АиГ2015-2016 / Методические пособия / АиГ_2_Лиманский

11

Конечномерные линейные пространства изоморфны в точности тогда, когда их размерности равны.

					Индивидуальное задание				1!, H =				1!, K =
Задача 1. Пусть A =				1	1!, B =	1	0!, C =	0				1
	1!, M =			1	1	0	1	0	1		4!	0	0
0		1	1!. Найдите координаты матрицы T =							3		в указанном
1	1	1	0							1	2

базисе, проверив предварительно, что данная система матриц действительно образует базис пространства всех (2 × 2)-матриц над R.

1	A, B, C, H	4	A, B, C, K	7	A, B, C, M	10	A, B, H, M
2	C, B, K, M	5	A, C, H, K	8	A, C, K, M	11	A, H, K, M
3	B, C, H, K	6	B, C, H, M	9	B, H, K, M	12	C, H, A, M

Задача 2. Разложите функцию f(x) по базису 1, cos x, cos 2x, cos 3x, cos 4x, ïðî-

верив предварительно, что эти функции действительно образуют базис своей линейной оболочки.

	f(x)			f(x)			f(x)		f(x)
1	cos3 x		4	cos2 x − sin2 x cos x		7	cos x − cos3 x	10	sin2 x cos2 x
2	sin4 x		5	cos x − cos2 x − 3 sin2 x		8	2 cos3 x − sin2 x	11	sin2 x cos x
3	cos4 x		6	2 cos x − sin2 x cos2 x		9	3 cos x − 2 cos3 x	12	sin4 x − cos4 x

Задача 3. Разложите функцию f(x) по базису sin x, sin 2x, sin 3x, sin 4x, проверив

предварительно, что эти функции действительно образуют базис своей линейной оболочки.

	f(x)		f(x)		f(x)
1	sin3 x	5	sin x cos2 x − 2 sin3 x	9	sin x cos2 x + 3 sin3 x
2	cos2 x sin x	6	sin x cos2 x − 2 sin3 x cos x	10	sin x cos x + 2 sin3 x cos x
3	sin3 x cos x	7	2 sin3 x cos x + sin x cos3 x	11	sin x cos x − 5 sin x cos2 x
4	sin x cos3 x	8	sin x cos x − 3 sin x	12	sin x cos2 x − 5 sin x

Задача 4. Даны векторы x è a, b, c (вектор x слева, векторы a, b, c вверху, а номер варианта на пересечении строки и столбца, содержащих соответствующие векторы). Найдите все значения параметра p, при каждом из которых

вектор x принадлежит линейной оболочке векторов a, b, c.

12

	a	(p; −2; 3)	(3; p; 3)	(−5; p; −7)	(2; 4; p)
x	b	(−7; p; −8)	(p; 3; −3)	(6; 4; p)	(p; −4; 2)
	c	(3; 2; p)	(−3; −3; p)	(p; −4; 6)	(−3; p; −3)
(2; 2; 1)		1	4	7	10
(2; 1; 1)		2	5	8	11
(1; 1; 1)		3	6	9	12

Задача 5. Найдите матрицу перехода от базиса 1, x −c, (x −c)2, (x −c)3 к базису
1, x − d, (x − d)2, (x − d)3 в пространстве многочленов над R степени не выше 3.
	1	c=1, d=2	4	c=2, d=1	7	c=−1, d=1	10	c=2, d=−1
	2	c=3, d=1	5	c=3, d=−1	8	c=4, d=2	11	c=−2, d=2
	3	c=−3, d=1	6	c=−2, d=4	9	c=0, d=5	12	c=3, d=4
Задача 6. Разложите вектор v в сумму векторов v1 +v2, v1 V1, v2 V2, предва-
рительно доказав, что V1 V2 = R4. Здесь V1 множество решений однородной

