АиГ2015-2016 / Методические пособия / АиГ_2_Лиманский

21

III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ МАТРИЦЫ

Понятия:

1)линейный оператор;

2)матрица линейного оператора;

3)алгебра линейных операторов;

4)ядро, образ, ранг линейного оператора;

5)инвариантные подпространства.

Факты:

1)определяемость линейного оператора образами базисных векторов;

2)теорема о размерности ядра и образа линейного оператора;

3)изоморфизм алгебры линейных операторов алгебре матриц;

4)преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису;

5)инвариантность ядра и образа линейного оператора.

Пусть V линейное пространство над полем P . Функция ϕ : V → V

называется линейным оператором, åñëè ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) è ϕ(λa) = λϕ(a)

äëÿ âñåõ a, b V è λ P . (Часто вектор ϕ(x) записывают так: ϕx.) Линейный оператор ϕ полностью определяется заданием образов

ϕe1, . . . , ϕen векторов некоторого базиса e1, . . . , en пространства V . Этот факт позволяет сопоставить каждому оператору ϕ, заданному на конечномерном пространстве V с базисом e1, . . . , en, матрицу A = (aij)n×n, столбцы которой

координаты векторов ϕe1, . . . , ϕen в базисе e1, . . . , en, ò. å. ϕej =		P	in=1 aijei,
j {1, . . . , n}. Матрица A называется матрицей линейного				ϕ â
	оператора

базисе e1, . . . , en.

Для линейных операторов на пространстве V операции определены так:

(ϕ + ψ)a = ϕa + ψa, (ϕψ)a = ϕ(ψa), (λϕ)a = λ(ϕa). Здесь ϕ, ψ линейные

операторы на V , a V , λ P . Таким образом, множество всех линейных

операторов на пространстве V образует алгебру над P .

Åñëè A è B матрицы операторов ϕ è ψ в базисе e1, . . . , en, то матрицы

операторов ϕ+ψ, ϕψ è λϕ в том же базисе будут A+B, AB, λA соответственно.

Поэтому взаимно однозначное соответствие, при котором данному оператору сопоставляется его матрица в фиксированном базисе, является изоморфизмом алгебры линейных операторов и алгебры матриц.

Åñëè a =		in=1 xiei, ϕa =	in=1 yiei, òî Y = AX. Здесь X è Y одностол-
бцовые	P	P		a è ϕa соответственно в базисе e1, . . . , en.
	матрицы координат векторов

Пример 1. Пусть ϕ - линейный оператор в R2. Найдите его матрицу в базисе e1=(3; 4), e2=(1; 3), åñëè ϕ(x; x)=(2x; 3x), ϕ(x; 3x)=(x; −x), x R.

22

			Ïðè x= 1 получаем ϕ(1; 1) = (2; 3) è ϕ(1; 3) = (1; −1). Òàê êàê (3; 4) =
25 (1; 1) + 21 (1; 3), òî ϕe1							= ϕ(3; 4) =	25 ϕ(1; 1) + 21 ϕ(1; 3) = 25 (2; 3) + 21 (1; −1) =
	112	; 7 ; ϕe2 =				ϕ(1; 3) = (1; −1). Разлагая ϕe1 è ϕe2 по базису e1, e2, ïî-
		ϕe1		= 10 e1 − 5 e2,			ϕe2 = 5 e1	− 5 e2. Таким образом, искомая матрица
лучим				19		1	4	7
имеет вид				19		4
				−51		−57 .
				10		5
			Пример 2. Пусть ϕ - линейный оператор в R2, переводящий векторы
e1		= (1; 1)		è e2		= (3; 2)	в векторы f1 = (1; 4) è f2 = (2; 5) соответственно.

