АиГ2015-2016 / Методические пособия / АиГ_2_Лиманский

щий собственному значению 1. В ортонормированном базисе пространства

41

некоторой оси (оси вращения), проходящей через начало координат. Направление оси вращения задает собственный единичный вектор v оператора, отвечаю-

R3,

		1	0	0
первый вектор которого есть v, матрица оператора имеет вид		0	cos α − sin α .
Несобственный ортогональный оператор в Rn является		0	sin α
				cos α

произведением со-

бственного ортогонального оператора и оператора зеркальной симметрии относительно (n − 1)-мерного подпространства. Матрица последнего оператора в некотором ортонормированном базисе диагональная матрица, получающаяся из единичной заменой одной из единиц на (−1).

			Пример 3. Ортогональный оператор																																		ϕ задан в стандартном базисе ма-
																							√
трицей C = 41												1						3								. Покажите, что он является собственным,
																						√6
												3						1				−		6
найдите ось												√						√
																							2
													6					−		6
								вращения и угол поворота.
			Оператор ϕ собственный, поскольку																																							det C = 1. Найдем характери-
стический многочлен f(λ) = −λ3 + p1λ2 + p2λ + p3																																																оператора ϕ. Имеем:
										4				4				2																	−		4 4													6													6			1			!
																																																								1
																																						3				1				−				3						√6						3				√6
																																																		4						2						4				2
p = tr C =										3		+		3 + 1								= 2, p =																4 4						+						4						4 + 4										− 4						=
1		1		3		3																							2									1				3								√							3						2
																																																														√
		2 +		4 + 4					=					2		,		p3 = det C = 1																. Значит,																																					1 =
−																																											f(λ) = −λ + 2λ − 2λ +
		λ)(λ			2							−. Один из его корней - собственное																																												значение													.
(1						−	λ + 1)																																																											λ = 1
	−
			Далее, найдем единичный собственный вектор v, отвечающий собстве-
																																																					√																√
																																						1						1											6
нному значению λ = 1. Имеем C																													−			E =																															0			0			1
																																						4						4						4
																																							√6					−√6						1													1			−1			6
																																						−4						4							− 4
																																						1						1								√6																				.
																																											−								−2												0			0			0			. Â
ФСР однородной системы																																						4							4
																						Ker(											) =					образует вектор
																											−																																		1
																									C						E					0							√2 ;				√2 ; 0													f		=				(1; 1; 0)
направление оси вращения.
																																= |f1|					=
качестве v можно взять вектор v																																			f1									1		1				, который указывает
			Найдем теперь угол поворота α. Характеристический многочлен g(λ)
канонической матрицы																			0				cos α							− sin α оператора ϕ имеет вид g(λ) =
																						1	0										0
=		0			cos α − λ														0				sin α								cos α
																	− sin α						= (1								λ)(λ2						2λ cos α + 1). Òàê êàê f(λ) = g(λ),
		1 − λ						0										0										−								−
		0				sin α									cos α					−		λ
òî		2 cos α = 1							, откуда														±		π																		зависит от выбора положите-
																			α =						3 . Çíàê óãëà α
льного				направления на оси																				вращения.

42

Индивидуальное задание

Задача 1. В евклидовом пространстве R2 со стандартным скалярным про- изведением задан оператор ϕ. Найдите матрицу оператора ϕ в базисе f1, f2.

			ϕ				f1		f2
1	ϕf1 = 3f1 + 5f2			ϕf2 = −2f1 − 4f2			(1;	0)	(1;	1)
2	ϕf1 = 3f1 + 2f2			ϕf2 = 4f1		+ 5f2	(1;	1)	(0;	1)
3	ϕf1 = 4f1 + 7f2			ϕf2 = 3f1		+ 5f2	(1;	1)	(1;	0)
4	ϕf1 = 7f1 + 2f2			ϕf2 = 3f1		+ f2	(0;	1)	(1;	1)
5	ϕf1 = 2f1 + 4f2			ϕf2 = −3f1 − 6f2			(2;	3)	(−1; −2)
6	ϕf1 = 9f1 + 6f2			ϕf2 = −6f1 − 4f2			(2; −1)		(3; −2)
7	ϕf1 = f1 + 3f2			ϕf2 = −2f1 − 4f2			(−2; −1)		(3; 2)
8	ϕf1 = 4f1 + 5f2			ϕf2 = −f1 − 2f2			(−2; 3)		(−1; 2)
9	ϕf1	= 2f1 + 3f2		ϕf2 = −f1 − 2f2			(0; −1)		(1; 2)
10	ϕf1	= −7f1 + 5f2		ϕf2	= 3f1	− 2f2	(2; −1)		(1; 0)
11	ϕf1	= 3f1 + 5f2		ϕf2	= 4f1	+ 7f2	(0; 1)		(−1; 2)
12	ϕf1	= f1 + 3f2		ϕf2	= 2f1	+ 4f2	(2; 1)		(−1; 0)

