- •Фгбоу впо «тувинский государственный университет»
- •Предисловие
- •Глава I. Математические понятия, предложения и умозаключения
- •Введение
- •1. Понятия. Объем и содержание понятий
- •2. Отношения между понятиями
- •3. Определение понятий. Способы определения понятий
- •4. Классификация понятий
- •5. Математические предложения
- •5.1. Высказывания и операции над ними
- •5.2. Высказывательные формы (предикаты) и операции над ними
- •Высказывания с кванторами
- •5.3. Отношения логического следования и равносильности между высказывательными формами
- •6. Умозаключения (рассуждения) и их виды
- •3. А(х)⇒в(х), в(х)⇒с(х) - правило силлогизма.
- •Лекция 2 множества. Соответствия и отношения
- •2.1. Понятия множества и элемента множества
- •2.2. Способы задания множеств
- •2.3. Отношения между множествами
- •2.4. Операции над множествами
- •2.5. Разбиение множества на классы
- •2.6. Соответствия между элементами двух множеств
- •2.7. Равномощные множества
- •2.8. Отношения между элементами одного множества
- •Лекция 3 геометрические фигуры
- •3.1. Понятие геометрической фигуры
- •3.2. Геометрические фигуры на плоскости
- •3.3. Многоугольники, круг
- •3.4. Геометрические фигуры в пространстве
- •2.5. Тела вращения
- •Лекция 4 величины и их измерение
- •4.1. Понятие величины
- •4.2. Измерение величины
- •4.3. Длина, площадь, масса, время
- •4.4. Зависимость между величинами
- •4.5. История развития системы единиц величин
- •Лекция 6 натуральные числа и нуль
- •5.1. Этапы развития понятия натурального числа
- •5.2. Натуральный ряд и его свойства. Счет
- •5.3. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля
- •5.4. Натуральное число как результат измерения величины
- •5.5. Способы записи чисел
- •5.6. Особенности десятичной системы счисления
- •Лекция 6 текстовые задачи
- •6.1. Понятие текстовой задачи
- •6.2. Способы решения задачи
- •6.3. Основные этапы решения задачи
- •I этап.
- •II этап.
- •IV этап.
- •6.4. Моделирование в процессе решения задач
- •Оглавление
5.3. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля
Все конечные множества можно распределить по классам в зависимости от количества в них элементов, т.е. в каждом классе будут находиться равномощные множества. Они различны по своей природе, но содержат поровну элементов.
С теоретико-множественной позиции количественное натуральное число есть общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Каждому классу соответствует только одно натуральное число, каждому натуральному числу – только один класс равномощных множеств.
Рассмотрим, например множества:
множество букв в слове «число»;
множество сторон в пятиугольнике.
В этих множествах одинаковое число элементов, в чем можно убедиться, установив взаимно однозначные соответствия между ними. Это общее, что характеризует каждое из множеств одного класса, называется натуральным числом. Данные множества характеризуются числом пять. Это число характеризует свойство и других множеств этого класса.
Каждому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, но каждому натуральному числу соответствуют различные равномощные множества из одного класса.
Пример:
«Сколько пальцев на руке?»
«Возьми пять любых предметов».
В первом случае ответ однозначный (пять), во втором возможны различные варианты выполнения задания.
Число «нуль» не является натуральным.
С точки зрения теории множеств число «нуль» рассматривается как число элементов пустого множества.
Знакомя дошкольников с различными числами и их записью с помощью цифр, показывают различные равномощные множества и соотносят им изучаемое число:
На рисунке изображены три фигуры.
На столе лежат три яблока.
Маша, Коля, Вася - это три имени.
Число «три» записывают цифрой 3, что обозначает «три предмета».
Так как натуральное число оказывается связанным с конечным множеством, то и действия над натуральными числами можно рассматривать в связи с действиями над множествами. Так, сложение чисел связывают с объединением непересекающихся множеств, а вычитание - с дополнением подмножества.
Пусть а – число элементов в множестве А, b – число элементов в множестве В, и множества А и В не пересекаются. Тогда суммой натуральных чисел аиbназывают число элементов в объединении множеств А и В.
Сумма натуральных чисел всегда существует, единственно и но зависит от выбора представляющих их множеств.
Рассмотрим пример. Пусть 2 – число элементов в множестве А (А может быть множеством из двух яблок, множеством из двух геометрических фигур и т. д.), 3 – число элементов в множестве В (В – может быть множеством из трех треугольников, множеством из трех груш и т.д.). Множества А и В не должны иметь общих элементов. Тогда 2 + 3 представляет собой число элементов в объединении множеств А и В. Если пересчитать их, то получим, что 2 + 3 = 5.
Действие, при помощи которого находят сумму, называют сложением, а числа, которые складывают, слагаемыми.
Исходя из данного определения суммы, можно обосновать известные законы сложения чисел:
переместительный, т.е. а + b = b + а для любых натуральных, чисел аиb.
сочетательный, т.е. (а + b) + с = а + (b + с) для любых натуральных чисел а , b и с.
Переместительный и сочетательный законы сложения распространяются на сложение любого числа слагаемых. Переместительный закон разрешает любую перестановку слагаемых, а сочетательный – любую их группировку.
Дошкольники используют эти законы при поиске удобного способа нахождения суммы. Так, считается более простым прибавлять меньшее слагаемое к большему, удобнее складывать слагаемые, дополняющие друг друга до 10 и т.п.
Задание 26.
Если 0 – число элементов пустого множества, то каков смысл суммы а + 0 ?
Сравнение чисел также можно выполнять, оперируя с множествами. Например, чтобы установить отношение 3 < 4, достаточно показать, используя прием приложения (рис.66), что под одним треугольником нет квадрата, т.е. в данной ситуации в множестве квадратов выделено подмножество, равномощное множеству треугольников.
Рис. 66
Пусть а – число элементов в множестве А, b – число элементов в множестве В. Если множество А равномощно подмножеству множества В, то а < b (b > а). Если множества А и В равномощны, то а = b.
Можно определить отношение «меньше» для чисел, не обращаясь к множествам. Например, было 5 яблок, добавили 1, стало 6 яблок. Яблок стало больше на 1, значит 6 больше 5, а 5 меньше 6.
Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с , что а + с = b.
Как уже было сказано, вычитание чисел связано с дополнением подмножества.
Пусть а – число элементов в множестве A, b – число элементов в множестве В и В – подмножество множества А. Тогда разностью натуральных чисел а и b называется число элементов в дополнении множества В до множества А.
Действие, при помощи которого находят разность а - b, называется вычитанием, число а - уменьшаемым, число b - вычитаемым.
Например, смысл разности 5-3 можно объяснить следующим образом. Возьмем множество А, в котором 5 элементов (квадратов, яблок и др.).Выделим из множества А подмножество В, в котором 3 элемента. Тогда 5-3 будет представлять число элементов в дополнении множества В до множества А. Путем пересчета можно установить, что 5-3 = 2.
Разность натуральных чисел а и b существует и единственна только при условии, что b < a.
Задание 27.
Каков теоретико-множественный смысл разности:
а) а-0; б) а-а ?
Можно определить разность чисел, не обращаясь к множествам.
Разностью натуральных чисел а и b называется такое натуральное число с, что а + b = с.
К этому определению разности обращаются, находя значения числовых выражений. Например, найти разность 7-3 – это значит найти такое число, которое в сумме с числом 3 дает 7.