АиГ2015-2016 / Лекции / Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2

l l =

a11

a12

= d.

1

2

a12

a22

Рассмотрим

случаи, когда d = 0

и d ¹ 0.

1) Пусть

d = l1l2

¹ 0. Преобразуем

уравнение (14.4),

выделяя

полные

квадраты.

(l1 x¢2 + 2b1 x¢)+ (l2 y¢2 + 2b2 y¢)+ b = 0,

æ

2

2b1

b12

ö

b12

æ

2

2b2

b22 ö

b22

l1 ç x¢

+

x¢

+

÷ -

+ l2 ç y¢

+

y¢

+

÷ -

+ b = 0.

l

l2

l2

l

2

l

2

l

2

è

1

1

ø

1

è

2

ø

2

Обозначим b -

b2

-

b2

= c , получим:

1

2

l2

l2

1

2

æ

ö2

æ

b2

ö2

l1 ç x¢ +

b1

÷

+ l2 ç y¢ +

÷

+ c = 0.

(14.5)

è

l1 ø

è

l2 ø

Сделаем замену:

ì

b

ïx¢¢ = x¢ +

1

,

ï

l1

(14.6)

í

b2

ï

ïy¢¢ = y¢ +

.

l2

î

Соотношения(14.6) задают параллельный

перенос

начала координат в

æ

b1

b2

ö

точку O¢¢ç

-

; -

÷.

С учетом этих соотношений (14.5) принимает вид:

è

l1

l2 ø

l1 x¢¢2 + l2 y¢¢2 + c = 0.

(14.7)

а) Пусть d = l1l2

> 0 и c одного знака с l1 . Тогда (14.7) задает эллипс.

б) Пусть d = l1l2

> 0

и c противоположного знака с l1 . Тогда (14.7) задает

пустое множество.

в) Пусть d = l1l2

> 0 и c = 0 . Тогда (14.7) задает одну точку.

г) Пусть d = l1l2 < 0 и c ¹ 0 . Тогда (14.7) задает гиперболу.

д) Пусть

d = l1l2 < 0

и c = 0 . Тогда (14.7) задает

пару

пересекающихся

прямых.

Таким

образом,

при

d = l1l2

¹ 0

кривая

второго

порядка

является

центральной кривой (центрально симметричной). Начало координат – центр

симметрии.

2) Пусть d = l1l2

= 0.

Пусть, например,

l2

¹ 0.

Тогда (14.4) принимает

вид:

91

l2 y¢2 + 2b1 x¢ + 2b2 y¢ + b = 0,

æ

2b2

2

ö

2

l

ç y¢2

+

y¢ +

b2

÷

-

b2

+ 2b x¢

+

l2

2

è

l

ø

l

2

1

2

2

2

æ

ö

2

æ

2

b2

b

b2

l2 ç y¢ +

÷

+ 2b1 ç x¢ +

-

l

2b l

2

è

ø

è

2b

2

2

1

1

а) Пусть b1 ¹ 0. Сделаем замену:

ì

b

b22

ïx¢¢ = x¢ +

-

,

2b1

2

ï

2b1l2

í

b2

ï

ïy¢¢ = y¢ +

.

l2

î

b = 0,

ö

÷ = 0. (14.8)

ø

(14.9)

Соотношения(14.9) задают

параллельный

перенос

начала координат в

æ

2

ö

b2

b

b2

точку O¢¢ç

-

; -

÷. С учетом этих соотношений(14.8) принимает

2b l

2

2b

è

2

l

2

ø

1

1

вид:

l2 y¢¢2 + 2b1 x¢¢ = 0.

(14.10)

Это уравнение задает параболу.

б) Пусть b1 = 0. Тогда (14.8) принимает вид

æ

b2

ö2

b22

l2 ç y¢

+

÷ + b -

= 0.

(14.11)

l

l

2

è

2

ø

2

Сделаем замену:

ìx¢¢ = x¢,

ï

b2

(14.12)

í

ïy¢¢ = y¢ +

.

l2

î

Соотношения (14.12) задают параллельный перенос начала координат в

æ

ö

точку O¢¢ç

0; -

b2

÷

. С учетом этих соотношений (14.11) принимает вид:

è

l2 ø

l2 y¢¢

2

+ c

b2

2

= 0,

где

c = b -

.

(14.13)

l2

2

Если cl2

< 0, то уравнение (14.13) задает пару параллельных прямых. Если

cl2 > 0,

то уравнение(14.13)

задает

пустое

множество. Если же c = 0, то

уравнение (14.13) задает пару совпадающих прямых(одну прямую) .

N. Привести к каноническому виду уравнение кривой

92

5x2 + 8xy + 5y2 -18x -18 y + 9 = 0

и построить ее график.
Решение.
1. Рассмотрим квадратичную форму f	= 5x2 + 8xy + 5 y2 с матрицей
æ5		4	ö
A = ç	4	5	÷.
è			ø

Найдем собственные значения матрицы A.

