АиГ2015-2016 / Методические пособия / АиГ_2_Лиманский

71

17. Подпространством линейного пространства обязательно является:

A пересечение подпространств

B теоретико-множественная разность подпространств

C теоретико-множественное дополнение к подпространству

D сумма подпространства с фиксированным вектором пространства 18. Размерность суммы двух подпространств линейного пространства равна:

A сумме размерностей слагаемых

B наибольшей из размерностей слагаемых

C размерности пересечения подпространств

D сумме размерностей слагаемых без размерности их пересечения

19. Размерность суммы двух подпространств линейного пространства равна сумме размерностей слагаемых, если:

A одно из слагаемых является подмножеством другого

B слагаемые имеют различную размерность

C пересечение слагаемых нулевое

D слагаемые имеют одинаковую размерность

20. Система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда:

A каждый из векторов является линейной комбинацией остальных B хотя бы один из векторов линейная комбинация остальных

C система содержит пропорциональные векторы D система не содержит нулевого вектора

21. Система из n векторов линейно независима тогда и только тогда, когда:

Aвсе векторы различны

Bсреди векторов нет пропорциональных

Cлинейная комбинация векторов не может быть равна нулю

Dнетривиальная линейная комбинация векторов не может равняться 0

22.Векторы a1, . . . , an образуют базис линейного пространства, если:

A они линейно независимы

B каждый вектор пространства является линейной комбинацией данных

C линейная оболочка данных векторов содержит данное пространство

Dони линейно независимы, и через них линейно выражаются все векторы

23.Размерность линейного пространства равна:

Aколичеству векторов пространства

B количеству векторов в произвольной линейно независимой подсистеме

C количеству векторов в максимальной линейно независимой подсистеме

Dчислу, отличному от приведенных выше

72

24.

Произвольное ненулевое линейное пространство над полем R:

A

имеет бесконечное число векторов

B

конечномерно

C

имеет бесконечное число подпространств

D

бесконечномерно

25.

Среди приведенных линейных пространств бесконечномерным является:

A

пространство многочленов над R

B

пространство Rn

C

пространство (m × n) матриц над R

D

пространство C íàä R

26.

Пусть U è W подпространства линейного пространства V . Тогда под-

пространством не является:

A

U ∩ W

B

U + W

C

U + V

D

V \ U

27.

Количество подпространств одномерного линейного пространства равно:

A

0

B

1

C

2

D

∞

28.

Размерность суммы двух одномерных подпространств трехмерного про-

странства может равняться:

A

2

B

3

C

4

D

∞

29.

Линейное пространство всех вещественных многочленов степени 6 3 ÿâ-

ляется прямой суммой подпространств:

A

четных и нечетных многочленов

B

многочленов без свободного члена и многочленов степени 6 2

C

многочленов степени 6 2 и четных многочленов

D

многочленов степени 6 2 и многочленов степени 6 3

30.

Одна из систем векторов линейно выражается через другую. Тогда их

ранги r1 è r2 связаны соотношением:

A r1 > r2 B r1 > r2 C r1 < r2 D r1 6 r2

31.Линейным пространством над R относительно операций сложения и умножения на элементы из R не является множество многочленов с коэффициентами из R, для которых:

A f(0) = 0 B f(0) 6 1 C 2f(0) = 0 D xf0(0) = 0

32.Вектор a = (1; 1) можно представить в виде линейной комбинации векторов b1 = (2; −3) è b2 = (−6; 9) следующим количеством способов:

A 0 B 1 C 2 D ∞

73

33.

Подпространство линейного пространства (n×n) матриц над R образуют:

A

скалярные матрицы

B

матрицы с неотрицательными элементами

C

вырожденные матрицы

D

матрицы с ненулевым определителем

34.

Сумма трех подпространств линейного пространства прямая, если:

A

пересечение всех подпространств нулевое

B

попарные пересечения подпространств нулевые

C

каждое из подпространств не содержится в другом

D

пересечение каждого из подпространств с суммой остальных нулевое

35.

Следующая система многочленов является базисом линейного простран-

ства многочленов над R степени 6 2:

A

x2+x, x+1, 1

B

x2−x, x−1, −x2+1

C

1, x, x2, x3

D

x2+1, x2−1, 1

36.

Если пространство V линейная оболочка векторов a1, . . . , an, òî:

A

dim V = n

B

dim V > n

C

dim V < n

D

другой ответ

37.Линейное пространство многочленов над R степени 6 2 не является прямой суммой подпространств (далее L линейная оболочка):

A

L(1), L(x), L(x2)

B

L(1, x), L(x2)

C

L(1 + x2, x), L(x)

D

L(1, x2), L(x2)

Евклидовы пространства

38.

