АиГ2015-2016 / Методические пособия / АиГ_2_Лиманский
.pdf81
32.Сформулируйте определение линейного оператора. Докажите, что значе- ния оператора на базисных векторах однозначно определяют сам оператор. Сформулируйте понятия нулевого, тождественного операторов, суммы, произведения операторов (между собой и на элементы поля).
33.Опишите алгоритм построения матрицы линейного оператора в данном базисе. Сформулируйте и докажите свойства матрицы оператора. Выведите формулу действия оператора на вектор в матричном виде.
34.Сформулируйте понятие алгебры линейных операторов в конечномерном линейном пространстве. Покажите ее связь с алгеброй матриц.
35.Сформулируйте определения ядра и образа линейного оператора. Докажите, что ядро и образ линейные подпространства. Сформулируйте и докажите теорему о связи размерностей ядра и образа.
36.Покажите, как преобразуется матрица линейного оператора при замене базиса. Сформулируйте определение обратного оператора. Сформулируйте и докажите критерии существования оператора, обратного данному, в конечномерном линейном пространстве.
37.Сформулируйте определения инвариантного подпространства линейного оператора. Докажите, что ядро и образ инвариантные подпространства. Сформулируйте определения собственного значения и собственного вектора линейного оператора.
38.Докажите, что линейный оператор в комплексном линейном пространстве имеет собственный вектор.
39.Докажите, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям оператора, линейно независимы.
40.Сформулируйте определение характеристического многочлена оператора. Опишите алгоритм вычисления собственных значений и собственных векторов линейного оператора в конечномерном случае.
41.Сформулируйте и докажите свойства характеристического многочлена линейного оператора. Покажите, как можно вычислить характеристиче- ский многочлен непосредственно по матрице оператора.
42.Выведите формулу для матричных элементов оператора в евклидовом пространстве.
43.Сформулируйте понятие жордановой нормальной формы линейного оператора и жорданового базиса. Сформулируйте теорему существования и единственности жордановой формы над полем C.
44.Сформулируйте определение оператора, сопряженного к данному. Выведите формулу для матричных элементов сопряженного оператора в ортонормированном базисе. Сформулируйте определение самосопряженного оператора, сформулируйте и докажите свойства его матрицы.
82
45.Докажите, что корни характеристического многочлена самосопряженного оператора вещественны. Докажите, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям самосопряженного оператора, ортогональны.
46.Докажите спектральную теорему для самосопряженных операторов.
47.Сформулируйте различные определения ортогонального оператора, докажите их эквивалентность. Сформулируйте и докажите свойства ортогональной матрицы и ее определителя.
48.Сформулируйте и докажите свойства собственных значений и собственных векторов ортогонального оператора.
49.Сформулируйте и докажите свойства ортогональных операторов и их матриц в двумерном и трехмерном пространствах.
50.Сформулируйте определение билинейной формы, ее матрицы. Выведите формулу для вычисления значения билинейной формы в матричном виде.
51.Выведите формулу преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса.
52.Сформулируйте определение квадратичной формы. Докажите взаимно однозначное соответствие между квадратичными и симметрическими билинейными формами.
53.Сформулируйте определение канонического вида квадратичной формы. Опишите суть метода Лагранжа на различных примерах.
54.Опишите и обоснуйте метод приведения квадратичной формы к канони- ческому виду ортогональным преобразованием.
55.Сформулируйте и докажите критерий Сильвестра.
56.Сформулируйте и докажите закон инерции квадратичных форм.
57.Сформулируйте определение кривой и поверхности второго порядка. Опишите основные виды кривых и поверхностей второго порядка и приведите их канонические уравнения.
58.Опишите алгоритмы приведения уравнений кривых второго порядка к каноническому виду на различных примерах.
59.Опишите алгоритмы приведения уравнений поверхностей второго порядка к каноническому виду на различных примерах.
60.Опишите инварианты кривых и поверхностей второго порядка, поясните их смысл. Покажите, как по инвариантам можно установить виды и выписать канонические уравнения кривых и поверхностей второго порядка.
83
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1978. - 304 с.
2.Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. - 320 с.
3.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1975. - 432 с.
4.Винберг Э.Б. Курс алгебры. - М.: Факториал Пресс, 2001. - 544 с.
5.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.: Наука, 1977. - 288 с.
6.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1984. - 336 с.
7.Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. - М.: Наука, 1975. - 319 с.
8.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1981.
9.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1964. - 256 с.
10.Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1970. - 337 с.
11.Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1964. - 440 с.
Навчальне видання
Алгебра та геометрiя (лiнiйна алгебра та аналiтична геометрiя) (росiйською мовою)
Лиманський Володимир Васильович, Лиманський Дмитро Володимирович
Редактор Д.В. Лиманський