системы

(

2x1 + 3x2

x3

3 2x4

= 0

, à V2

линейная оболочка векторов f3 =

x1

+ x2 + x + x4

= 0

−

−

(1, 1, 1, 1) è f4 = (4, 3, 2, 1).

v

v

v

v

1

(1; 2; 3; 4)

4

(2; 1; 3; 5)

7

(3; 2; −1; −2)

10

(1; −1; 1; −1)

2

(2; 1; 2; 3)

5

(1; 5; −1; 3)

8

(2; −1; 2; −1)

11

(5; 5; 3; 3)

3

(−3; −1; 3; 1)

6

(3; 1; 3; 1)

9

(1; 4; 7; 2)

12

(1; 3; 7; −1)

Литература по теории

[1:

ãë. 2],

[2: ãë. 1, 1]

Номера практических заданий

[6: 1277-1350]

Вопросы для самопроверки

1)Приведите пример подмножества линейного пространства, являющегося линейным пространством, но не подпространством данного пространства.

2) Пусть система векторов a, b, c линейно зависима. Верно ли, что система

a + b, b + c, a + c линейно зависима?

3)Пусть некоторый вектор линейно выражается через линейно зависимую систему векторов. Верно ли, что такое разложение единственно?

4)Может ли линейное пространство иметь два различных нулевых вектора?

13

5)Åñëè v1 è v2 такие векторы, что 0 · v1 = v2, то обязательно ли v2 = 0?

6)Чему равно произведение (−1) · v? Здесь v вектор.

7)Можно ли любой ненулевой вектор включить в некоторый базис?

8)Верно ли, что две системы векторов, имеющие одинаковые ранги, линейно выражаются друг через друга?

9)Какова размерность пространства C íàä R? Пространства C íàä C?

10)Верно ли, что объединение подпространств снова подпространство?

11)Верно ли, что n - мерное пространство прямая сумма одномерных?

12)Перечислите все подпространства пространства R3.

Дополнительные задачи

1)Докажите, что при n > 2 в вещественном n - мерном пространстве содержится бесконечное число подпространств.

2)Докажите, что совокупность векторов (ξ1, . . . , ξn) Rn, удовлетворяющих соотношению a1ξ1 + · · ·+ anξn = 0, ãäå a1, . . . , an фиксированные числа, не все равные нулю, образует (n − 1) - мерное подпространство в Rn.

√√

3)	Докажите линейную независимость чисел 1, 2, 3 над полем Q.
4)	Докажите, что в любом базисе пространства Rn координаты вектора x =
	(ξ1, . . . , ξn) линейные комбинации чисел ξ1, . . . , ξn.

5)Докажите, что объединение A B двух подпространств является подпространством в точности тогда, когда либо A B, ëèáî B A.

6)Докажите, что если для подпространств A è B выполнено равенство

dim(A + B) = 1 + dim(A ∩ B), то сумма A + B равна одному из этих подпространств, а пересечение A ∩ B другому.

7)Докажите, что V1 + (V2 ∩ V3) = (V1 + V2) ∩ V3, ãäå Vi, i = 1, 2, 3 подпространства, причем V1 V3 (закон модулярности).

8)Докажите линейную независимость функций f1(x), . . . , fn(x), если для некоторых различных чисел c1, . . . , cn R выполнено det (fj(ck)) 6= 0.

9)Докажите линейную независимость над R следующих функций:

(a)1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx;

(b)1, sin x, sin2 x, . . . , sinn x;

(c)eλ1x, . . . , eλnx, ãäå λ1, . . . , λn R различные числа.

10)Докажите, что пространство всех квадратных (n × n) матриц прямая сумма подпространств симметрических и кососимметрических матриц.

11)Докажите, что пространство всех вещественных функций прямая сумма подпространства четных и подпространства нечетных функций.

12)Докажите, что подмножество Rn подпространство в точности тогда, когда оно является множеством решений некоторой однородной системы.