		Задача 2. Пусть ϕ оператор дифференцирования в пространстве много-
членов над R степени 6 2 со скалярным произведением (f, g) =								1	f(x)g(x) dx.
Найдите матрицу оператора ϕ в базисе e1, e2, e3.								R−1
		e1, e2, e3		e1, e2, e3		e1, e2, e3			e1, e2, e3
	1	1, x, x2	4	1, x, 1−x+x2	7	1, x2 −x, x2 +x	10	1+x, x, x2
	2	1, 1+x2, x	5	1, 1+x, x2 −1	8	1, 1+x2, 1+x+x2	11		x2, x, 1
	3	1, 1+x, x2	6	1+x, x, 1−x2	9	1, 1−x, 1+x−x2	12	1, x, 23 x2 −21

Задача 3. Ортогональный оператор ϕ задан в стандартном базисе матри-

öåé C. Покажите, что он является собственным, найдите ось вращения и угол поворота.

				C										C										C															C
1	3		2 2 1				4	3					2 1				2		7	3		2				1 2		10		2 1										1				√		2
																																												√
	1	2		−1 2				1			2 2					−1				1	−1				2 2					1		1							−1						2
		−		−							−					−								−															−					−
		1		2 2									1 2 2									2			2		1				√								√			0
																																		2						2
2	3			− −			5			−				−1					8	3		2					−	11	2			1							1						√
		2		2 1				3 −2									2								−1 2																			√2
		2 1			−2						2			−2			1				−2				−2 1						1								1					−			2
	1		1	−2 2				1				1			2		2			1			1 2 2						1	√									√				0
																																	2								2
3	3	−	− −				6		−					−		−			9	3	−							12				1					−			1					√
		2 2			1			3		2 1							2				2				1 2				2															−	√2
	1	2		−1 2				1		2				−2 1						1	2 2						−1		1			1								1							2
			1 2		−2					1 2						−2					1			−2			2					−√2							√−2					−0
		−																						−			−			−

43

Литература по теории

[1: ãë. 5, 5,7,9], [2: ãë. 2, 11-17]

Номера практических заданий

[6: 1540-1633]

Вопросы для самопроверки

1)Пусть оператор ϕ действует в одномерном евклидовом пространстве. Каков сопряженный к нему оператор ϕ ?

2)Пусть ранг оператора ϕ равен r. Чему равен ранг оператора ϕ ?

3)Известно, что ϕ = ψ . Следует ли из этого, что ϕ = ψ?

4)Верно ли, что ϕϕ самосопряженный оператор?

5)Верно ли, что если операторы ϕ è ψ коммутируют, то коммутируют и операторы ϕ è ψ ?

6)Верно ли, что сумма самосопряженных операторов самосопряженный оператор?

7)Тот же вопрос для ортогональных операторов.

8)Верно ли, что произведение самосопряженных операторов самосопряженный оператор?

9)Тот же вопрос для ортогональных операторов.

10)Укажите все ортогональные операторы в пространстве R1.

11)Укажите все ортогональные операторы в пространстве R2.

12)Может ли оператор проектирования быть ортогональным?

Дополнительные задачи

1)Чему равен оператор, сопряженный к оператору поворота Tα íà óãîë α â пространстве R2 со стандартным скалярным произведением?

2)Докажите, что если подпространство U евклидова пространства инвариантно относительно линейного оператора ϕ, то ортогональное дополнение U инвариантно относительно сопряженного оператора ϕ .

