Лекция 2 множества. Соответствия и отношения
Понятия множества и элемента множества.
Способы задания множеств.
Отношения между множествами.
Операции над множествами.
5. Разбиение множества на классы.
Соответствия между элементами двух множеств.
Равномощные множества.
Отношения между элементами одного множества.
Свойства отношений на множестве.
2.1. Понятия множества и элемента множества
В математике часто приходится рассматривать те или иные группы объектов как единое целое:
цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
н
атуральные
числа:
1, 2, 3, 4,...;
треугольники (рис. 11):
Рис. 11
Все эти различные совокупности называют множествами. Множество – одно из основных математических понятий, поэтому не имеет явного определения, а поясняется на примерах. Возникло это понятие в конце XIX века как обобщение понятий: класс, группа, набор и т.п.
В быту множеством называют большое количество элементов.
В математике рассматривают множества, состоящие и из одного объекта, и не содержащие ни одного объекта. Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, …, Z.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом . Например, пустым является множество решений уравнения 5 : х = 0.
Для некоторых числовых множеств приняты стандартные обозначения:
N – множество натуральных чисел,
Z – множество целых чисел,
Q – множество рациональных чисел,
R – множество действительных чисел.
Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами, их принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, с,..., z.
При выяснении принадлежности данного объекта к рассматриваемому множеству делают запись:
а А – «объект а принадлежит множеству А»,
a A – «объект а не принадлежит множеству А».
Примеры: 1) 3 N – « 3 натуральное число»;
2) -5 N – «-5 не является натуральным числом».
Множества бывают конечные и бесконечные.
Например, множество букв русского алфавита – конечное, а множество точек на прямой – бесконечное множество.
2.2. Способы задания множеств
Так как понятие множества не имеет явного определения, необходимо научиться узнавать, является ли данная совокупность множеством или нет. Считают, что множество определяется своими элементами.
Множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству, либо не принадлежит.
Способы задания множеств:
1
.
Перечисляют
все его элементы: А = { 3,4,5,6,7 },
С = { },
(применяется для задания множеств с небольшим количеством элементов, иногда для бесконечных).
2. Указывают характеристическое свойство элементов:
В – множество двузначных чисел,
К – множество цветов спектра,
(применяется для задания конечных и бесконечных множеств).
Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
Так, характеристическое свойство элементов множества В – «быть двузначным числом».
При обучении дошкольников математике большое место отводится формированию у детей представлений о множестве, его элементах, способах задания и операциях между множествами. В явном виде множества не изучаются, но пронизывают все задания и вопросы.
|
Задания: |
Программные задачи: |
|
1. «Назови игрушки, стоящие на столе». |
«Учить выделять элементы множества». |
|
2. «Собери все красные шары в коробку». |
«Учить составлять множества по указанному признаку». |
Названные способы задания множеств взаимосвязаны – если конечное множество задано с помощью характеристического свойства, то можно его элементы перечислить, и наоборот.
Задание 9.
Перечислите элементы множества букв в слове «математика». Какой ответ будет верным:
а) {м, а, т, е, и, к};
б) {м, а, т, е, м, а, т, и, к, а}?
Задание 10.
Сформулируйте характеристическое свойство элементов множества А, если:
а) А = { зима, весна, лето, осень };
б) А = { + ,-,∙,:};
в) А = {2, 3, 4, 5}.
Задание 11.
Множество состоит из картинок, изображенных на рисунке 12:
Рис. 12
Назовите элементы этого множества. Можно ли окно домика считать элементом данного множества?