Скалярным произведением

14

II. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Понятия:

1)аксиомы скалярного произведения;

2)длина вектора, расстояние и угол между векторами;

3)ортогональный и ортонормированный базисы;

4)ортогональное дополнение к подпространству;

5)определитель Грама;

6)ортогональная проекция вектора на подпространство;

7)угол, расстояние между вектором и подпространством;

8)изоморфизм евклидовых пространств;

9)аксиомы комплексного скалярного произведения.

Факты:

1)неравенство Коши Буняковского Шварца;

2)процесс ортогонализации Грама Шмидта;

3)существование ортонормированного базиса;

4)формула скалярного произведения в ортонормированном базисе;

5)свойства матрицы Грама;

6)метод наименьших квадратов;

7)теорема об изоморфизме;

8)неравенство Шварца для комплексного евклидова пространства.

в линейном пространстве V над полем R называется функция (·, ·) двух векторных аргументов из V , принимающая значения

â R, для которой выполняются следующие аксиомы скалярного произведения:

	1) (a, b) = (b, a);			3) (λa, b) = λ(a, b);
	2) (a + b, c) = (a, c) + (b, c);			4) (a, a) > 0		ïðè		a 6= 0.
Здесь a, b, c V , λ R.
	Åñëè íà V задано скалярное произведение, то V называется евклидовым
пространством. В евклидовом ïðîñтранстве вводятся понятия:
2)	угол между	p	ϕ = (a, b) = arccos a b , a, b = 0; åñëè a = 0
1)	длина вектора: |a| =		(a, a);		(a,b)			6
		векторами:
				| ||		|
	èëè b = 0, то полагают ϕ = π/2;
3)	расстояние между векторами :			ρ(a, b) = |a − b|.
	Справедливо	неравенство Коши Буняковского Шварца: (a, b)2 6

(a, a)(b, b). Из него следует, что угол между векторами всегда определен корректно, т. е. −1 6 cos ϕ 6 1.

ортогональными, åñëè

15

Два важнейших примера евклидовых пространств:

1) Rn : x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . ,byn); (x, y) = x1y1 + · · · + xnyn;

Пример 1. Найдите угол между R

è

, åñëè

2) C[a, b] : f, g, C[a, b];

(f, g) =

a f(x)g(x) dx.

f(x) = x + 6 g(x) = 2x − 3

(f, g) = −11 f(x)g(x) dx.

3

,

RИмеем (f, g)= −11(x+6)(2x−3) dx=−1043 , (f, f)=|f|2 =

−11 (x + 6)2 dx=

R

R1

3 . Отсюда (

) =

R

f g

218

(g, g) =

g

2 =

1

(2x

−

3)2 dx =

62

f, g

arccos

(f,g)

= π

−

104

| |

−

| || |

arccos

√

√

.

218

62

·

Векторы a è b евклидова пространства называются

(a, b) = 0. Базис e1, . . . , en конечномерного евклидова пространства называется ортогональным, åñëè (ei, ej) = 0 ïðè i 6= j. Ортогональный базис называется ортонормированным, åñëè |ei| = 1 äëÿ âñåõ i {1, . . . , n}. Условие ортонорми-

рованности можно записать в виде	j	j	= (	0, i 6= j	символ
	(ei, ej) = δi , ãäå	δi		1, i = j

Кронекера. Если базис e1, . . . , en ортонормированный, то для векторов a = x1e1 +· · ·+xnen è b = y1e1 +· · ·+ynen скалярное произведение (a, b) вычисляется

по формуле (a, b) = x1y1 + · · · + xnyn. В частности, |a| = x21 + · · · + x2n.