3)Пусть ϕ линейный оператор в конечномерном евклидовом пространс-

тве. Докажите, что:

à) Ker ϕ = (Im ϕ) ;	á)
â) Ker ϕ ϕ = Ker ϕ;	ã)

Im ϕ = (Ker ϕ) ;

Im ϕ ϕ = Im ϕ .

B = A .

44

4)Докажите, что если ϕ самосопряженный, а ψ унитарный оператор, то оператор ψ−1ϕψ существует и унитарен.

5)Докажите, что для ортогональности оператора ϕ в вещественном евклидовом пространстве V необходимо и достаточно выполнения каждого из

следующих условий:

à) |ϕx| = |x| äëÿ âñåõ x V ;

á) (ϕx, ϕy) = (x, y) äëÿ âñåõ x, y V ;

â) (ϕei, ϕej) = δij, åñëè e1, . . . , en ортонормированный базис V .

6) Докажите, что если ϕ самосопряженный оператор, то оператор (ϕ − iE)−1(ϕ + iE) существует и является унитарным.

7)Пусть ϕ унитарный оператор. Докажите, что если оператор ϕ − E обратим, то оператор i(ϕ − E)−1(ϕ + E) самосопряженный.

8)Докажите, что если ϕ, ψ самосопряженные операторы в конечномерном евклидовом пространстве V è (ϕx, x)=(ψx, x) для любого x V , òî ϕ=ψ.

9)Пусть ϕ оператор дифференцирования в пространстве тригономет-

рических многочленов a0 + a1 cos x + b1 sin x + · ·π· + an cos nx + bn sin nx
сопряженный оператор ϕ .	R−π	f(x)g(x) dx. Найдите
íàä R со скалярным произведением (f, g) =

10) Пусть ϕ оператор в евклидовом пространстве, A матрица оператора ϕ в базисе e1, . . . , en, à B матрица оператора ϕ во взаимном базисе f1, . . . , fn (см. задачу 3 гл. II). Докажите, что

11)Пусть e1, . . . , en базис евклидова пространства, U матрица Грама векторов e1, . . . , en. Докажите, что матрица A оператора ϕ в базисе e1, . . . , en и матрица B оператора ϕ в том же базисе связаны соотношением

B = U−1A U.

12)Оператор ϕ : V → V называется положительно определенным, åñëè

(ϕx, x) > 0 äëÿ âñåõ x V \ {0}.

а) Докажите, что положительно определенный оператор самосопряжен. б) Докажите, что все коэффициенты характеристического многочлена положительно определенного оператора отличны от нуля и имеют чере-

дующиеся знаки.

45

VI. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Понятия:

1)линейная форма;

2)билинейная форма, ее матрица;

3)симметрическая билинейная форма;

4)квадратичная форма, ее матрица;

5)ранг билинейной и квадратичной формы;

6)канонический вид квадратичной формы;

7)положительно и отрицательно определенная квадратичная форма.

Факты:

1)преобразование коэффициентов линейной формы при замене базиса;

2)преобразование матрицы билинейной и квадратичной форм при замене базиса;

3)взаимно однозначное соответствие между билинейными формами и линейными операторами в евклидовом пространстве;

4)поляризация квадратичной формы;

5)независимость ранга билинейной и квадратичной форм от базиса;

6)методы приведения квадратичной формы к каноническому виду (метод Лагранжа, метод ортогонального преобразования);

7)закон инерции;

8)критерий Сильвестра.

Пусть V линейное пространство над R 1. Линейной формой, èëè линейным функционалом в пространстве V называется функция F (·) одного векторного аргумента, принимающая значения в поле R и удовлетворяющая условиям:

1) F (v + w) = F (v) + F (w); 2) F (λv) = λF (v).

Здесь v, w V ,

λ R.

kn=1 xkek,

Åñëè e1, . . . , en базис конечномерного пространства V , x =

F (x) =

P

k=1 akxk

ak = F (ek) k {1, . . . , n}

f1, . . . , fnP

òî

P

, ãäå

,

. Åñëè

другой

базис V , x =

n

x f

è F x

n

b x

b

n

c a , ãäå C

c

матрица

P

P

перехода от первого базиса ко второму.