Åñëè (x, y) скалярное произведение в вещественном линейном прост-

ранстве, то скалярным произведением также является hx, yi, ãäå:

A

hx, yi=−(x, y)

B

hx, yi=(x, y)2

C

h

x, y

i

=2(x, y)

D

h

x, y

i

=(x, y)−1

39.

В линейном пространстве R3 скалярное произведение задается:

A

однозначно

B

конечным числом способов

C

бесконечным числом способов

D

ответ отличен от приведенных

40.

Пусть x = (x1, x2), y = (y1, y2) произвольные векторы пространства R2.

Скалярное произведение (x, y) â R2 можно определить по формуле:

A x1 + y2 B x1 + y1 + x2 + y2 C x1y1 + x2y2 D 2x1y1 − 2x2y2

41.Пусть e1, e2 ортонормированный базис евклидова пространства R2. Проекцией вектора e1 на линейную оболочку вектора e1 + e2 является:

A	e1 + e2	B	1	(e1 + e2)	C	e1	D	e2
			2

74

42.

В евклидовом пространстве каждая ортонормированная система:

A

является базисом пространства

B

линейно независима

C

может быть линейно зависимой

D

всегда линейно зависима

43.

Если векторы a è b имеют длину 4, то их скалярное произведение не

может быть равно:

A

4

B

16

C

18

D

−8

44.

Скалярное произведение векторов v = (x1, x2) è w = (y1, y2) пространства

R2 не может быть вычислено по формуле:

A

x1y1 + x2y2

B

x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2

C

x1y1 + 2x2y2

D

2x1y1 + x2y2

45.

Векторы a è b евклидового пространства ортогональны тогда и только

тогда, когда:

A

b = 0

B

|a| = |b| = 0

C

(a, b) = 0

D

a = 0

46.

Если в евклидовом пространстве (a, b) = 0, òî:

A a b B a = 0 C a = 0 èëè b = 0 D a = b = 0

47. Если в евклидовом пространстве существуют векторы a, b, c такие, что

(a, c) = (b, c), òî:

A a b B a = b C a = b = 0 D c (a − b)

Линейные операторы и их матрицы

48.

Матрицы A è B одного и того же оператора в различных базисах:

A

подобны

B

транспонированы одна к другой

C

взаимно обратны

D

не связаны определенным соотношением

49.

В пространстве R2 действует оператор симметрии относительно оси Ox.

Его матрицей в базисе e1 = (1; 0), e2 = (0; 1) является:

A

0

1!

B

0

1!

C

0

1!

D

0

1!

−1

0

1

0

−1

0

1

1

−

−

−

50.

Линейный оператор все базисные векторы

e1, e2, e3

переводит в вектор

e1 + e2 + e3. Размерность ядра оператора равна:

A

0

B

1

C

2

D

3

75

51. В фиксированном базисе двум различным линейным операторам:

A отвечают две различные матрицы

B могут отвечать одинаковые матрицы

C могут отвечать различные, а могут и одинаковые

D ответ зависит от базиса

52. Ядро линейного оператора ϕ составляют векторы, которые:

A	переводятся оператором ϕ в единичный вектор
B	переводятся оператором ϕ в нулевой вектор
C	не являются собственными
D	могут переводиться оператором ϕ произвольно

53.Пусть ϕ линейный оператор в двумерном пространстве. Размерность ядра оператора ϕ не может равняться:

A

3

B

2

C

1

D

0

54.

Ядром оператора дифференцирования в линейном пространстве всех ве-

щественных многочленов степени 6 n являются:

A

íóëü

B

все вещественные числа

C

все многочлены степени n

D

все многочлены степени < n

55.

Линейный оператор переводит векторы a1, a2 в векторы b1, b2 соответст-

венно. Выберите верное утверждение:

A

åñëè a1, a2 линейно независимы, то и b1, b2 линейно независимы

B

если ранг системы a1, a2 равен 2, то и ранг системы b1, b2 равен 2

C

åñëè a1, a2 линейно зависимы, то и b1, b2 линейно зависимы

D

åñëè a1, a2 базис, то и b1, b2 базис

56.

Пусть U è W инвариантные подпространства линейного пространства

V относительно оператора ϕ. Тогда инвариантным подпространством не

является:

A

U ∩ W

B

U + W

C

Ker ϕ

D

(V \ U) {0}

57.