Найдите, в какие векторы он переводит векторы стандартного базиса.
Òàê êàê (1; 0) = −2e1 + e2 è (0; 1) = 3e1 − e2, òî ϕ(1; 0) = −2ϕe1		+
ϕe2 = −2f1	+ f2 = −2(1; 4) + (2; 5) = (0; −3); ϕ(0; 1) = 3ϕe1 − ϕe2 = 3f1 − f2	=
3(1; 4) − (2;	5) = (1; 7).

Пример 3. Пусть ϕ : R2 → R2 - отображение, ϕ(x; y) = (3x+y; x−y).

Докажите, что ϕ - линейный оператор. Найдите его матрицу в базисе e1 =(4; 3), e2 =(1; 1).

Пусть a = (x1; y1), b = (x2; y2), тогда ϕ(a + b) = ϕ(x1 + x2; y1 + y2) =

(3(x1 + x2) + y1 + y2; x1 + x2 − (y1 + y2)) = (3x1 +3x2 +y1 +y2;	x1 +x2 −y1 −y2).
Далее, ϕa = (3x1 + y1; x1 − y1), ϕb = (3x2 + y2; x2 − y2);	ϕa + ϕb = (3x1 +

3x2 + y1 + y2; x1 + x2 −y1 −y2). Получим, что ϕ(a+ b) = ϕa+ ϕb. Кроме того,

ϕ(λa) = ϕ(λx1; λy1) = (3λx1 + λy1; λx1 − λy1) = λ(3x1 + y1; x1 − y1) = λϕa. Таким образом, - ϕ линейный оператор.

Имеем ϕe1 = ϕ(4; 3) = (15; 1), ϕe2 = (4; 0). Разлагая ϕe1 è ϕe2 ïî áà- çèñó e1, e2, получим ϕe1 = 14e1 − 41e2, ϕe2 = 4e1 − 12e2. Таким образом,

матрица оператора ϕ в базисе e1, e2 имеет вид	−41	−12 .
	14	4

Пусть в конечномерном линейном пространстве V заданы два базиса

e1, . . . , en è f1, . . . , fn. Если A и B матрицы оператора ϕ в базисах e1, . . . , en è f1, . . . , fn соответственно, C матрица перехода от первого базиса ко второму,

òî B = C−1AC.

Пример 4. Для оператора ϕ : R3 → R3 справедливы равенства ϕf1 = f1, ϕf2 = 2f2, ϕf3 = 3f3; f1 = (1; 2; 3), f2 = (1; 1; 1), f3 = (1; 3; 6). Найдите матрицу этого оператора в стандартном базисе.

Т. к. определитель, составленный из координат векторов (1; 2; 3), (1; 1; 1) и (1; 3; 6), отличен от нуля, то эти векторы - базис R3. Матрица

B		ϕ		B =	0	0	3!. Матрица перехода
					1	0	0
	оператора		в этом базисе имеет вид		0	2	0

23

C		f1, f2, f3		C =	3	1	6!.
					1	1	1
	от стандартного базиса к базису		имеет вид		2	1	3

Тогда матрица A оператора ϕ в стандартном базисе определяется из

соотношения B = C−1AC, ò. å. A = CBC−1 =	9	−14	7	!.
	6	−7	3
	15	−27	14

Ядро Ker ϕ линейного оператора ϕ состоит из тех векторов пространства V , которые переводятся оператором ϕ в нулевой вектор, т. е. Ker ϕ = {a V : ϕa = 0}. Образ Im ϕ линейного оператора ϕ совпадает с областью значений оператора ϕ как функции, т. е. a Im ϕ тогда и только тогда, когда существует вектор b V , такой что ϕb = a.

Для конечномерного пространства V справедливо равенство

dim Ker ϕ + dim Im ϕ = dim V.

