Задача 3.12. Тело весом р подвешивают к нижнему концу вертикальной недеформированной пружины и отпускают без начальной скорости.

Определить закон движения груза, если в положении статического равновесия груз растягивает пружину на величину λ_ст.

Решение

1. Задача относится ко второму основному типу.

2. Движение тела будем рассматривать, как движение материальной точки, так как оно совершает поступательное движение. Решим задачу с применением дифференциального уравнения вида

(1)

3. Строим расчетную схему рис.3.12. Ось координат хнаправим по линии движения груза, начало координат О поместим в положение статического равновесия груза.

Рис.3.12.

5. Составим дифференциальное уравнение движения груза.

В положении равновесия вес груза уравновешивается силой упругости пружины

P=F_ст=Сλ_ст.,

где: С-коэффициент жесткости пружины;

λ_ст- удлинение пружины под действием силы тяжести груза.

При смещении груза от положения статического равновесия на величину х, деформация пружины будет равна λ = λ_ст+х, при этом на груз будет действовать сила упругости пружиныF=C(λ_ст +х). Дифференциальное уравнение движения груза будет иметь вид

Преобразуем уравнение

Введем обозначение , тогда уравнение примет вид

Решение полученного дифференциального уравнения имеет вид (2)

Для определения значений постоянных интегрирования предварительно продифференцируем уравнение (2)

(3)

Подставляя в уравнения (2),(3) значения начальных условий t=0, x₀= -λ_ст , , получим:С₁=-λ_ст, С₂=0.

Окончательно закон движения груза примет вид

Ответ:

Из этой формулы видно, что груз совершает колебательное движение относительно положения статического равновесия с амплитудой колебаний, равной λ_ст..

Задача 3.13. Тело массойmначинает двигаться под действием силы тяжести по негладкой плоскости, наклоненной под угломк горизонту. Коэффициент трения плоскости равен.

Определить скорость тела через t секунд после начала движения .

Решение.

1. Задача относится ко второму основному типу.

2. Анализ условий задачи и выбор метода решения.

Из условий задачи известны: начальная скорость тела, действующие на тело силы, время действия сил (время движения тела). Движение тела будем рассматривать, как движение материальной точки, так как оно совершает поступательное движение.При этих условиях конечную скорость тела удобно определить на основании теоремы об изменении количества движения материальной точки.

, (1)

где Q=mV –количество движения точки в конечный момент времени;

Q₀= mV₀–количество движения точки в начальный момент времени;

S_k=Fkּ t – импульс k-той силы.

3. Расчетная схема и определение скорости. Изображаем тело в промежуточном положении на траектории и показываем действующие на него внешние силы (рис.3.12): силу тяжести , нормальную реакцию плоскостисилу трениягдеN- сила нормального давления груза на плоскость.

Рис.3.12

Запишем равенство (1) в проекции на ось Х

Так как ,v₀ = 0, то искомая скорость тела будет

Ответ:

Задача 3.14. Вертикальный вал AВ (рис.3.14), вращающийся с постоянной угловой ско­ростью , закреплен в точке А при помощи подпятника, а в точке В - при помощи цилиндрического подшипника. В точке Д к валу под угломжестко прикреплен однородный стержень 1 массой= 5 кг с точечной массой= 2 кг на конце стержня в точке Е. Длина стержня= 0,6м. Определить реакции опор А и В, если АД =а, ДВ = 2а, ,а = 0,5 м.

Дано: m₁ = 5 кг, m₂ = 2 кг,

Определить реакции связей вала АВ.

Решение.

1. Задача относится к первому основному типу: задано движение тела, состоящего из вала, стержня, точечного груза, требуется определить силы, действующие на систему.

2. Анализ условий задачи и выбор метода решения.

Из условий задачи известны размеры тела и скорость его вращения, следовательно, могут быть определены его кинематические характеристики. На движение тела наложены ограничения. При этих условиях реакции связей удобно определить на основании принципа Даламбера

, (1)

где - сумма внешних сил,

-сумма сил инерции.

3. Расчетная схема и определение реакций связей.

Покажем на схеме (рис.3.4) активные и реактивные силы:

- сила тяжести стержня 1, приложенная в центре масс стержня;

- сила тяжести точечной массы 2;

- составляющие реакции опоры А;

- реакция опоры В.

Рис.3.14

Так как вал АВ вращается с постоянной угловой скоростью , то на стержень и точечный груз будут действовать только нормальные силы инерции.

Сила инерции точечного груза 2: , гдеm₂ – масса груза, – нормальное ускорение груза. Знак минус указывает, что сила направлена противоположно нормальному ускорению груза – от оси вращения тела.

Нормальное ускорение груза 2 , гдеr₂ – расстояние от оси вращения до точечного груза.

Силы инерции стержня распределены по объему стержня. Их действие заменяем равнодействующей силой инерции . Модуль равнодействующей сил инерции равен произведению массы стержня на ускорение центра масс стержня

линия действия равнодействующей силы проходит через центр тяжести эпюры сил инерции стержня.

,

где: m₁ – масса стержня;

- нормальное ускорение центра масс стержня. Центр масс (точка С)- средина стержня.

, где:

r₁ – расстояние от центра масс С до оси вращения.

Определим положение точки приложения силы инерции стержня - точки С₁

, ,;

В соответствии с выражением (1) составим уравнения равновесия тела в системе координат Х,У.

Составим для нее уравнения равновесия:

; (2)

; (3)

;(4)

Решаем полученную систему уравнений, подставив в них заданные и вычисленные величины.

Из уравнения (3):

Из уравнения (1):

Из уравнения (2):

Полная реакция подпятника А:

Ответ. Искомые реакции равны: ;.

Знак минус в значении реакции означает, что эта реакция имеет направление, противоположное показанному на рис.Д 5.

3.3.4. Индивидуальные задания.

Задача 3.15. Свободная материальная точка массы m отталкивается от неподвижного центра О с силой (рис. 3.15). Где- расстояние точки от центра О, К – постоянная величина.

В начальный момент времени координаты точки были х = х₀, у = 0, а скорость точки равна V₀ и направлена перпендикулярно к оси х. Найти закон движения точки.

Рис.3.15.

Задача 3.16. Тело весом Р, подвешенное на нити длиной l (математический маятник) (рис. 3.16) отклоняют на угол φ и отпускают без начальной скорости. Определить скорость груза и натяжение нити в низшем положении груза.

Задача 3.17. Санки, пущенные скользить по горизонтальной поверхности льда, останавливаются, пройдя расстояниеS= 70м.

Найти начальную скорость санок, если коэффициент трения f = 0,07.

Задача 3.18. Однородный стержень АВ длиноюlи весом, прикреплен шарниром А к вертикальному валу АД, вращающемуся с угловой скоростью(рис. 5.8.).

Найти натяжение горизонтальной нити, удерживающей стержень под углом к валу.

Рис.5.8.