Билинейной формой в пространстве V называется функция двух вектор-

ных аргументов, принимающая значения в поле R, которая при фиксировании одного из аргументов является линейной формой от другого аргумента.

1В этом разделе будут изложены сведения лишь для случая вещественного линейного пространства. Случай комплексного линейного пространства совершенно аналогичен (см. [1,2]).

46

Примеры билинейных форм:

1) V = Rn;

A(x, y) =

)P

n

n

x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn);

j=1

k=1 xjyk;

(

=

[

]

A(

a Pa

(

)

)

(

)

[

] ×

[

]

2) V

C

a, b

;

f, g

=

b

R

b K

x, y

f

x

g

y

; K

C

a, b

C

a, b

.

В конечномерном

R

V

e1

, . . . , en

билинейная форма

A

пространстве

с базисом

=

i=1 yiei

aij

= A(ei, ej)

n

n

ij)n×n

n

P P= (

P

может быть представлена в виде A(x, y) =

i=1

j=1 aijxiyj, ãäå x =

i=1 xiei,

n

A

e1

, . . . , en. Ее ранг не зависит от выбора

y

P

, причем

. Матрица A

a

называется мат-

рицей билинейной формы

в базисе

базиса и называется рангом билинейной формы A. Åñëè X è Y одностолб-

цовые матрицы координат векторов x è y соответственно в базисе e1, . . . , en, òî

A(x, y) = XT AY .

Если A и B матрицы билинейной формы A в базисах e1, . . . , en è f1, . . . , fn соответственно, C матрица перехода от первого базиса ко второму,

òî B = CT AC.

В конечномерном евклидовом пространстве V каждой билинейной форме A соответствует однозначно определенный линейный оператор ϕ : V → V ,

такой, что A(x, y) = (ϕx, y) äëÿ âñåõ x, y V . При этом матрица оператора ϕ â

ортонормированном базисе является транспонированной к матрице билинейной формы в том же базисе.

Билинейная форма A называется симметрической, åñëè A(x, y) = A(y, x)

для любых x, y V . Примером симметрической билинейной формы служит

скалярное произведение в евклидовом пространстве. Матрица симметрической билинейной формы симметрическая в любом базисе.

Пример 1. Билинейная форма B в пространстве R2 с базисом e1, e2 çà-

дана соотношениями B(2e1 + e2, e2) = 1, B(e1 − e2, e1 + e2) = 2, B(e1 + 2e2, e1 − e2) = −5, B(e1, 3e1 + e2) = 3.

а) Найдите		матрицу	билинейной	формы B â	базисе e1, e2.
á)	Вычислите значение B(f1, f2), ãäå f1 =3e1 +e2, f2 =e1 −2e2.
â)	Найдите	матрицу	билинейной	формы B â	базисе g1 =e1+e2, g2 =−2e1−e2.

а) Согласно свойствам билинейной формы, имеем: B(2e1 + e2, e2) = 2B(e1, e2) + B(e2, e2) = 1, B(e1 − e2, e1 + e2) = B(e1, e1) + B(e1, e2) − B(e2, e1) −

B(e2, e2) = 2, B(e1 + 2e2, e1 − e2) = B(e1, e1) − B(e1, e2) + 2B(e2, e1) − 2B(e2, e2) =

−5, B(e1, 3e1 + e2) = 3B(e1, e1) + B(e1, e2) = 3. Решая полученную систему относительно матричных элементов bij = B(ei, ej), получим b11 = B(e1, e1) = 1, b12 = B(e1, e2) = 0, b21 = B(e2, e1) = −2, b22 = B(e2, e2) = 1. Таким образом, матрица B = (bij)2×2 билинейной формы B в базисе e1, e2 имеет

!

1 0

âèä B = −2 1 .

47

б) Имеем B(f1, f2) = B(3e1 +e2, e1 −2e2) = 3B(e1, e1)−6B(e1, e2)+B(e2, e1)− 2B(e2, e2) = 3b11 − 6b12 + b21 − 2b22 = 3 · 1 − 6 · 0 + 1 · (−2) − 2 · 1 = −1.