	Пример 5. Найдите ядро и образ линейного оператора ϕ â
					y + z; z) = (2x + y + z; −x − y;
пространстве R3,			ϕ(x + y + z;										x + z).
													+y+z =0
	Рассмотрим однородную систему линейных уравнений 2x−x−y =0.
													x+z =0
Найдем фундаментальную систему ее решений - базис Ker ϕ:
	−1 −1			0 0!	2		1 1	0!	0	−1	1	0!.
2			1	1 0	−1		−1 0 0		1	1	0	0
1			0	1 0	1		0 1	0	0	0	0	0
Базис Ker ϕ состоит из вектора (							1; 1; 1),	ò.å. Ker ϕ=			(	c1; c1	; c1), c1	.
						−					{ −			R}
	Полагая сначала x = 1,				y = 0, z = 0, затем x = 0,							y = 1, z = 0 è

x = 0, y = 0, z = 1, найдем, что ϕ(1; 0; 0) = (2; −1; 1), ϕ(1; 1; 0) = (1; −1; 0),

ϕ(1; 1; 1) = (1; 0; 1). Так как определитель, составленный из координат векторов (1; 0; 0), (1; 1; 0) и (1; 1; 1), отличен от нуля, то эти векторы - базис R3. Тогда Im ϕ - линейная оболочка векторов (2; −1; 1), (1; −1; 0) и (1; 0; 1). Составим матрицу из этих векторов и приведем ее к ступенчатому виду:

1	0	1!		1	0	1!		0	0	0!
2	−1	1		1	−1	0		1	−1	0
1	−1	0		2	−1	1		0	1	1 .

Получим, что векторы f1 = (1; −1; 0) è f2 = (0; 1; 1) будут базисом Im ϕ, т. е. Im ϕ = {(c1; −c1 + c2; c2), c1, c2 R}.

Пример 6. Оператор ϕ задан на пространстве многочленов над R степени не выше 3: (ϕf)(x) = f0(x) + f00(x). Найдите его ядро и образ.

ßäðî Ker ϕ составляют те многочлены f(x) = ax2 +bx+c, для которых f0(x) + f00(x) = 0. Òàê êàê f0(x) + f00(x) = 2ax + b + 2a, имеем тождество

24

2ax+2a+b ≡ 0, откуда 2a = 0, 2a+b = 0, ò. å. a = b = 0. Таким образом, Ker ϕ состоит из многочленов вида f(x) = c, c R.

Образ Im ϕ - это линейная оболочка многочленов ϕ(1) = 0, ϕ(x) = 1, ϕ(x2) = 2x + 2. Сопоставляя каждому многочлену строку его коэффицие-

	1, x, x		2	2	0!	èç
			0	0	0
нтов (в стандартном базисе		2), составим матрицу	1	0	0

строк, соответствующих	многочленам ϕ(1), ϕ(x) è ϕ(x2). Приводя эту
		1	0	0
		0	1	0
матрицу к ступенчатому	виду, получим матрицу	0	0	0!. Ненулевым ее
строчкам соответствуют	многочлены 1 è x. Значит, Im ϕ - линейная

оболочка многочленов 1 и x, т. е. Im ϕ состоит из многочленов вида f(x) = c1 + c2x, c1, c2 R.

Если линейный оператор ϕ : V → V взаимно однозначен (как функция), то он называется обратимым. Оператор ϕ обратим в точности тогда, когда Ker ϕ = {0} и Im ϕ = V . В конечномерном пространстве достаточно любого

из этих условий (второе будет из него следовать). Если линейный оператор ϕ взаимно однозначен, то отображение ϕ−1 : V → V будет линейным оператором,

обратным ê ϕ. Его матрица в некотором базисе (в конечномерном случае)

будет обратной к матрице оператора ϕ в том же базисе. Поэтому оператор ϕ

в конечномерном пространстве обратим в точности тогда, когда его матрица невырождена в некотором (а, значит, и в произвольном) базисе.

Подпространство U линейного пространства называется инвариантным относительно линейного оператора ϕ, если ϕ(U) U. Здесь ϕ(U) множество

образов векторов из U при действии оператором ϕ.