Если оператор в линейном пространстве V , dim V > 2, не имеет инвари-

антных подпространств, кроме {0} è V , то его матрица может быть:

A скалярной B диагональной C треугольной D ортогональной

58.Пусть U пространство всех линейных операторов в n мерном линейном пространстве V . Размерность U равна:

A ∞ B n2 C n D зависит от V

76

59.Пусть ϕ линейный оператор в двумерном пространстве. Число инвариантных подпространств относительно оператора ϕ не может быть равно:

A 1 B 2 C 4 D ∞

Спектральная теория линейных операторов

60.Åñëè a è b собственные векторы линейного оператора, то собственным является вектор:

A

αa, ãäå α R

B

a + b

C

2a

D

a − b

61.

В базисе из собственных векторов матрица оператора:

A

единичная

B

скалярная

C

диагональная

D

может быть произвольной

62.

Все собственные векторы линейного оператора принадлежат:

A

ядру оператора

B

ядру или образу оператора

C

образу оператора

D

ядру и образу оператора одновременно

63.

Множество собственных значений оператора ортогонального проектиро-

вания на плоскость в трехмерном пространстве составляют числа:

A

0

B

1

C

0 è 1

D

1 è −1

64.

Если все векторы линейного пространства, кроме нулевого, являются

собственными для линейного оператора ϕ, то оператор ϕ является:

A

нулевым

B

растяжением в фиксированное число раз

C

тождественным

D

преобразованием вектора в противоположный

65.

Всегда имеет собственные векторы линейный оператор над полем:

A

рациональных чисел

B

вещественных чисел

C

комплексных чисел

D

над произвольным полем

66.

Линейный оператор, действующий в пространстве R5, может иметь соб-

ственных значений (учитывая их кратность) в количестве:

A

0

B

1

C

4

D

6

67.

Выберите правильное утверждение:

A каждый линейный оператор имеет собственные векторы (с.в.) B если с. в. существуют, то они образуют подпространство

C с. в., относящиеся к одному с. з., образуют подпространство D линейная оболочка собственного вектора подпространство

77

68. Следующая матрица имеет жорданову нормальную форму:

A	0	1	2	B	0	2	1	C	0	0	0	D	0	1	0
	1	2	0		1	1	0		0	1	0		1	0	1
	0	0	1		0	0	3		0	0	1		0	0	1

69.Обязательно имеет жорданову нормальную форму оператор в линейном пространстве над полем:

A	рациональных чисел	B	вещественных чисел
C	комплексных чисел	D	над произвольным полем

Линейные операторы в евклидовых пространствах

70.Åñëè A и B матрицы сопряженных операторов в ортонормированном базисе действительного евклидова пространства, то:

A B = A−1 B B = C−1AC C A = BT D B = CT AC

71. В трехмерном евклидовом пространстве действует линейный оператор ортогонального проектирования на плоскость. Матрица этого оператора:

	A	имеет размеры 2 Ч 2	B	вырожденная
	C	невырожденная	D	имеет ранг 3
72. Следующий оператор в евклидовом пространстве R3 имеет ранг 2:
	A	поворот около оси z íà óãîë π/2
	B	ортогональное проектирование на плоскость xy
	C	ортогональное проектирование на ось z
	D	симметрия относительно плоскости xy

Билинейные и квадратичные формы

73. Пусть (x1, x2, x3) произвольный вектор из R3. Формула 3x21 + x22:

A не определяет квадратичную форму

B задает положительно определенную квадратичную форму C задает неотрицательно определенную квадратичную форму D задает отрицательно определенную квадратичную форму

74. Ранг квадратичной формы x21 + 2x1x2 + x22 равен:

A 0 B 1 C 2 D 3

75.Данная квадратичная форма в двумерном пространстве является положительно определенной:

A x21 +4x1x2 +x22 B x21 +2x1x2 +x22 C x21 +2x1x2 +2x22 D x21 −x22

78

76.	Матрицы A è B одной и той же квадратичной формы в разных базисах:
	A	связаны соотношением B = CT AC	B	подобны
	C	не связаны определенным соотношением	D	взаимно обратны
77.	Ранг квадратичной формы в общем случае не равен:

Aсумме положительного и отрицательного индексов инерции B количеству ненулевых коэффициентов в каноническом виде

C наивысшему порядку ненулевых миноров матрицы квадратичной формы D порядку матрицы квадратичной формы

78.Ранг квадратичной формы 2x21 + 2x1x2 + x22 равен:

A 0 B 1 C 2 D 3

Канонические уравнения кривых и поверхностей второго порядка

79.