в) Матрица перехода от базиса							e1, e2	к базису g1 = e1+e2, g2 =−2e1−
e2 åñòü C =	1		−−1!. Тогда матрица билинейной формы B в базисе g1, g2
	1			2	12 1!		−1!				1!.
åñòü CT BC =			2	11!		1		=		1
		1			0	1	2		0		1
	−			−	−		−		−

Квадратичной формой в пространстве V называется функция одного ве-

кторного аргумента, принимающая значения в поле R, которая получается из симметрической билинейной формы приравниванием ее аргументов. Другими словами, Q квадратичная форма, если для некоторой симметрической били-

нейной формы A выполнено равенство Q(x) = A(x, x) äëÿ âñåõ x V . Симметрическая билинейная форма A однозначно определяется по соответствующей

ей квадратичной форме Q следующим образом: A(x, y)= 12 [Q(x+y)−Q(x)−Q(y)]

(поляризация квадратичной формы).

Матрицей квадратичной формы в некотором базисе называется матрица соответствующей ей симметрической билинейной формы в том же базисе. Эта матрица симметрическая в любом базисе и преобразуется при замене базиса точно так же, как и матрица билинейной формы. Ранг матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса и называется рангом квадратичной формы.

Åñëè A = (aij)n×n матрица квадратичной формы Q в базисе e1, . . . , en

конечномерного пространства V , то квадратичная форма Q в соответствующих координатах может быть представлена в виде однородного многочлена второй

степени, т. е. в виде Q(x) =			n	n	n
			i=1	j=1 aijxixj, ãäå x =	i=1 xiei. Квадратичная
форма	в базисе		имеет канонический вид, если ее матрица в этом
Q
		e1, . . . , enP P			P

базисе диагональна, т. е. если в координатах x1, . . . , xn, соответствующих этому

базису, квадратичная форма Q записывается в виде Q(x) =	in=1 λixi2.
Число положительных и отрицательных	P

коэффициентов в канонической записи квадратичной формы не зависит от выбора базиса (закон инерции). При этом общее число ненулевых коэффициентов равно рангу квадратичной формы.

Привести квадратичную форму, заданную в некотором базисе, к канони- ческому виду значит указать невырожденную замену исходных координат, после выполнения которой квадратичная форма в новых координатах будет иметь канонический вид, и найти коэффициенты при квадратах переменных в каноническом виде. Всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду, но канонический базис и канонические координаты определены неоднозначно.

48

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду аналогичен школьному методу "выделения полных квадратов" при преобразовании многочлена от нескольких переменных.

Пример 2. Методом Лагранжа приведите к каноническому виду данные квадратичные формы, заданные в стандартном базисе пространства R3, è

найдите канонические базисы:

à) Q(x) = x21 + 4x23 + 4x1x2 − 2x1x3; á) Q(x) = 2x1x2 + 2x1x3;

â) Q(x) = x21 + 4x22 + x23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 10x2x3.

а) Выберем координату x1, квадрат которой входит в запись квадратичной формы Q с ненулевым коэффициентом, и дополним члены, содержа-

ùèå x1, до полного квадрата. Имеем Q(x) = (x21 + 4x1x2 − 2x1x3 + 4x22 + x23 −

4x2x3) − 4x22 − x23 + 4x2x3 + 4x23 = (x1 + 2x2 − x3)2 − 4x22 + 4x2x3 + 3x23. Поступая

аналогично с координатой x2, получим Q(x) = (x1 +2x2 −x3)2 −(4x22 −4x2x3 +

x23)+x23 +3x23 = (x1 +2x2 −x3)2 −(2x2 −x3)2 +4x23. Обозначая y1 = x1 +2x2 −x3,

y2 = 2x2 − x3, y3 = x3, получим в координатах y1, y2, y3 канонический вид Q(y) = y12 − y22 + 4y32. Выражая теперь исходные координаты x1, x2, x3 через канонические y1, y2, y3, получим искомое невырожденное преобразование ко-

ординат x1	= y1 − y2, x2			= 21 y2 + 21 y3, x3			= y3, или в векторном виде X =
CY , ãäå X =		x2	, Y =		y2	, C =	0	2	2
		x1			y1		1	−1	0
								1	1		. Поскольку исходный
базис -								0	1		f1, f2, f3 - ñòîë-
		x3			y3		0

стандартный, то векторы канонического базиса

бцы матрицы C, ò. å. f1 = (1; 0; 0), f2 = (−1; 12 ; 0), f3 = (0; 12 ; 1).

