Полярний момент інерції площі перерізу
Полярним моментом інерції площі перерізу фігури відносно даної точки (що називається полюсом) називається інтеграл, що вираховується по всій площі поперечного перерізу від добутку площі елементарної площадки на квадрат відстані до полюсу.
І
ншими
словами:полярний
момент інерції
площі перерізу відносно точки перетину
двох перпендикулярних осей (полюса)
дорівнює сумі осьових або екваторіальних
моментів інерції.
Приклад
Визначити
величину
для
круга:
.
Відцентровий момент інерції.
Відцентровим моментом інерції площі перерізу відносно двох взаємно перпендикулярних осей називається інтеграл, що розраховується по всій площі поперечного перерізу від добутку площі елементарної площадки на відстані від центру вага цієї площадки до відповідних осей.
(см4)
Основні особливості відцентрового моменту інерції.
1. Основною
особливістю
є
те,
що він може бути додатнім, від'ємним і
дорівнювати нулю.
2. Осі, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, носять назву головних осей інерції.
3. Осі, що проходять через центр ваги перерізу, або другими (іншими) словами, відносно яких одночасно відцентровий момент інерції і статичний момент площі перерізу дорівнюють нулеві, називаються головними центральними осями інерції.
4. Головними центральними моментами інерції площі перерізу називаються моменти інерції відносно головних центральних осей.
5. Теореми:
5.1. Якщо переріз, що розглядається, має три і більше осей симетрії, то люба центральна вісь цього перерізу є головною.
5.2. Відцентровий момент інерції площі перерізу, що розраховується відносно двох взаємно перпендикулярних осей, із яких одна є віссю симетрії, буде дорівнювати нулю
П
риклад:
Дано:
,
,
Знайти:
Рішення:
.
.
Лекція № 8 Перетворення моментів інерції при зміні осей
План лекції:
Формули переходу до паралельних осей інерції. Приклади визначення.
Формули переходу до повернутих осей інерції.
Головні і центральні осі інерції і моменти інерції.
Поняття про радіуси еліпса інерції. Моменти опору поперечного перерізу.
Література: [1] – 22÷21 с.
Формули переходу до паралельних осей
За допомогою формул паралельного переносу можливо здійснювати перехід від центральних осей до довільних, або ж від довільних до центральних осей.
Перший перехід здійснюється із знаком "+". Другий перехід здійснюється із знаком "–".
Розглянемо це на конкретному прикладі.
Д
ано:
;
осі
і
– центральні осі
;
;
;
осі
і
– паралельні осям
і
відстані між ними
і
відповідноВизначити:
;
;
.
Рішення:
Координати
любої точки тіла в нових координатах
можливо записати так:
;
.
Підставимо
ці вирази в формули для моментів
інерції
площі перерізу.
–так як
в умові сказано, що осі
і
– центральні.
Аналогічно
ми будемо мати такі ж залежності і для
і
.
(1)
Формули (1) – це формули переходу до паралельних осей (довільних).
Приклад 1.
Дано:
;
;
Визначити:
–?;
–?
Рішення:
При
визначенні відцентрового (
)
моменту інерції знаки (
)
і (
)
фіксуються в тій системі координат, до
якої переходимо.
П
риклад
2.
Дано:
;
;
;
Визначити:
;
;
;
Рішення:
;
;
;
,
,
– осьові і відцентровий моменти при
переході віддовільних
осей до центральних.
П
риклад
3.
Визначити:
–
осьовий момент інерції складного
поперечного перерізу,
–координата
центра ваги по осі
.
Рішення.
;
;
,
де
.
Я
кщо
трикутник у нас рівнобічний і необхідно
визначити осьовий момент інерції
відносно центральних осей при
співвідношенні основи і висоти.
Якщо:
;
Якщо:
;
.
Формули переходу до повернутих осей.
Р
озглянемо
конкретний приклад.
Дано:
і
– центр осі
;
;
–
відомі
–кут
повороту осі
Визначити:
;
;
.
Рішення:
Оскільки
– як кути з взаємно перпендикулярними
сторонами в прямокутних трикутниках,
то
Підставимо
значення
-
і
в
формули для екваторіальних і відцентрового
моментів інерції, будемо мати:
(1)
(2)
(3)
При
додаванні осьових моментів інерції в
повернутих на кут
осях координат будемо мати:
(4)