- •Фгбоу впо «тувинский государственный университет»
- •Предисловие
- •Глава I. Математические понятия, предложения и умозаключения
- •Введение
- •1. Понятия. Объем и содержание понятий
- •2. Отношения между понятиями
- •3. Определение понятий. Способы определения понятий
- •4. Классификация понятий
- •5. Математические предложения
- •5.1. Высказывания и операции над ними
- •5.2. Высказывательные формы (предикаты) и операции над ними
- •Высказывания с кванторами
- •5.3. Отношения логического следования и равносильности между высказывательными формами
- •6. Умозаключения (рассуждения) и их виды
- •3. А(х)⇒в(х), в(х)⇒с(х) - правило силлогизма.
- •Лекция 2 множества. Соответствия и отношения
- •2.1. Понятия множества и элемента множества
- •2.2. Способы задания множеств
- •2.3. Отношения между множествами
- •2.4. Операции над множествами
- •2.5. Разбиение множества на классы
- •2.6. Соответствия между элементами двух множеств
- •2.7. Равномощные множества
- •2.8. Отношения между элементами одного множества
- •Лекция 3 геометрические фигуры
- •3.1. Понятие геометрической фигуры
- •3.2. Геометрические фигуры на плоскости
- •3.3. Многоугольники, круг
- •3.4. Геометрические фигуры в пространстве
- •2.5. Тела вращения
- •Лекция 4 величины и их измерение
- •4.1. Понятие величины
- •4.2. Измерение величины
- •4.3. Длина, площадь, масса, время
- •4.4. Зависимость между величинами
- •4.5. История развития системы единиц величин
- •Лекция 6 натуральные числа и нуль
- •5.1. Этапы развития понятия натурального числа
- •5.2. Натуральный ряд и его свойства. Счет
- •5.3. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля
- •5.4. Натуральное число как результат измерения величины
- •5.5. Способы записи чисел
- •5.6. Особенности десятичной системы счисления
- •Лекция 6 текстовые задачи
- •6.1. Понятие текстовой задачи
- •6.2. Способы решения задачи
- •6.3. Основные этапы решения задачи
- •I этап.
- •II этап.
- •IV этап.
- •6.4. Моделирование в процессе решения задач
- •Оглавление
Лекция 3 геометрические фигуры
Понятие геометрической фигуры.
Геометрические фигуры на плоскости.
Многоугольники, круг.
Геометрические фигуры в пространстве.
Многогранники.
Тела вращения.
3.1. Понятие геометрической фигуры
Одним из свойств окружающих предметов является форма.
Форма предметов получила обобщенное отражение в таком математическом понятии как геометрическая фигура. Геометрические фигуры являются эталонами, пользуясь которыми, человек определяет форму предметов.
Пример (рис.33):
- Этот платок имеет форму квадрата.
- У квадрата есть 4 стороны и 4 угла.
Геометрическая фигура – это любое множество точек, поэтому отношения геометрических фигур и операции над ними определяются как множества.
Примеры:
1) Пересечение (рис.34): F2
F1 F2=F3 F3
Задание дошкольникам: «Сколько ты F1
видишь треугольников?» Рис. 34
2) Объединение (рис.35):
F1F2 = F F2
Задание дошкольникам: «Сложи из двух F1
треугольников квадрат». Рис. 35
3) Нахождение дополнения (рис.36):
F \ F1 = F2 F1
F1 F, F2 F F2 Рис.35
Вопрос дошкольникам: «Какую фигуру надо
поставить на квадрат, чтобы получился домик?»
Задание 23.
Какие отношения между фигурами устанавливают, и какие операции над фигурами выполняют дошкольники, получив следующие задания:
а) Нарисуй круг и квадрат так, чтобы:
круг находился в квадрате (рис.37),
квадрат находился в круге (рис.38),
квадрат и круг пересекались (рис.39),
квадрат и круг не пересекались (рис.40).
Рис. 37 Рис. 38 Рис. 39 Рис. 40
б) Закрась:
часть фигуры между границей круга и квадрата (рис.41);
общую часть фигур (рис.42);
всю фигуру, которая получилась (рис.43).
Рис.41 Рис. 42 Рис. 43
Свойства геометрических фигур изучает наука геометрия.
Планиметрия - часть геометрии, изучающая фигуры на плоскости.
Стереометрия - часть геометрии, изучающая фигуры в пространстве.
Дошкольники знакомятся с плоскими и пространственными фигурами, учатся устанавливать между ними связи (куб – квадрат, шар – круг,...).
Геометрическая фигура называется плоской, если все точки фигуры принадлежат одной плоскости. На плоскости различают выпуклые и невыпуклые фигуры.
Геометрическая фигура называется выпуклой, если она цели ком содержит отрезок, концами которого служат любые две точки, принадлежащие фигуре (рис.44).
Выпуклые Невыпуклые
Рис. 44
При обучении дошкольников мы не даем явных определений фигур, а знакомим с их внешним видом, названием, свойствами, отношением равенства между фигурами.
Геометрия Евклида (древнегреческий ученый, III в. до н.э.), которую мы изучаем, построена по такому принципу:
Часть понятий вводится без определения (точка, прямая, плоскость ...). Другие понятия определяются, как правило, через род и видовое отличие.
Часть свойств фигур вводится через аксиомы. (Например, через две точки можно провести единственную прямую.)
Другие свойства фигур формулируются в виде теорем и доказываются с использованием аксиом и ранее доказанных теорем.