б) Квадратичная форма Q не содержит квадратов переменных. Поэтому

выполним вспомогательную невырожденную подстановку x1 = y1 + y2, x2 = y1−y2, x3 = y3. Тогда Q(x) = 2(y1+y2)(y1−y2)+2(y1+y2)y3 = 2y12−2y22+2y1y3+ 2y2y3 = Q(y). Выражение для Q(y) уже содержит квадраты, например, y12.

Как и в п. а), сначала дополним члены, содержащие y1, до полного квад-

рата, а затем аналогично поступим с координатой					y2. Имеем Q(y) = 2(y12+
2		2			2
y1y3 +	y3	) −	y3	+ 2y2y3 − 2y22 = 2 y1 + y23 2 − 2y22 + 2y2y3 −		y3	= 2 y1 + y23 2 −
	4		2			2

2

y32

y3

2

y3

2

y3

y2

−

2 ,

z3

z1, z2, z3

Q(z) =

= y3,

2

y2

− y2y3

+ 4

= 2 y1 + 2

− 2 y2 −

2

. Обозначая z1 = y1 +

2 , z2

=

y3

получим в координатах

канонический вид

2z12−2z22

. Выражая вспомогательные переменные y1, y2, y3 через канонические

z1, z2

, z3

и подставляя полученные выражения в равенства, связывающие

x1, x2, x3 è y1, y2, y3, получим искомое невырожденное преобразование координат x1 = z1 +z2, x2 = z1 −z2 −z3, x3 = z3. В векторном виде: X = CZ, ãäå

		x2	, Z =	z2	, C =		1	−1				49
X =										−1 . Векторы канонического базиса
		x1		z1			1	1		0
-				:					,		,	.
		x3		z3			0	0		1
	столбцы матрицы					= (1; 1; 0)				f2 = (1; −1; 0)		f3 = (0; −1; 1)
				C f1

в) Дополним до полного квадрата все слагаемые, входящие в Q(x) è

содержащие переменную x1. Имеем Q(x) = (x21 + 4x1x2 + 2x1x3 + 4x22 + x23 +

4x2x3)−4x22 −x23 −4x2x3 +4x22 +x23 +10x2x3 = (x1 +2x2 +x3)2 +6x2x3. Слагаемые,

не вошедшие в первый квадрат, не содержат x22 è x23, поэтому выполним вспомогательную невырожденную подстановку x1 = y1, x2 = y2 + y3, x3 = y2 − y3. Имеем Q(x) = (x1 + 2x2 + x3)2 + 6x2x3 = (y1 + 2(y2 + y3) + (y2 − y3))2 + 6(y2 + y3)(y2 − y3) = (y1 + 3y2 + y3)2 + 6y22 − 6y32. Обозначив z1 = y1 + 3y2 + y3, z2 = y2, z3 = y3, получим канонический вид квадратичной формы Q(z) = z12 +6z22 −6z32. Выражая теперь исходные переменные x1, x2, x3 через канони- ческие z1, z2, z3, получим искомое преобразование координат x1 = z1 −3z2 −

z3, x2 = z2 + z3, x3 = z2 − z3, или в векторном виде X = CZ, ãäå

X =

x2

, Z =

z2

, C =

0

1

1

. Векторы канонического базиса

x1

z1

1

−3

−1

-

:

,

−1

,

.

x3

z3

0

1

столбцы матрицы

f1 = (1; 0; 0)

f2 = (−3; 1; 1)

f3 = (−1; 1; −1)

C

Если квадратичная форма Q задана в евклидовом конечномерном прост-

ранстве V , то Q(x) = (ϕx, x) для всех x V , где ϕ : V → V самосопряженный оператор, имеющий в ортонормированном базисе ту же матрицу, что и квадратичная форма Q. Если выбрать ортонормированный базис, состоящий из собст-

венных векторов e1, . . . , en оператора ϕ, отвечающих его собственным значениям

λ1, . . . , λn соответственно (с учетом их кратности), то в координатах x1, . . . , xn, соответствующих этому базису, квадратичная форма запишется в каноническом

âèäå Q(x) = Pn λix2

i=1 i . Этот метод приведения квадратичной формы к канони-

ческому виду называется методом ортогонального преобразования.