Несобственными (тривиальными) инвариантными подпространствами относительно любого оператора ϕ : V → V являются {0} и V . Также подпрос-

транствами, инвариантными относительно оператора ϕ, являются его ядро и образ.

25

Индивидуальное задание

Задача 1. Пусть ϕ линейный оператор в R2. Найдите его матрицу в базисе

e1, e2.

		ϕ	e1	e2
1	(x; 0) 7→(x; 2x)	(x; x) 7→(3x; x)	(1; 2)	(2; 1)
2	(x; x) 7→(x; −x)	(x; −x) 7→(2x; x)	(2; 3)	(1; 2)
3	(x; 2x) 7→(x; x)	(x; −x) 7→(x; 0)	(2; 1)	(1; 1)
4	(0; x) 7→(x; x)	(x; x) 7→(x; 0)	(1; 1)	(1; 3)
5	(0; −x) 7→(x; 0)	(x; −x) 7→(x; 3x)	(1; 2)	(3; 1)
6	(x; 2x) 7→(x; 0)	(2x; x) 7→(0; x)	(2; 1)	(3; 1)
7	(0; x) 7→(x; 2x)	(x; x) 7→(x; 3x)	(1; 2)	(2; 1)
8	(x; x) 7→(−x; x)	(−x; x) 7→(x; −2x)	(3; 2)	(1; 2)
9	(2x; x) 7→(x; −x)	(x; x) 7→(0; x)	(1; 2)	(1; 1)
10	(x; 0) 7→(x; x)	(x; −x) 7→(0; x)	(1; −1)	(3; 1)
11	(−x; 0) 7→(0; x)	(−x; x) 7→(3x; x)	(2; 1)	(3; −1)
12	(2x; x) 7→(0; x)	(x; 2x) 7→(−x; 0)	(1; 2)	(−3; 1)

Задача 2. Пусть ϕ линейный оператор в R2, переводящий векторы e1, e2 â

векторы f1, f2 соответственно. Найдите, в какие векторы он переводит векторы стандартного базиса.

		e1	e2	f1	f2			e1	e2	f1	f2
1		(1; 2)	(1; 3)	(3; 1)	(3; 2)		7	(2; 3)	(1; 1)	(2; 5)	(3; 1)
2		(1; 4)	(1; 3)	(2; 2)	(1; 2)		8	(3; 4)	(1; 1)	(1; 1)	(2; 3)
3		(3; 1)	(5; 2)	(1; 0)	(0; 1)		9	(2; 4)	(1; 1)	(1; 1)	(1; 2)
4		(2; 1)	(3; 1)	(1; 3)	(2; 3)		10	(3; 2)	(1; 1)	(5; 2)	(3; 1)
5		(4; 1)	(1; 3)	(2; 2)	(2; 1)		11	(4; 3)	(1; 1)	(1; 1)	(3; 2)
6		(1; 3)	(2; 5)	(2; 3)	(1; 1)		12	(4; 2)	(1; 1)	(2; 1)	(1; 1)

Задача 3. Пусть ϕ : R2 → R2 отображение. Докажите, что ϕ линейный оператор. Найдите его матрицу в базисе e1, e2.

	ϕ	e1	e2		ϕ	e1	e2
1	(x; y)7→(x+2y; −x+y)	(2; 1)	(1; 2)	7	(x; y)7→(x+3y; x+y)	(1; 1)	(0; 1)
2	(x; y)7→(2x+3y; x+2y)	(1; 2)	(1; 1)	8	(x; y)7→(x+y; x+4y)	(2; 1)	(1; 1)
3	(x; y)7→(x+5y; 2x+2y)	(3; 4)	(2; 3)	9	(x; y)7→(x+y; y)	(2; 3)	(1; 2)
4	(x; y)7→(x+y; 2x+y)	(1; 2)	(2; 1)	10	(x; y)7→(3x+y; x+y)	(0; 1)	(1; 1)
5	(x; y)7→(3x+2y; 2x+y)	(2; 1)	(1; 1)	11	(x; y)7→(x+y; 4x+y)	(1; 2)	(1; 1)
6	(x; y)7→(2x+2y; x)	(3; 2)	(2; 1)	12	(x; y)7→(5x+y; x+y)	(4; 3)	(3; 2)

