3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники

Наиболее широко операционное исчисление применяется в задачах электротехники и автоматического управления, в частности при изучении переходных процессов в линейных физических системах. Остановимся на его применении в задачах механики и автоматики.

Пример 4. Рассмотрим задачу о движении материальной точки массой под действием силы веса, силы упругости (действие пружины) и силы сопротивления, которая пропорциональна скорости движения . Требуется найти скорость движения материальной точки.

Представим силу упругости в виде

где с  коэффициент, характеризующий упругие свойства пружины,  перемещение точки. Тогда, согласно второму закону Ньютона, получим уравнение

или (3)

Уравнение (3) является интегрально-дифференциальным уравнением для определения скорости движения . Применим к нему преобразование Лапласа с учётом, что начальная скорость была :

(4)

где .

Из уравнения (4) определяем изображение

(5)

Определить оригинал (искомую скорость) по изображению (5) не представляет затруднений (см., например, теорему разложения). Всё зависит от значений коэффициентов: . В реальных процессах изменение скорости будет представлять собой затухающие гармонические колебания, т.е. уравнение вида

Пример 5. Найти решение дифференциального уравнения где функция

имеет обычный для автоматических

процессов кусочно-непрерывный вид

1

а начальные данные 0 1 t

Левая часть дифференциального уравнения имеет изображение

а изображение правой части найдем, используя теорему запаздывания.

С помощью единичной функции данную функцию можно представить в следующем виде

и тогда по таблице изображений имеем

Таким образом, дифференциальное уравнение примет вид

откуда

Переходя от изображения к оригиналу, окончательно получим

Литература

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1976. – 320 с.

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.:Наука, 1972. – 416 с.

3. Бермант А.Ф., Араманович И Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1971. – 736 с.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналити-ческой геометрии. – М.: Наука, 1980.  176 с.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1984. – 432 с.

6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1981.

7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2000. – 479 с.

8. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979. – 400 с.

9. Дюженкова Л.І., Дюженкова О.Ю., Михалін Г.О. Вища математика. Приклади і задачі. – К.: Академія, 2003. – 624 с.

10. Задачи и упражнения по математическому анализу / Под ред. Демидовича Б.П. – М.: Наука, 1972. – 472 с.

11. Мартиненко В.С. Операционное исчисление. – К.: Вища школа, 1990. 389 с.

12. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика. – Донецьк: Видавництво “Сталкер“, 2003.

13. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – т.1..– М.: Наука, 1972. – 456 с.

13. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – т.2 – М.: Наука, 1972.  576 с.

15. Шехтель З.Г. Теорія ймовірностей. – К.: Вища школа, 1974. – 192 с.

16. Щипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1990.  320 с.