слагаемых получим
.
Отсюда находим изображение искомой функции
(2)
Затем по изображению (2) определяем оригинал .
Проиллюстрируем этот метод на конкретном примере.
Пример 1. Найти решение уравнения при начальных условиях: .
Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения:
.
Отсюда определяем изображение искомой функции
.
После преобразований находим
Применим метод неопределённых коэффициентов
.
Из данной системы определяем . Тогда
и по таблице изображений находим искомую функцию
Решение систем рассмотрим для случая двух уравнений.
с начальными условиями:
Обозначим
Тогда, применяя к обеим частям уравнений системы преобразование Лапласа и используя теорему о дифференцировании оригинала, получим систему для определения изображений искомых функций
.
Из полученной системы находим изображения и , по которым определяем решение системы дифференциальных уравнений: и .
Пример 2. Найти решение системы уравнений
при начальных условиях
Применяя преобразование Лапласа, получаем систему линейных алгебраических уравнений
из которой определяем
и
Тогда по таблице изображений находим
Замечание. Аналогично, используя теорему об интегрировании оригинала, можно решать интегральные уравнения, т.е. когда в уравнении искомая функция находится под знаком интеграла.
Пример 3. Найти решение интегрального уравнения
.
Переходим к изображениям:
Из полученного уравнения определяем
и по таблице изображений находим .