Åñëè	e1, . . . , em линейно независимая		векторов, то система
			система p
f1, . . . , fm, получаемая из e1, . . . , em по рекуррентным формулам
f1 = e1, f2 = e2 + α21f1,		. . . , fm = em + αm1f1 + · · · + αm,m−1fm−1,
ãäå αij = −(fj, ei)/(fj, fj), i		{1, . . . , m}, j	{1, . . . , i − 1}, будет линейно

независимой и ортогональной, причем L(e1, . . . , ej) = L(f1, . . . , fj) äëÿ âñåõ j

{1, . . . , m}. Описанный процесс называется процессом ортогонализации Грама

Шмидта. В частности, любое конечномерное евклидово пространство обладает ортонормированным базисом.

Пример 2. Ортогонализуйте последовательность векторов

a = (1; 2; 1; 2), b = (1; 1; 1; 1), c = (0; 1; 1; 1) в условиях стандартного скалярного произведения.

Имеем f1 = a; f2 = b + α21f1, α21 = −

(f1,b)

6

3

= −

= −

f2 = (1; 1; 1; 1)

−

(f1,f1)

10

5 ;

3

2

1

2

1

(f1,c)

(1; 2; 1; 2) = (

5 ;

−5

; 5 ; −

5 ). Далее, f3

= c + α31f1

+ α32f2

, α31

= −

=

5

(f1,f1)

5

1

(f2,c)

1

1

1

−

= −2 , α32

= −

= 0; f3 = (0; 1; 1; 1) − 2 (1; 2; 1; 2) = (−

2 ; 0;

2 ; 0). Таким

10

(f2,f2)

образом, f1 = (1; 2; 1; 2), f2 = (25 ; −15 ; 25 ; −15 ), f3 = (−12 ; 0; 12 ; 0).

Åñëè V евклидово пространство, а W его подпространство, то вектор v V называется ортогональным к W , åñëè (v, w) = 0 äëÿ âñåõ w W . Через W обозначают подпространство в V , состоящее из векторов, ортогональных

16

ê W , и называют его ортогональным дополнением ê W . Åñëè dim V < ∞, òî

V = W W . Åñëè v V è v = w1 + w2, w1 W, w2 W , то вектор w1

называется ортогональной проекцией вектора v на подпространство W . Углом

между вектором v и подпространством W называется угол между векторами v è w1, à расстоянием между v è W называется число |v − w1| = |w2|.

Для системы векторов e1, . . . , em евклидова пространства V матрица

(e1, . . . , em) = (αij)m×m, ãäå αij = (ei, ej), называется матрицей Грама, а ее определитель G(e1, . . . , em) = det (e1, . . . , em) определителем Грама. Справедливо, что G(e1, . . . , em) > 0; кроме того, G(e1, . . . , em) = 0 тогда и только тогда, когда векторы e1, . . . , em линейно зависимы.

	Пример 3. Найдите определитель Грама векторов							p = (1; 1; 0; 0; 1),
q = (1; 0; 1; 0; 1), r = (1; 1; 1; 1; 0).				(q, r)		2 3	2	= 12.
	Имеем G(p; p; r) =		(q, p) (q, q)		=
			(p, p) (p, q) (p, r)			3 2 2
			(r, p) (r, q) (r, r)			2 2 4

Пример 4. Найдите проекцию вектора x = (1; 1; 1; 1) на линейную оболочку векторов p = (1; 0; 1; 1), q = (0; 1; 1; 0), r = (0; 1; 1; 1) и вычислите угол между ними.

Пусть проекция x íà L(p, q, r) равна y, тогда y = λ1p + λ2q + λ3r.

Учитывая, что вектор x−y

ортогонален векторам p, q, r, т.е. (y, p)=(x, p),

(y, q) = (x, q), (y, r) = (x, r), получим систему линейных уравнений:

λ1

(x, p)

, èëè

3λ1 + λ2 + 2λ3 = 3

λ1 + 2λ2 + 2λ3 = 2. Решая систему, полу-

(p, q, r)

·

λ2

=

(x, q)

λ3!

(x, r)!