26

Задача 4. Для оператора ϕ : R3 → R3 справедливы равенства ϕfj = λjfj, j = 1, 2, 3. Найдите матрицу этого оператора в стандартном базисе.

						f1	(1; 1; 2)	(1; 0; −1)	(0; 1; 2)	(1; −2; −2)
						f2	(2; 2; 3)	(0; 1; 1)	(1; 2; 3)	(−1; 1; 3)
			λ1	λ2	λ3	f3	(1; 2; 2)	(−1; 2; 2)	(2; 2; 3)	(−1; 1; 2)
			−1	1	0		1	2	3	4
		2		2	3		5	6	7	8
		2		3	3		9	10	11	12
Задача 5. Найдите ядро и образ линейного оператора ϕ в пространстве R3.
								ϕ
	1		(x+y; y+z; x+z) 7→(2x+y+z; x; x+2y+2z)
	2		(x−y; y; y+z) 7→(x−2y+z; −2x+y+z; x+y−2z)
	3		(x−y; y−z; x+z) 7→(x+2y+3z; −x−2y−3z; 2x+4y+6z)
	4		(x; x+y; x+y+z) 7→(x−y; y−z; z−x)
	5		(x+y; y; x+z) 7→(x+y−z; x+z; 2x+y)
	6		(x+y+z; y+z; z) 7→(x+y+z; −x+y; −2y−z)
	7		(y; x−y; y+z) 7→(−2x+y+z; x−2y+z; x+y−2z)
	8		(y+z; x+z; x+y) 7→(−x; 2x+y+z; x+2y+2z)
	9		(y−z; x+z; x−y) 7→(x+2y+3z; x+2y+3z; 2x+4y+6z)
	10		(x+y; −x; x+y+z) 7→(z−x; y−z; x−y)
	11		(y; x+z; x+y) 7→(x+z; x+y−z; 2x+y)
	12		(z; x+y+z; y+z) 7→(x−y; x+y+z; 2y+z)

Задача 6. Оператор ϕ задан на пространстве многочленов над R степени не выше 3. Найдите его ядро и образ.

ϕ

ϕ

ϕ

1

f(x)

f(x)+f(

−

x)

5

f(x)

f(x)

−

f( x)

9

f(x)

f00(x)

7→

7→

−

7→

2

f(x)

f(x+1)

−

f(x)

6

f(x)

f(x)

−

xf0

(x)

10

f(x)

f(x)

−

f(0)

7→

7→

7→

3

f(x)

f(x)

−

x2f00(x)

7

f(x)

f(x)

−

xf0

(0)

11

f(x)

xf00

(0)

7→

7→

7→

4

f(x)

f0

(x+1)

8

f(x)

xf0(x)+f00(0)

12

f(x)

f(x)

−

f0

(x)

7→

7→

7→

27

Литература по теории

[1: ãë. 5, 1,2], [2: ãë. 1, 9, 10]

Номера практических заданий

[6: 1434-1462]

Вопросы для самопроверки

1)Всегда ли линейный оператор переводит линейно независимые векторы в линейно независимые?

2)Тот же вопрос для линейно зависимых векторов.

3)Что представляют собой ядро и образ тождественного и нулевого операторов?

4)Как изменится матрица линейного оператора в данном базисе, если два базисных вектора поменять местами?

5)Пусть оператор в некотором базисе задан невырожденной матрицей. Может ли в другом базисе матрица этого оператора быть вырожденной?

6)Верно ли, что пространство V , в котором действует оператор, является прямой суммой ядра и образа этого оператора?