Пример 3. Методом ортогонального преобразования приведите к каноническому виду квадратичную форму Q(x) = 7x21 + x22 + x23 + 8x1x2 + 8x1x3 − 16x2x3, заданную в стандартном базисе пространства R3, и найдите кано-

нический базис.

Найдем собственные значения и собственные векторы оператора ϕ = ϕ , соответствующего квадратичной форме Q. Его матрица в стандартном базисе совпадает с матрицей квадратичной формы в том же базисе и равна

A =	4	1	−8 . Имеем det(A		λE) =	4	1 − λ			−8		= 0;	λ3 +9λ2 +
	7	4	4	−		7 − λ	4			4			−
	4	8	1			4	−	8	1	−	λ
		−

81λ−729 = 0. Собственные значения оператора (с учетом кратности): λ1 =

50

λ2 = 9, λ3 = −9. Далее, решая соответствующие однородные системы с матрицами A − λiE, найдем, что собственному значению λ = 9 отвечают два линейно независимых собственных вектора f1 = (2; 1; 0) è f2 = (2; 0; 1), а собственному значению λ = −9 - один линейно независимый собственный вектор f3 = (−1; 2; 2). Ортогонализуем и нормируем векторы f1, f2, f3. Âåê- òîðû f1 è f2 ортогональны f3 как векторы, относящиеся к различным собственным значениям. Поэтому достаточно ортогонализовать лишь первые два

вектора f , f . Имеем: f0

= f

= (2; 1; 0);

f0 = f

+ cf0

c =

(f2,f

0 )

=

4

,

1

−(f10 ,f10 )

−5 ;

f0 = f

1 2

1

1

2 ;

2

2

1

4 f0 = (2; 0; 1)

4 (2; 1; 0) =

4 ; 1 . Нормируя векторы f0 , f0 , f ,

2 − 5 1

− 5

2

5 −5

1 2

3

получим ортонормированный базис в R3, состоящий из собственных векто-

−3 ; 3 ; 3

. Таким образом,

Q

f

0

2

1

f0

2

4

f

3

1

2

ров оператора ϕ: g1 =

|f10 |

=

√

5

;

√

5

; 0 , g2 =

|f20 |

=

5 ; −5

; 1 , g3

=

|f3|

=

1

2

2

( ) = 9

1 + 9

2 − 9

3.

1 2 3

квадратичная форма

в каноническом базисе

g , g , g

имеет канонический вид Q y

y2

y2

y2

Квадратичная форма Q называется положительно (отрицательно) оп-

ределенной, åñëè Q(x) > 0 (Q(x) < 0) äëÿ âñåõ x V \ {0}. В каноническом

виде положительно (отрицательно) определенной квадратичной формы все коэффициенты положительны (отрицательны).

Квадратичная форма положительно определена в точности тогда, когда все угловые миноры ее матрицы в некотором базисе положительны (критерий Сильвестра), и отрицательно определена в точности тогда, когда знаки угловых миноров ее матрицы в некотором базисе чередуются с возрастанием порядка миноров, начиная со знака "минус"2.

Пример 4. Найдите все значения параметра λ, при каждом из которых квадратичная форма, заданная в стандартном базисе пространства R3:

à) Q(x) = x21 + λx22 + λx23 + 4x1x2 + 4x2x3 положительно определена; á) Q(x) = −x21 − 2x22 + λx23 + 2λx1x2 отрицательно определена.

а) Матрица квадратичной формы Q в стандартном базисе имеет вид

	1	2	0		. Найдем угловые миноры матрицы A: 1	= 1, 2	=	2		λ		=
A = 2		λ	2
	0	2	λ						1	2
			1		2 0

λ −4, 3 = 2 λ 2 = λ2 −4λ −4. Согласно критерию Сильвестра, искомая

0 2 λ

совокупность значений λ является множеством решений системы неравенств

a11 . . . a1k

2Угловыми минорами матрицы (aij )n×n называются миноры k= . . . . . . . . . . . .	, k {1,. . ., n}.

ak1 . . . akk