2λ1 + 2λ2 + 3λ3 = 3

÷èì λ

1

=

2

,

λ

2

= 1

,

λ

3

= 1

. Отсюда

y = (2

; 2 ; 4 ; 1) - искомая проекция, а

3

3

3

3

3 3

√

ϕ = arccos

(x,y)

= arccos

33

- искомый угол.

6

|x||y|

Пусть дана система линейных уравнений AX = B, A = (aij)m×n , B = (bi)m×1 , A1, . . . , An столбцы матрицы A, рассматриваемые как векторы евклидова пространства Rm. Тогда проекция вектора B на линейную оболочку

L(A1, . . . , An) называется решением этой системы методом наименьших квад-

ратов. Это решение можно получить также методами математического анализа
путем отыскания минимума функции f(x1, . . . , xn) = i=1	P	j=1 aijxj − bi	2	.
m		n
P

Пример 5. Методом наименьших квадратов решите систему линейных

2x + 3y + z = 1

x − y + z = 1

уравнений 3x + y + 2z = 1.

x + y + z = 1

17

Столбцы матрицы системы A1 = (2; 1; 3; 1)T , A2 = (3; −1; 1; 1)T , A3 = (1; 1; 2; 1)T , столбец свободных членов B =(1; 1; 1; 1)T . Найдем проекцию ве-

ктора B на линейную оболочку L(A1, A2, A3). Как и в примере 4, это

приводит	к системе относительно переменных						x, y, z с расширенной
матрицей	9	12	5	4!. Отсюда x = −	97	, y =	92	, z = 35	.
	15	9	10	7
	10	5	7	5

Пример 6. Методом наименьших квадратов постройте прямую, имеющую наименьшее уклонение от точек (1; 2), (2; 3), (3; 3), (4; 4), (5; 4).

Задача сводится к решению по методу наименьших квадратов

k + l = 2

2k + l = 3

системы 3k + l = 3. Это предполагает нахождение проекции вектора

4k + l = 4

5k + l = 4

B = (2; 3; 3; 4; 4) на линейную оболочку векторов A1 = (1; 2; 3; 4; 5) è A2 = (1; 1; 1; 1; 1). Последнее сводится к решению системы линейных уравнений

	55k + 15l = 53	. Решая систему, получим, что k = 21	, l = 1017
	15k + 5l = 16			. Таким обра-

зом, искомая прямая задается уравнением y = 0, 5x + 1, 7.

Два евклидовых пространства V1 è V2 над полем R называются изоморфными, если существует изоморфизм ϕ : V1 → V2 линейных пространств V1 è V2, для которого (ϕ(a), ϕ(b)) = (a, b). Здесь a, b V1.

Конечномерные евклидовы пространства изоморфны в точности тогда,
когда их размерности равны.
В определении евклидова пространства V над полем C аксиомы скаляр-
ного произведениÿ ïðåтерпевают следующие изменения:
1)	(a, b) = (b, a);	3)	(λa, b) = λ(a, b);
2)	(a, b + c) = (a, b) + (a, c);	4)	(a, a) R \ {0} ïðè a 6= 0.
Здесь a, b, c V , λ C.

Основной пример конечномерного комплексного пространства пространство Cn, в котором скалярное произведение векторов x = (x1, . . . , xn) è y =

(y1, . . . , yn) задается по формуле (x, y) = x1y¯1 + · · · + xny¯n.

Вся теория евклидовых пространств без особых изменений переносится со случая вещественных на случай комплексных пространств (см. [2]). Например,

неравенство Шварца для комплексных пространств имеет вид |(a, b)|2 6 |a|2|b|2.