5 - l 4 = 0,

4 5 - l

(5 - l)2 -16 = 0,

l1 = 1, l2 = 9.

2. Найдем направления главных осей, т.е. собственные векторы матрицы A.

Если l = 1,

то ( A - lE ) X = 0

Û

ì4x + 4 y = 0,

ìx = -y,

í

Û

í

î4x + 4 y =

0;

îy Î R.

Фундаментальная система решений:

f1 = (1; -1). Нормируем вектор, имеем:

e =

f1

= æ

1

; -

1

ö.

1

f1

ç

2

÷

è

2 ø

Если l = 9,

то ( A - lE ) X = 0

Û

ì-4x + 4 y = 0,

ìx = y,

í

Û í

î4x - 4 y =

0;

îy Î R.

Фундаментальная система решений:

f2 = (1;1). Нормируем вектор, имеем:

e

=

f2

=

æ

1

;

1

ö.

2

f2

ç

2

÷

è

2 ø

Матрица перехода к полученному ортонормированному базису из собственных векторов матрицы A имеет вид

æ			1					1		ö
ç											÷
			2					2
T = ç										÷.
ç	-		1					1		÷
ç											÷
			2					2
è										ø

3. Повернем оси координат так, чтобы направления новых осей совпали с направлениями главных осей квадратичной формы. Поскольку линейное преобразование, которое осуществляет поворот системи координат на угол j около фиксированной точки, является ортогональным преобразованием с

матрицей

93

T =

æcosj

-sinj ö

,

ç

cosj

÷

è sin j

ø

то cosj =

1

, sinj = -

1

.

Откуда j = -

p

.

Выразим новые переменные

2

2

4

æ x¢ ö

через старые X =

æ x ö

X ¢ = ç ÷

ç ÷ .

è y¢ø

è y ø

X = TX ¢

æ x ö

æ

1

1

ö

ç

2

2 ÷æ x¢ö

,

ç

÷ =

ç

÷

ç

÷

è y

ø

ç

-1

1

÷

è y¢ø

2

2

è

ø

ì

1

¢

1

¢

ïx

=

x

+

ï

2

2

í

1

1

ï

¢

¢

ïy = -

x

+

y .

î

2

2

Выразим через новые переменныеx¢ и

y¢ линейную часть заданного

уравнения:

æ

1

1

ö

æ

1

1

ö

-18x -18 y + 9 = -18ç

x¢ +

y¢÷

-18

ç

-

x¢

+

y¢÷ + 9 = -18 2 y¢ + 9.

2

2

2

2

è

ø

è

ø

Таким образом, после приведения уравнения кривой к главным осям ее уравнение принимает вид:

x¢2 + 9 y¢2 -182 y¢ + 9 = 0.

Преобразуем полученное уравнение, выделив полный квадрат: x¢2 + 9 (y¢2 - 22 y¢+ 2)-18 + 9 = 0,

x¢2 + 9(y¢2 -

)2

= 9.

2

Выполним

параллельный

перенос

начала

координат

в

точку

координатами O¢(0;

) по формулам:

2

x

¢¢

¢

y

¢¢

= y

¢

-

2.

= x ;

Получим:

x¢¢2 + 9 y¢¢2

= 9,

x¢¢2

+

y¢¢2

= 1.

(14.14)

9

1

Уравнение(14.14) задает эллипс с полуосями3 и 1.

94

4. Строим кривую. Повернем систему

координат			на	уголj = -	p		и
				4
переносим			начало	координат в			точку
O¢(0;		).	В новой	системе координат
	2

O¢x¢¢y¢¢ строим кривую (рис. 14.3)

Рис. 14.3

ЛЕКЦИЯ 15.

ИНВАРИАНТЫ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

Def. Инвариантами кривой называются функцииj(a11 , a12 , a22 , a1 , a2 , a),

которые не меняются при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой, т.е. при поворотах осей и параллельном переносе.

Th. 15.1

Для кривой второго порядка

a

x2

+ 2a

xy + a

y2 + 2a x + 2a

2

y + a = 0

(15.1)

11

12

22

1

выражения

a11

a12

a1

a11

a12

I

1

= a + a

22

,

I

2

= d =

,

I

3

= D =

a

a

a

11

a12

a22

12

22

2

a1

a2

a

являются инвариантами.

Доказательство.