7)Верно ли, что линейный оператор нулевой вектор переводит в нулевой?

8)Пусть ϕ è ψ операторы, причем ϕψ = 0. Всегда ли из этого следует равенство ψϕ = 0?

9)Какова размерность пространства всех линейных операторов в n мерном пространстве?

10)Опишите все линейные операторы в одномерном пространстве.

11) Какие включения справедливы: Ker ϕ Ker ϕ2, Ker ϕ Ker ϕ2, Im ϕ

Im ϕ2, Im ϕ Im ϕ2?

12)Всегда ли оператор, действующий в вещественном пространстве V , обладает инвариантными подпространствами, отличными от {0} è V ?

Дополнительные задачи

1)Пусть ϕ оператор дифференцирования, ψ оператор умножения на x в пространстве всех многочленов от x íàä R. Докажите, что ϕψn −ψnϕ =

nψn−1.

2) Докажите, что если U подпространство, ϕ линейный оператор, то

dim ϕ(U) 6 dim U.

3)Докажите, что всякое подпространство является: а) ядром; б) образом некоторого линейного оператора.

28

4)Докажите, что два линейных оператора, образы которых различны, являются линейно независимыми.

5)В пространстве Mn многочленов степени 6 n постройте два различных

линейных оператора, совпадающих на подпространстве Mn−1 с операто- ром дифференцирования.

6)Докажите, что если оператор ϕ в пространстве V íàä R удовлетворяет условию ϕ2 = ϕ, òî V = Ker ϕ Im ϕ.

7)Докажите, что для любого оператора ϕ в конечномерном пространстве

Vнайдется номер k такой, что Ker ϕk = Ker ϕk+1 = Ker ϕk+2 = . . . .

8)Докажите, что для линейного оператора ϕ в конечномерном пространстве

Vсправедливо, что V = Ker ϕn Im ϕn для некоторого натурального n

(лемма Фиттинга).

9)Докажите, что для оператора ϕ : V → V выполнено ϕ2 = ϕ в точности тогда, когда ϕ проектор, т. е. когда V = Ker(ϕ − E) Ker ϕ.

10)Докажите, что для оператора ϕ : V → V выполнено ϕ2 = E в точности тогда, когда ϕ отражение, т. е. когда V = Ker(ϕ − E) Ker(ϕ + E).

11)Пусть ϕ оператор сдвига в пространстве C[−1, 1]. ò. å. ϕ : f(x) 7→

f(x − a). Докажите, что L(sin x, cos x) инвариантное подпространство

относительно ϕ.

12)Пусть пространство V прямая сумма m подпространств U1, . . . , Um, инвариантных относительно оператора ϕ. Докажите, что матрица опера-

òîðà ϕ в некотором базисе является блочно диагональной, т. е. имеет вид

B1 ...	, ãäå B1, . . . , Bm квадратные матрицы, а все невыписан-

Bm

ные элементы равны нулю.

29

IV. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Понятия:

1)собственные значения, собственные векторы, спектр оператора;

2)характеристический многочлен и характеристическое уравнение;

3)диагонализуемость оператора;

4)жорданова клетка;

5)жорданова нормальная форма матрицы, канонический (жорданов) базис.

Факты:

1)свойства собственных значений и собственных векторов оператора;

2)теорема Гамильтона Кэли;

3)критерий диагонализуемости оператора;

4)приведение матрицы оператора к жордановой нормальной форме.

Пусть ϕ линейный оператор в линейном пространстве V над полем P . Число λ P называется собственным значением оператора ϕ, åñëè ϕv = λv для некоторого ненулевого вектора v V . При этом вектор v называется

собственным вектором оператора ϕ, отвечающим собственному значению λ.

Совокупность собственных значений оператора в конечномерном пространстве называется спектром этого оператора.

Пример 1. В геометрическом трехмерном пространстве с ортонормированным базисом e1, e2, e3 задан линейный оператор ϕ ортогонального проектирования на плоскость (e1, e2). Найдите его собственные значения и собственные векторы.