18

Индивидуальное задание

R 1

Задача 1. Найдите угол между f(x) è g(x), åñëè (f, g) = −1 f(x)g(x) dx:

	f(x)	g(x)		f(x)	g(x)		f(x)	g(x)		f(x)	g(x)
1	2x + 1	x − 2	4	2x − 3	x + 1	7	x + 2	2x − 2	10	2x + 3	x − 1
2	−x + 1	2x − 1	5	x − 2	2x − 3	8	x + 4	x − 1	11	x + 2	2x + 3
3	x − 3	x + 2	6	x + 3	x − 1	9	x + 5	x + 4	12	x − 5	x + 2

Задача 2. Пусть a = (1; 1; 1; 0), b = (1; 1; 0; 1), c = (1; 0; 1; 1), f = (0; 0; 1; 1),

g = (0; 1; 1; 0), h = (1; 1; 0; 0). Ортогонализуйте последовательность векторов в условиях стандартного скалярного произведения:

	1	a, b, c	3	c, f, g	5	a, f, g	7	b, c, g	9	a, c, f		11	b, c, f
	2	a, b, g	4	b, c, h	6	a, b, f	8	g, c, b	10	f, g, c		12	b, f, g
Задача 3. Пусть p =					(1; 1; 1; 1; 0), q			= (1; 1; 1; 0; 1), r			= (1; 0; 0; 1; 1), s =

(1; 0; 1; 1; 1), t = (0; 1; 1; 1; 1). Найдите определитель Грама следующих векторов:

1	p, q, r		3		p, r, s		5	p, q, t	7	p, s, t	9	p, r, t	11	p, q, s
2	q, r, s		4		q, r, t		6	q, s, t	8	r, s, t	10	p + q, r, s	12	p + r, s, t
Задача		4.		Пусть p				= (2; 1; −1; 0), q			=	(1; 0; 1; 1),	r	= (2; 1; 0; 1),

s = (−1; 0; 1; 2). Найдите проекцию данного вектора на соответствующую линейную оболочку и вычислите угол между ними:

	L(p, q, r)			L(p, q, s)			L(p, r, s)		L(q, r, s)
1	(3; 4; −2; 5)		4	(5; 1; −1; 3)	7		(2; 5; 1; 2)	10	(3; −3; −1; 7)
2	(5; −3; −3; 5)		5	(2; 0; −1; 2)	8		(0; 4; 1; 1)	11	(2; −3; −2; 5)
3	(2; 6; 5; 2)		6	(3; 0; 0; 3)	9		(3; 5; 0; 0)	12	(1; −4; −1; 5)

Задача 5. Даны матрицы

A= 1		2	2 ; B = 1			2	1 ; C = 1				3	1 ; H = 1 ; K = 2 ; P = 3 ; T = 3 .
	1	1	1		2	1	1			1	3	3			1			1			2			1
3		2	1	3		1	2		1		1	2		3			1			1			1
	2	3	1		1	1	2			2	1	1			3			2			0			5

Методом наименьших квадратов решите данную систему линейных уравнений:

1	AX =H	3	AX =K	5	AX =P	7	AX =T	9	BX =H	11	BX =K
2	BX =P	4	BX =T	6	CX =H	8	CX =K	10	CX =P	12	CX =T

19

Задача 6. Методом наименьших квадратов постройте прямую, имеющую наименьшее уклонение от данных точек:

1	(0; 0), (1;	1), (3;	2), (4; 5), (5; 4)	7	(−1; 1), (2; 1), (−2; 2), (3; 3), (4; 2)
2	(2; −1), (3;	1), (0;	2), (−1; 1), (4; 0)	8	(3; 3), (2; 2), (1; 1), (−2; 0), (−1; 0)
3	(5; 0), (2; 1), (−3;		2), (0; 3), (−1; 1)	9	(2; 2), (−1; −1), (3; 2), (4; 4), (1; 2)
4	(3; −1), (−2; −2), (1; 3), (2; 4), (5; 4)			10	(3; 1), (−2; 2), (0; 3), (−1; 3), (1; 2)
5	(5; 1), (−3; 2), (2; −1), (1; 3), (−2; 2)			11	(3; 3), (2; 2), (−1; −1), (0; 3), (1; 0)
6	(2; −2), (−3; 3), (0; 4), (5; 1), (1; −1)			12	(−2; 2), (1; −3), (3; 2), (5; 4), (4; 5)
			Литература по теории
	[1: ãë. 4],	[2: ãë. 1, 2,3]

Номера практических заданий

[6: 1351-1433]

Вопросы для самопроверки

1)Однозначно ли задается скалярное произведение в евклидовом пространстве?

