Задача 4.3. Для заданной схемы нагружения вала (рис.4.3а):

• построить эпюры крутящих моментов;

• определить диаметр вала из условия прочности по крутящему моменту;

• определить углы закручивания вала.

Исходные данные для расчета: M = 50 ,МПа,м.

Решение

1. По характеру внешней нагрузки определяем участки нагружения балки: первый участок – АВ, второй – ВС, третий – CD.

2. Определение внутренних силовых факторов и построение их эпюр на участках нагружения балки.

Рис 4.3а.

Участок АВ

Проводим поперечное сечение 1-1 на произвольно выбранном расстоянии Х₁ от сечения А, (). Строим расчетную схему «отсеченной» части балки (рис.4.3б), при этом действие «оставшейся» части на «отсеченную» заменяем крутящим моментом. (Согласно теории сопротивления материалов при кручении в поперечном сечении балки возникает только крутящий момент сопротивления.)

Рис.4.3б

Уравнение равновесия моментов

Из уравнения равновесия

М₁=М=50 кНм

Согласно полученному выражению момент сил сопротивления на первом участке не зависит от координаты Х₁, эпюра М₁ – прямая линия, параллельная оси Х , (рис.4.3а).

Участок ВС

Проводим поперечное сечение 2-2 на произвольно выбранном расстоянии Х₂ от сечения А (). Строим расчетную схему «отсеченной» части балки, (рис.4.3в).

Рис.4.3в

Уравнение равновесия «отсеченной» части балки

Из уравнения равновесия

Эпюра момента М₂ – прямая линия, параллельная оси Х , (рис.4.3а).

Участок СД

Проводим поперечное сечение 3-3 на произвольно выбранном расстоянии Х₃ от сечения А (). Строим расчетную схему «отсеченной» части балки, (рис.4.3г).

Рис.4.3г

Уравнение равновесия «отсеченной» части балки

Из уравнения равновесия

Эпюра момента М₃ – прямая линия, параллельная оси Х, (рис.4.3а).

3. Определяем опасное сечение вала. Вал имеет постоянное поперечное сечение, поэтому опасным является сечение участка с наибольшим крутящим моментом. Согласно эпюре моментов опасными являются все сечения участка ВС

.

4. Находим диаметр вала из условия прочности при кручении

,

где - полярный момент сопротивления бруса круглого сечения.

Отсюда находим формулу для определения диаметра вала

мм.

Принимаем диаметр вала равным 190 мм.

4. Определяем углы закручивания _i на участках вала по выражению

(1)

где М_Ki - крутящий момент на i - том участке вала; - длина участка вала;J_P - полярный момент инерции участка вала, который является геометрической характеристикой поперечного сечения вала и определяется по формуле:

мм⁴.

Подставляя значения величин в (1), определяем углы закручивания на участках вала:

- на третьем участке:

- на втором участке:

,

- на первом участке

.

Построение эпюры углов закручивания  начинаем от заделки, где угол закручивания равен нулю, далее углы суммируются с их значениями на предыдущих участках. Таким образом, должны выполняться равенства:

₃ = ₃; ₂ = ₂ + ₃ и ₁ = ₁ + ₂ + ₃.

Эпюра углов закручивания показана на рис.4.3а.