Ненулевой вектор v является собственным для оператора ϕ â

точности тогда, когда векторы v è ϕv коллинеарны. Так как ϕv -

ортогональная проекция вектора v на плоскость (e1, e2), то равенство ϕv = λv возможно в двух случаях:

1) вектор v лежит в плоскости проектирования. В этом случае ϕv = v, откуда λ = 1 è v = c1e1 + c2e2, ãäå c21 + c22 6= 0;

2) вектор v ортогонален плоскости проектирования. В этом случае ϕv = 0, откуда λ = 0 è v = c3e3, ãäå c3 6= 0.

Таким образом, оператор ϕ имеет два собственных значения 1 è 0.

Собственные векторы, отвечающие первому собственному значению, имеют вид c1e1 + c2e2, c21 + c22 6= 0, а собственные векторы, отвечающие второму собственному значению, имеют вид c3e3, c3 6= 0.

Если пространство V конечномерно и A матрица оператора ϕ в некотором его базисе, то многочлен fϕ(λ) := det(A−λE) не зависит от выбора базиса и

30

называется характеристическим многочленом оператора ϕ. Уравнение fϕ(λ) =

0 называется характеристическим уравнением линейного оператора ϕ. Свойства собственных значений и собственных векторов:

1) линейный оператор в конечномерном пространстве над C имеет хотя бы

одно собственное значение и, значит, существует одномерное подпространство, инвариантное относительно этого оператора;

2) число λ0 является собственным значением оператора ϕ в точности тогда, когда fϕ(λ0) = 0;

3) собственные векторы, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

Координаты собственных векторов оператора, отвечающих собственному

значению λ0, в базисе, в котором задана матрица A этого оператора, могут быть найдены как нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений

с вырожденной матрицей (A − λ0E).

Пример 2. Пусть ϕ - линейный оператор в пространстве V íàä R ñ

базисом a, b,

ϕ(a + b) = a + b, ϕ(a − b) = b. Найдите его собственные зна-

чения и собственные векторы.

Найдем сначала матрицу A оператора ϕ в базисе a, b. Òàê êàê

ϕa+ϕb = a+b

ϕa−ϕb = b, то, решая эту систему

1

1

è

относительно векторов

ϕa è ϕb, получим ϕa = 2 a + b, ϕb = 2 a, ò. å. A =

1

0 . Составим

1

1

2

2

è1

решим

1

ϕ. Имеем: det(A−λE) =

характеристическое уравнение оператора

−

значения оператора

.

2

− λ

2

= 0, λ2

1

λ

−

1 = 0. Значит, λ1 = 1 è λ2 =

1

- собственные

1

−

λ

ϕ

2

2

Для нахождения

собственных векторов, отвечающих собственным значе-

íèÿì λi, найдем фундаментальные системы решений однородных систем с ма-

трицами		1A−1λiE. Для первого собственного значения имеем: A−λ1E = A−
	1		−1		0	0
E =	−	2	2		1	−1	. ФСР этой системы образует вектор f1 = (1; 1).

Т.е. множество собственных векторов, отвечающих собственному значению

λ = 1, имеет вид (c1; c1) = c1(a + b), ãäå c116= 0. Äëÿ						1второго собственного
значения имеем: A − λ2E = A + 2 E =	1	21			0	0 . ФСР этой системы
1	1	2			1	2

образует вектор f2 = (2; −1). Т. е. множество собственных векторов, отвечающих собственному значению λ = −12 , имеет вид (2c2; −c2) = c2(2a − b), ãäå c2 6= 0.

Характеристический многочлен fϕ(λ) оператора ϕ в конечномерном пространстве V аннулирует матрицу A этого оператора в произвольном базисе, т. е. fϕ(A) = O (теорема Гамильтона Кэли). Коэффициенты многочлена