При каких условиях уравнение a11x2 +2a12xy +a22y2 +2a1x+2a2y +a0 = 0

определяет окружность?

A

a11 = a22

B

a11 = a22, a12 = 0, a12 + a22 − a0 > 0

C

a11 = a22, a12 = 0

D

a11 = a22, a12 = 0, a12 + a22 − a0 < 0

80.

Укажите все значения параметра a, при которых кривая x2 +ay2 +2x = 0

является эллипсом.

A

a = 1

B

a > 0

C

a 6 0

D

a > 0

Какую фигуру определяет система уравнений

x2 2

81.

+

y

= 4z ?

9

4

y = 2

две прямые

A

параболу

B

эллипс

C

гиперболу

D

79

ТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

1.Сформулируйте определение линейного пространства над полем k.

2.Выведите из аксиом линейного пространства единственность нулевого вектора.

3.Выведите из аксиом линейного пространства, что вектор, противоположный данному, определен однозначно.

4.Докажите, что произведение нулевого элемента из поля k на вектор v равно нулевому вектору.

5.Докажите, что произведение числа λ èç ïîëÿ k на нулевой вектор равно нулевому вектору.

6.Докажите, что произведение числа −1 èç ïîëÿ k на вектор v равно вектору −v.

7.Сформулируйте определение линейного подпространства для данного линейного пространства. Сформулируйте определение линейной оболочки и докажите, что линейная оболочка является линейным подпространством.

8.Докажите, что множество решений однородной системы линейных уравнений над полем k будет линейным подпространством соответствующего

пространства строк с компонентами из k.

9.Сформулируйте определение линейной зависимости системы векторов. Сформулируйте и докажите четыре свойства линейной зависимости.

10.Сформулируйте определение линейной независимости системы векторов. Сформулируйте первые три свойства линейной зависимости, используя понятие линейной независимости.

11.Сформулируйте определение базиса и координат вектора в данном базисе. Докажите, что разложение вектора по базису определено однозначно.

12.Сформулируйте определение элементарных преобразований последовательности векторов. Докажите, что перестановка двух векторов может быть заменена несколькими преобразованиями двух других видов.

13.Сформулируйте определение ранга системы векторов. Докажите, что при элементарных преобразованиях ранг не меняется.

14.Докажите, что два базиса одного и того же конечномерного пространства состоят из одинакового числа векторов. Сформулируйте определение размерности.

15.Приведите пример бесконечномерного пространства и обоснуйте отсутствие конечного базиса у этого пространства.

80

16.Сформулируйте определение суммы линейных подпространств. Докажите соотношение между размерностями суммы и пересечения линейных подпространств.

17.Сформулируйте определение прямой суммы линейных подпространств. Сформулируйте и докажите критерий прямой суммы.

18.Сформулируйте определение матрицы перехода от одного базиса к другому. Выведите формулу преобразования координат вектора при замене базиса.

19.Сформулируйте и докажите свойства матрицы перехода.

20.Сформулируйте определение скалярного произведения. Докажите, что скалярное произведение нулевого вектора и вектора v равно нулю. Дока-

жите, что скалярное произведение обладает свойством дистрибутивности по двум своим аргументам.

21.Сформулируйте определения длины вектора, угла и расстояния между векторами.

22.Докажите неравенство Коши Буняковского Шварца.

23.Сформулируйте и докажите условие, при котором в неравенстве Коши Буняковского Шварца достигается знак равенства.

24.Сформулируйте и докажите свойства длины вектора и расстояния между векторами.

25.Сформулируйте определения ортогональных векторов, ортогонального, ортонормированного базиса. Выведите формулу для скалярного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе.

26.Опишите этапы метода ортогонализации Грама Шмидта. Сформулируйте и докажите условия применения метода. Докажите, что в конеч- номерном евклидовом пространстве существуют ортогональные базисы.

27.Сформулируйте определение проекции вектора на линейное подпространство. Сформулируйте и докажите формулу Фурье. Опишите алгоритм вычисления проекции вектора на подпространство.

28.Сформулируйте определение ортогонального дополнения к линейному подпространству. Докажите, что конечномерное евклидово пространство разлагается в прямую сумму своего линейного подпространства и ортогонального дополнения к нему.

29.Сформулируйте определение матрицы Грама системы векторов. Сформулируйте и докажите свойства матрицы Грама.

30.Опишите суть метода наименьших квадратов.

31.Сформулируйте свойства скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве. Сформулируйте и докажите неравенство Коши Буняковского Шварца для этого пространства.