- •Теория функций комплексной переменной Лекция № 70. Определение функции комплексной переменной
- •1.1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи
- •1.3. Определение функции комплексной переменной
- •Лекция № 71
- •1.4. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Тема 2 : Ряды с комплексными членами
- •2.1. Числовые ряды
- •2.2. Степенные ряды
- •2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •Лекция № 72. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Гармонические функции
- •Тема 4 : Интеграл от функции комплексной переменной
- •4.1. Определение интеграла
- •4.2. Основная теорема Коши
- •Лекция № 73
- •4.3. Интегральная формула Коши
- •4.4. Производные высших порядков от аналитической функции
- •4.5. Ряд Тейлора
- •. . . . .
- •4.6. Ряд Лорана
- •Лекция № 74
- •Тема 5 : Вычеты
- •5.1. Изолированные особые точки аналитической функции
- •5.2. Определение вычета
- •5.3. Основная теорема о вычетах
- •5.4. Применение вычетов к вычислению интегралов
- •Операционное исчисление Лекция № 75. Тема 1 : Оригинал и изображение
- •1.1. Определение оригинала и изображения
- •1.2. Изображения некоторых функций
- •Тема 2 : Основные теоремы операционного исчисления
- •2.1. Теоремы подобия, запаздывания и смещения
- •Лекция № 76.
- •3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники
- •Литература
- •С о д е р ж а н и е
4.2. Основная теорема Коши
Теорема 2. Если однозначная и аналитическая функция в одно-связной области, то для любой замкнутой линиивыполняется
Представим интеграл в виде
и воспользуемся тем, что выражения из условий Коши – Римана являются полными дифференциалами. Тогда интеграл по замкнутой линии равен нулю, что и требовалось доказать.
Замечание 3. Верно и обратное утверждение (теорема Морера), т.е. если
то аналитическая функция.
На основании этой теоремы легко доказать следующую теорему.
Теорема 3 (теорема Коши для сложного контура). Если функция однозначная и аналитическая в многосвязной областиD, то выполняется
М
N
А
B D
Рисунок приведен для случая трехсвязной области. Для доказатель-ства данной теоремы необходимо сделать разрезы АВ и МN, а затем применить основную теорему Коши для полученной односвязной области.
Лекция № 73
4.3. Интегральная формула Коши
Теорема 1. Если однозначная и аналитическая функция в областис границейL, то выполняется
(1)
Правая часть в формуле (1) называется интегралом Коши.
Пример 1. Вычислить интеграл .
4.4. Производные высших порядков от аналитической функции
Теорема 2. Однозначная и аналитическая функция в областиимеет в этой области производные всех порядков, которые определя-ются по формуле
(2)
где .
Доказательство формулы (2) следует из интегральной формулы Коши путём дифференцирования под знаком интеграла, что возможно в силу аналитичности подынтегральной функции .
С помощью формулы (2) можно вычислять некоторые интегралы.
Пример 2. Вычислить интеграл , где .
.
4.5. Ряд Тейлора
Аналогично, как и для функций действительной переменной, аналити-ческую функцию внутри круга сходимости можно представить сходящимся степенным рядом
(3)
где .
Тогда из формулы (2) получаем
. (4)
Определение 1. Степенной ряд (3), у которого коэффициенты опреде-ляются по формулам (4), называется рядом Тейлора для функции .
Определение 2. Если , то точканазывается нулем функции, а ряд Тейлора в окрестности этой точки имеет вид
.
Если к тому же , а, то точканазываетсянулем m-го порядка функции . В окрестности нуляm-го порядка аналитическая функции имеет вид
,
где .
Замечание. Ряды Тейлора для основных элементарных функций были приведены в лекции 71.
Пример 3. Разложить в ряд Тейлора функцию в окрест-ности точки.
. . . . .
Тогда
,
где .
Легко заметить, что данная функция является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = z.
4.6. Ряд Лорана
Определение 3. Ряд вида
называется рядом Лорана.
Его можно представить в виде
(5)
Первая сумма в правой части формулы (5) называется правильной частью, а вторая сумма – главной частью ряда Лорана.
Очевидно, областью сходимости ряда Лорана является общая часть областей сходимости его главной и правильной частей. Определим её.
Правильная часть сходится в области вида . Для главной части сделаем замену. Областью сходимости такого ряда является круг. Тогда главная часть сходится приили. Отсюда следует вывод:
1. Если , то область сходимости кольцо и при этом возможны случаи:
1.1. кольцо (круг с выколотым центром);
1.2. кольцо (вне круга);
1.3. кольцо (плоскость с выколотой точкой).
2. Если ряд Лорана не сходится ни при каких z.
Рассмотрим обратную задачу: Пусть задана аналитическая функция в кольце, тогда имеет место
Теорема 3. Функция аналитическая в кольце однозначно представляется рядом Лорана
, (6)
где
a контур L окружность, принадлежащая кольцу, с центром в точке .
Пример 4. Разложить в ряд Лорана функцию в окрест-ности точки.
Представим функцию в виде суммы.
Последнее слагаемое в правой части уже является членом ряда Лорана. Разложим в ряд Лорана первое слагаемое:
.
Таким образом, данная функция у
в кольце разлагается
в ряд Лорана вида
О 1 х
. (7)
Найдем коэффициенты ряда Лорана также непосредственно по фор-муле (6):
Тогда ряд Лорана будет иметь вид (7).