- •Теория функций комплексной переменной Лекция № 70. Определение функции комплексной переменной
- •1.1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи
- •1.3. Определение функции комплексной переменной
- •Лекция № 71
- •1.4. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Тема 2 : Ряды с комплексными членами
- •2.1. Числовые ряды
- •2.2. Степенные ряды
- •2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •Лекция № 72. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Гармонические функции
- •Тема 4 : Интеграл от функции комплексной переменной
- •4.1. Определение интеграла
- •4.2. Основная теорема Коши
- •Лекция № 73
- •4.3. Интегральная формула Коши
- •4.4. Производные высших порядков от аналитической функции
- •4.5. Ряд Тейлора
- •. . . . .
- •4.6. Ряд Лорана
- •Лекция № 74
- •Тема 5 : Вычеты
- •5.1. Изолированные особые точки аналитической функции
- •5.2. Определение вычета
- •5.3. Основная теорема о вычетах
- •5.4. Применение вычетов к вычислению интегралов
- •Операционное исчисление Лекция № 75. Тема 1 : Оригинал и изображение
- •1.1. Определение оригинала и изображения
- •1.2. Изображения некоторых функций
- •Тема 2 : Основные теоремы операционного исчисления
- •2.1. Теоремы подобия, запаздывания и смещения
- •Лекция № 76.
- •3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники
- •Литература
- •С о д е р ж а н и е
Лекция № 74
Тема 5 : Вычеты
5.1. Изолированные особые точки аналитической функции
Определение 1. Точки, в которых нарушается аналитичность функции , называютсяособыми.
Определение 2. Точка называется изолированной особой точкой, если существует такое число, что в кольцефункцияразлагается в ряд Лорана
. (1)
При этом возможны следующие случаи:
1. В разложении (2) нет членов с отрицательными показателями;
2. В разложении (2) есть конечное число членов с отрицательными по-казателями;
3. Разложение (2) содержит бесконечное число членов с отрицатель-ными показателями.
В этих случаях изолированная особая точка называется:
1 – устранимой; 2 – полюсом; 3 – существенно особой.
Если полюс, то ряд Лорана имеет вид
.
В этом случае точка называетсяполюсом порядка т, а если , то полюс называетсяпростым.
В окрестности полюса порядка т функция имеет вид
,
где является аналитической функцией в окрестности полюса.
Легко заметить, что если т-кратный нуль функции , то точкабудет полюсом порядкат для функции .
Если к плоскости комплексной переменной добавить бесконечно удалённую точку , то получим так называемуюрасширенную плоскость
комплексной переменной. Тогда подстановка приводит исследование функциив точкек исследованию функциив окрест-ности точки.
5.2. Определение вычета
Пусть изолированная особая точка, тогда в её окрестности функ-цию можно представить в виде ряда
, где .
Определение 3. Вычетом функции относительно особой точкиназывается коэффициент
ряда Лорана и обозначается
или .
Из этого определения следует, что в точке, в которой функция является аналитической, или в устранимой особой точке вычет равен нулю.
Пусть полюс, тогда возможны следующие случаи:
1. простой полюс функции , тогда
откуда
.
Переходя к пределу в этом равенстве при , получим
. (2)
Если , где- простой нуль функции. Тогда формула (3) примет вид
. (3)
Пример 1. Найти вычет функции в точке.
Используем формулу (3)
2. Если полюс порядка т функции , тогда
или
. (4)
Продифференцируем выражение (4) по раз:
.
Теперь перейдём к пределу при :
. (5)
Пример 2. Найти вычеты функции .
Особыми точками для этой функции будут: простой полюс и полюс второго порядка. Воспользуемся соответственно форму-лами (3) и (5):
5.3. Основная теорема о вычетах
Теорема. Если функция однозначная и аналитическая в областивсюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек, то
.
Пусть непересекающиеся
окружности, а точки их центры. L
Тогда внутри образовавшейся
многосвязной области функция
является аналитической, и по D
теореме Коши для сложного контура
получим
.
5.4. Применение вычетов к вычислению интегралов
С помощью вычетов можно вычислять интегралы следующего вида:
.
Остановимся на первом интеграле.у
Рассмотрим аналитическое продолжение
функции . Пусть имеет в
верхней полуплоскости конечное число
особых точек: . При достаточно
большом R они все попадут во внутрь
полуокружности радиуса R. R О R х
Воспользуемся основной теоремой о вычетах
или
. (6)
Если , то должно выполняться условие,
где .
Переходя к пределу при и учитывая, что
из формулы (6) получим
. (7)
Пример 3. Вычислить интеграл .
Аналитическим продолжением подынтегральной функции является
,
у которой особой точкой, принадлежащей верхней полуплоскости, явля-ется . Вычислим вычет в этой точке по формуле (5)
Тогда