Рассмотрим отдельно параллельный перенос и поворот. Предположим сначала, что начало координат(с сохранением направления )осей

переносится в точку с координатами (a; b ). Тогда

ìx = x¢ +a,

í

îy = y¢ + b,

где x¢, y¢ - новые координаты. Подставляя эти значения в уравнение кривой

(15.1), получаем:

a11 (x¢ +a )2 + 2a12 (x¢ +a )(y¢ + b )+ a22 (y¢ + b )2 + 2a1 (x¢ +a )+

95

+2a2 ( y¢ + b ) + a = 0,

или

a11 x

¢2

+

¢ ¢

+ a22 y

¢2

¢

¢

(a12a + a22 b + a2 ) +

2a12 x y

+ 2x

(a11a + a12 b + a1 ) + 2 y

+(a11a 2 + 2a12ab + a22 b 2 + 2a1a + 2a2 b + a ) = 0.

ИнвариантностьI

и I

2

очевидна, поскольку группа старших членов не

изменилась.

1

a11

a12

a11a + a12 b + a1

I3 =

a12

a22

a12a + a22 b + a2

=

a a + a b + a a a + a

22

b + a a a 2

+ 2a ab + a

22

b 2 + 2a a + 2a b + a

11

12

1

12

2

11

12

1

2

Прибавим к третьей строке первую строку, умноженную на (-a) , и вторую строку, умноженную на (-b) . Получим:

	a11	a12		a11a + a12 b + a1
I3 =	a12	a22		a12a + a22 b + a2
	a1	a2		a1a + a2 b + a
Теперь к третьему столбцу			прибавим первый столбец, умноженный на
(-a) , и второй столбец, умноженный на (-b) . Получим:
			a11	a12	a1
	I3 =		a12	a22	a2		.
			a1	a2	a

Таким образом, инвариантность I3 при параллельном переносе начала координат тоже доказана.

Вслучае поворота осей на jугол мы переходим от одного

ортонормированного

базиса

к

другому

ортонормированному . базису

Следовательно, матрица квадратичной формы

a x2

+ 2a xy + a

22

y2

11

12

преобразуется

так

,жекак

и

матрица

соответствующего

линейного

преобразования. Но для линейного преобразования с матрицей

æ a

a

ö

ç 11

12

÷

è a12

a22 ø

коэффициенты его характеристического уравнения

j(l) =

a11 - l

a12

= l2

- (a11 + a22 )l + a11a22 - a122 = 0;

или

a12

a22 - l

l2 - I l + I

2

= 0.

(15.2)

1

96

вообще не зависят от выбора базиса (теорема 8.4). Этим доказана инвариантность I1 и I2 .

Аналогично можно доказать и инвариантностьI3 . Действительно, если мы перейдем к новому базису

e1¢ = cosje1 + sinje2 , e2¢ = -sinje1 + cosje2 ,

то координаты преобразуются по формулам:

ìx = cosj x		¢				¢
			- sin j y ,					(15.3)
í	= sin jx	¢				¢
îy			+ cosj y .
В трехмерном евклидовом			пространствеR3				в ортонормированном
базисе e1 , e2 , e3 рассмотрим квадратичную форму от трех переменных:
F (x, y, z) = a x2	+ 2a xy + a			22	y2 + 2a xz + 2a yz + az2			,
11	12					1	2
которая при z = 1 превращается в
f (x, y) = a x2 + 2a xy + a y2						+ 2a x + 2a y + a.
11	12			22		1	2

При переходе к новому базису с матрицей перехода

æ cosj		-sinj	0 ö
ç		cosj	0	÷
ç sin j				÷
ç	0	0	1	÷
è				ø

координаты в R3 преобразуются по формулам:

ìx = cosj x¢ - sinj y¢,

ï

íy = sin jx¢ + cosj y¢,

ïîz = z¢.

Если f (x, y) при подстановке (15.3) переходит в

b11x¢2 + 2b12 x¢y¢ + b22 y¢2 + 2b1 x¢ + 2b2 y¢ + a

(свободный член при этом, очевидно, не меняется), то ясно, при подстановке (15.4) перейдет в

b11x¢2 + 2b12 x¢y¢ + b22 y¢2 + 2b1 x¢z¢ + 2b2 y¢z¢ + az¢2 .

(15.4)

что F (x, y, z)

Но при переходе к новому(ортонормированному!) базису определитель матрицы квадратичной формы не меняет, сяледовательно, для формы F (x, y, z) имеет место равенство:

b11	b12	b1		a11	a12	a1
b12	b22	b2	=	a12	a22	a2	.
b1	b2	b		a1	a2	a

97

Левая часть его есть определительD

для f (x, y)

в новом базисе, а правая

часть – в старом. Следовательно, доказана инвариантность I3 .

По значению I2 = d можно судить о типе кривой:

–

если

d > 0,

то

кривая

эллиптического

типа(эллипс, точка,

пустое

множество – «мнимый эллипс»);

–

если

d < 0,

то

кривая

гиперболического

типа(гипербола,

пара

пересекающихся прямых);

– если d = 0,

то кривая параболического типа (парабола, пара параллельных

прямых, возможно совпадающих или не существующих – «мнимых»).

