Лекція № 5 Поняття про напружено-деформований стан. Напруження та деформації при розтязі-стику

План лекції:

1. Поняття про напружено-деформований стан.

2. Інтегральні рівняння рівноваги.

3. Чотириєдина задача опору матеріалів при розтязі і стиску,

4. Напруження та деформації при розтязі і стиску. Закон Гука. Принцип Сен-Венана.

5. Умова міцності і умова жорсткості при розтязі і стиску.

Література; [1] – 82÷86 с., 115÷120 с., [2] – 26÷41с.

1. Дія зовнішніх сил на тіло спричиняє його деформування, тобто зміну форми. Стан тіла, при якому воно деформується або необхідно визначити його деформації, називається деформованим станом, а саме тіло – деформованим тілом. При цьому, як вже відмічалося у попередніх лекціях, виникають деформації розтягу-стиску, зсуву, кручення, згину або їх комбінації. Ці деформації викликають відповідні внутрішні зусилля – поздовжню силу, поперечну силу, крутний момент, згинаючий момент або їх комбінації.

Розглянемо далі стержень, який знаходиться у рівновазі під дією зовнішніх сил. Розтинаючи його умовним перерізом і розглядаючи рівновагу, наприклад, лівої частини, будемо мати цілий спектр внутрішніх зусиль розподілених по перерізу. Привівши їх до центру ваги перерізу будемо мати головний вектор сил і головний вектор моменту .

Будемо вважати, що внутрішні зусилля, які діють по площі нескінченно малого елемента , будуть однаковими, як за своєю величиною, так і за напрямком дії. Таким чином, головний вектор буде проходити через центр ваги цього елемента, а головний момент . Проектуючи головний вектор на осі ,,, будемо мати елементарну поздовжню силуі поперечні силиі. Так як ми прийняли, що внутрішні зусилля на елементарній площі розподіляються рівномірно то, розділивши величини,,на площу елементарної ділянки, отримаємо величини поздовжніх і поперечних сил, що припадають на одиницю площі:

(1)

Ця величина має назву напруження. Таким чином, напруженням називається величина внутрішньої сили, що припадає на одиницю площі перерізу.

За характером дії внутрішніх сил розрізняють нормальні і дотичні напруження. Якщо появу напружень викликає поздовжня сила (див. (1)), то такі напруження називаютьсянормальними, і їх напрямок співпадає з напрямком нормалі до перерізу, тобто з поздовжньою віссю стержня.

Появу дотичних напружень викликають поперечні сили і. Напрямок цих напружень паралельний до осейта, відповідно, тобто перпендикулярний до поздовжньої осі стержня ідотичний до перерізу. Дотичні напруження діють в площі перерізу і дорівнюють:

; . (2)

Одиницею виміру напружень є Па, кПа, МПа.

Стан тіла, при якому в тілі виникають напруження або необхідно їх визначити, називається напруженим станом.

Стан тіла, при якому, внаслідок дії зовнішніх сил, тіло деформується, в ньому виникають напруження і необхідно визначити параметри деформування і значення напружень називається напружено-деформованим станом.

2. Переходячи від елементарної площі до повної площі перерізу, з урахуванням формул (1) і (2) ми можемо записати:

(3)

Залежності (3) називаються інтегральними рівняннями рівноваги.

При отриманні виразу для крутного моменту у (3) приймалися до уваги наступні перетворення:

; ; .

3. Оскільки закон розподілу напружень за висотою поперечного перерізу невідомий, вирахувати величину напружень тільки на основі інтегральних рівнянь рівноваги неможливо. Така задача є статично невизначною і для її розв'язку вона розглядається з чотирьох сторін (чотириєдина задача опору матеріалів):

1) Статична сторона задачі, де записуються необхідні інтегральні рівняння рівноваги;

2) Геометрична сторона, в якій оцінюються можливі переміщення точок перерізу, що розглядається. Як правило, це експериментальні дані;

3) Фізична сторона задачі, в якій встановлюється зв’язок між напруженнями і переміщеннями;

4) Проводиться синтез – тобто разом розв'язуються всі рівняння і шляхом виключення або урахування відомих переміщень (деформацій) дістаємо формули, що виражають напруження через зусилля або моменти у перерізі.

4. Розтяг або стиск стержня спричиняють сили, що діють на нього вздовж осі. При цьому, в будь-якому поперечному перерізі за довжиною стержня із шести внутрішніх силових факторів не буде дорівнювати нулю тільки один – поздовжня сила . Тобто;.

Розглянемо стержень, навантажений зовнішніми силами, які паралельні його поздовжній осі і проходять через центр ваги перерізу. Запишемо для цього стержня чотириєдину задачу.

1) Статистична сторона задачі – .

2) Геометрична сторона задачі. При експериментальних дослідженнях було встановлено, що лінії нанесені перпендикулярно до осі стержня при навантаженні стержня переміщуються, залишаючись паралельними одна одній. Передбачаючи, що картина буде незмінною і в середині стержня, прийшли до такого відомого висновку: поперечні перерізи стержня, плоскі до деформації, залишаються плоскими і після її виникнення, переміщуючись вздовж його осі. Цей висновок також має назву гіпотези плоских перерізів. На основі цього, при незмінному навантаженні, можна записати:

3) Фізична сторона задачі полягає у встановленні зв'язку між деформаціями і напруженнями. При експериментальних дослідженнях Робертом Гуком було встановлено, що напруження, які виникають у стержні, прямо пропорційні відносним деформаціям:

, (4)

де – коефіцієнт пропорційності, що характеризує фізико-механічні властивості матеріалу. Ця залежність має назвузакон Гука. Коефіцієнт пропорційності у цій залежності носить назву модуляпружності першого роду або модуля Юнга. Найчастіше його також називають модулем пружності. Вимірюється у Па, кПа, МПа і дорівнює:

для сталі: ; міді:;

алюмінію: ; дерева:.

4) Враховуючи постійність модуля пружності для даного матеріалу (гіпотеза однорідності й ізотропності), закон Гука, а також те, що , знаходимо, що:. Підставляючи цей вираз в інтегральне рівняння рівноваги, отримуємо:

звідки:

.

Тобто, напруження при розтязі-стиску визначаються як відношення поздовжньої сили до площі поперечного перерізу стержня. Знак напружень визна­чається знаком поздовжньої сили, що діє в перерізі: – розтяг;– стиск.