2)Åñëè (x, y) скалярное произведение в вещественном пространстве, то будет ли λ(x, y) скалярным произведением для каждого λ R? λ > 0?

3)Верно ли, что если (x, y) è hx, yi скалярные произведения, то (x, y) + hx, yi тоже скалярное произведение?

4)Верно ли, что для определения скалярного произведения на линейном пространстве его следует задавать для всех пар векторов?

5)Может ли система попарно ортогональных векторов быть линейно зависимой?

6)Чему равно скалярное произведение (λa + µb, x), åñëè (a, x) = (b, x) = 0?

7)Верно ли, что если (a, x) = (b, x) при некотором векторе x 6= 0, òî a = b?

8)Верно ли, что при ортогонализации линейно зависимой системы получа- ются ненулевые векторы?

9)Чему равно ортогональное дополнение для всего пространства? Для нулевого подпространства?

10)Чему равно A ∩ A ? A + A ?

11)Верно ли, что |x| = 0 в точности тогда, когда x = 0?

¯

12) Верно ли, что в комплексном евклидовом пространстве (a, λb) = λ(a, b)?

G(e1, . . . , em)

20

Дополнительные задачи

1)Докажите, что если (a, x) = (b, x) для всех векторов x, òî a = b.

2)Докажите, что в неравенстве Шварца (a, b)2 6 |a|2|b|2 знак равенства имеет место в точности тогда, когда векторы a è b линейно зависимы.

3)Докажите, что для любого базиса e1, . . . , en евклидова пространства су- ществует однозначно определенный взаимный базис f1, . . . , fn такой, что

(ei, fj) = δij, i, j {1, . . . , n}.

4)Пусть V евклидово пространство, e1, . . . , em ортонормированная си- стема его векторов, x V произвольный вектор, y его проекция на

линейную оболочку L(e1, . . . , em). Докажите, что справедливы формула

Фурье y = Pm (x, ek)ek è неравенство Бесселя Pm (x, ek)2 6 |x|2.

k=1 k=1

5)Пусть V1 è V2 подпространства конечномерного евклидова пространства V . Докажите, что:

V	= V1;			â) (V1		V2) = V + V ;
à)			V2 ;	ã) V1		∩V2		V2		V1 .
á) (V1 + V2) = V1
1		∩						1		2

6)Докажите, что если V = V1 V2, òî V = V1 V2 .

7)Докажите, что при ортогонализации линейно зависимой системы обязательно появится нулевой вектор.

8)Докажите, что определитель Грама трех векторов в пространстве равен квадрату объема параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах.

9)Ортогонализуйте базис 1, x, x2, x3 пространства многочленов степени не выше 3 со скалярным произведением (f, g) = R01 f(t)g(t) dt.

10)Докажите, что расстояние вектора x до подпространства W с базисом

e1, . . . , em вычисляется по формуле

ρ(x, W ) = G(e1, . . . , em, x).

11)Докажите неравенство треугольника для расстояния в евклидовом про-

странстве: ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z).

12)В линейном пространстве V над R задана функция x 7→x|| одного векторного аргумента, принимающая значения в поле R и удовлетворяющая

условиям:

(i) |x| > 0, |x| = 0 x = 0;	(iii) |x + y| 6 |x| + |y|;
(ii) |λx| = |λ||x|, λ R;	(iv) |x + y|2 + |x − y|2 = 2|x|2 + 2|y|2.
Докажите, что пространство	V евклидово относительно скалярного

произведения (x, y) = 12 (|x + y|2 − |x|2 − |y|2).