Инвариантность

I1 , I2 = d ,

I3

= D

облегчает

приведение

уравнения

кривой к каноническому виду. Так в случае центральной кривой приd ¹ 0

уравнение кривой приводится к виду

l x2

+ l

y2 + c = 0,

1

2

где

l1 , l2

-

собственные значения

линейного

преобразования

с

матрицей

æ a

a

ö

. Но для последнего уравнения

ç 11

12

÷

è a12

a22 ø

I3 = D =

l1

0

0

= l1l2c.

0 l2

0

0

0

c

Отсюда

c =

D

=

D

.

(15.5)

l1l2

d

Таким образом, каноническое уравнение центрально кривой второго порядка

будет иметь вид:

l x2

+ l

y2 +

D

= 0.

(15.6)

1

2

d

Если d > 0 и D ¹ 0,

то (15.6) задает эллипс или «мнимый эллипс» (если

знаки

l

и

D

совпадают). Кривая

будет

эллипсом,

если

знаки

l

и

D

1

d

1

d

различны,

т.е. l

D

< 0 .

Но так как d

> 0

и

l одного знака с I

то кривая

1 d

1

1

будет

эллипсом, если

I1I3 < 0. Кривая

будет «мнимым

эллипсом»

если

I1I3

> 0. Если же d > 0 и D = 0,

то (15.6) задает точку.

Если d < 0,

то кривая является гиперболой при D ¹ 0

и распадается на

пару пересекающихся прямых при D = 0.

Для параболы, уравнение которой приведено к виду

98

l2 y¢¢2 + 2b1 x¢¢ = 0

(15.7)

инварианты I3 , I1

имеют вид:

I

0

0

b1

= -b2l

, I

3

= D =

0

l

0

= l + l = l

.

2

1

2

1

1

2

2

b1

0

0

= ±

. Здесь b ¹ 0

Отсюда b = ±

-

D

-

D

и, значит, D ¹ 0.

1

l2

I1

1

В случае пары параллельных прямых (различных, совпадающих или

«мнимых») уравнение кривой приводится к виду

l2 y¢¢2 + c = 0.

В этом случае I3 = D =

0

0

0

0

l2

0

= 0.

0

0

c

Соберем полученные результаты в таблицу:

I2

= d > 0

I

= D ¹ 0

I1I2

= I1d < 0 . Эллипс

Кривая

3

I1I2

= I1d > 0 . «Мнимый эллипс»

эллиптического

I

= D = 0

Точка (пара пересекающихся в этой

типа

3

точке мнимых прямых)

I2

= d < 0

I

3

= D ¹ 0

Гипербола

Кривая

гиперболического

I

3

= D = 0

Пара пересекающихся прямых

типа

I2

= d = 0

I3

= D ¹ 0

Парабола

Кривая

Пара параллельных прямых

параболического

I

= D = 0

3

(различных, совпадающих или

типа

«мнимых»)

Из этой таблицы, в частности, видно,

что I3 = D = 0

в том и только

том

случае,

когда

кривая

распадается

на

пару(действительных или

мнимых) прямых. Таким образом, о распадении или нераспадении кривой на пару прямых можно судить по определителю I3 = D и до приведения кривой к каноническому виду.

N. Определить типы следующих кривых и привести их уравнения к каноническому виду:

1) x2 + 2xy - y2 - 6x + 4 y - 3 = 0;

99

2) x2 + y2 + 2x +1 = 0.
Решение.
1)	I2 = d =				1	1		= -2 < 0			Þ	кривая гиперболического типа.
					1	-1
I3			1			1		-3					данная кривая гипербола.
	= D =		1			-1		2		= -1 < 0		Þ
			-3			2		-3
													2			2		D
Ее	уравнение							будет			иметь		видl x	+ l	y		+		= 0.	Найдем	l	, l	из
													1	2				d			1	2

соотношения (15.2):

j(l) = l2 - I1l + I2 = 0.

I1 = a11 + a22 = 1-1 = 0. Имеем:

l2 - 2 = 0; l1 = 2, l2 = -2.

Каноническое уравнение кривой:

2x¢2 - 2 y¢2 + 1 = 0 2

или

22x¢2 - 22 y¢2 = -1.

	Это равнобочная									гипербола с полуосямиa = b =		1		» 0, 6.
											2		2
2)	I2 = d =				1	0		= 2 > 0		Þ	кривая эллиптического типа.
					0	1
I3			1	0		1					данное уравнение задает точку.
	= D =		0	1		0			= 0 Þ
			1	0		1

Данное уравнение может быть записано в виде:

(x +1)2 + y2 = 0

и, очевидно, задает точку с координатами (-1;0) . Ее также можно понимать как пару пересекающихся в этой точке«мнимых прямых» x + iy +1 = 0 и x - iy +1 = 0.

100