АиГ2015-2016 / Лекции / Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2

Таким образом, условие унитарности

выплнено. Значит, оператор j

унитарный .

Замечание. В процессе доказательства теоремы установлено, что условие

унитарности (10.2) и условие

j*j = jj*

= E.

(10.4)

эквивалентны. Таким образом,

за основу определения унитарного оператора

можно положить условие (10.4). Это условие также будем называть условием

унитарности оператора.

Следствие.

j-1 = j*.

1. Унитарный операторj обратим и

При

этом

операторj

унитарен тогда и только тогда, когда j-1

= j*.

по

Th. 10.4

Определитель

матрицы

унитарного

преобразования

модулю равен 1.

Доказательство.

Aи- его

Пусть

j -

унитарный

оператор

матрица.

Поскольку

jj* = E, то det( AA* ) = det E.

Таким образом, имеем

1 = det( AA* ) = det A det A* = det Adet

AT

= det A det

.

A

Если det A = a, то det

=

A

a

Þ aa

= 1 Þ

a

=1 .

Ортогональные операторы и их свойства.

Def. Пусть V -

вещественное евклидово пространство.

Линейный оператор

j :V ® V

называется ортогональным,

если

"x, y ÎV

справедливо

соотношение

(j(x),j( y)) = (x, y)

(10.5)

Т.е. ортогональный оператор является аналогом унитарного оператора для вещественного евклидова пространства. Таким образом, справедливы следующие свойства ортогональных операторов.

Th. 10.5 Ортогональный оператор сохраняет модули векторов и угол между ними.

Th. 10.6 Собственные значения ортогонального оператора равны ±1.

Th. 10.7 Определитель ортогонального оператора равен ±1.

71

Замечание. Если определитель матрицы ортогонального оператора равен 1,

то он называется собственным, а если -1, то несобственным.

Th. 10.8

Th. 10.9

Ортогональный оператор обратим jи-1 = j*. При этом
операторj обратим тогда и только тогда, когда j* = j-1.
				л
Ортогональное	преобразование	переводит
ортонормированный базис в ортонормированный базис. И
наоборот, линейный	оператор, который	переводит
ортонормированный базис в ортонормированный является
ортогональным.

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть j -

ортогональный

оператор eи , e ,..., e -

некоторый ортонормированный базис. Тогда

1 2

n

ei

= 1, (ei

, ej ) =

ì0, i ¹ j;

í

î1, i = j.

ì0, i ¹ j;

j(e )

=

e

= 1,

(

j(e ),j(e

)

)

=

e , e

j )

=

i

i

i

j

(i

í

î1, i = j.

Следовательно,

оператор

перевел

ортонормированный

базис

в

ортонормированный.

2) Достаточность. Пусть некий оператор j переводит ортонормированный

базис e , e ,..., e

в

ортонормированный

¢

¢

,..., e

¢

.

Выберем

базисe , e

1 2

n

1

2

n

произвольные векторы x, y.

x = x1e1 + x2e2 +... + xn en и

y = y1e1 + y2e2 +... + ynen .

j(x) = j(x1e1 + x2 e2 +... + xn en ) = x1j(e1 ) + x2j(e2 ) +...xnj(en ) =

=x1e1¢ + x2 e2¢ + ... + xn en¢.

Аналогично j( y) = y1e1¢ + y2e2¢ +... + yn en¢.

n

(j(x),j( y)) = (x1e1¢ + x2e2¢ +... + xn en¢, y1e1¢ + y2e2¢ +... + ynen¢ )= å xi y j (ei , e j ) =

i , j =1

n

= åxi yi = (x, y .)

i =1

Значит, оператор j ортогонален .

Выясним что представляет собой ортогональное преобразование.

1. Пусть j : R1 ® R1 - ортогональный оператор. Собственный вектор e Î R1

является ортонормированным базисом. Учитывая, что j(e) = le и l = ±1,

72

имеем

j(e) = ±e.

Следовательно, j

либо

тождественное

преобразование,

либо центральная симметрия.

2.

Пусть

j : R2

® R2 - ортогональный

оператор.

В

некотором

ортонормированном базисе e1 ,

e2 матирица этого оператора имеет вид

æa

b ö

A = ç

÷,

где j(e1 ) = (a; c), j(e2 ) = (b; d ).

è c

d ø

j(e )

=1 Þ a2 + c2

=1

(10.6)

1

j(e )

= 1 Þ b2 + d 2

= 1

(10.7)

2

(j(e1 ), j(e2 )) = 0 Þ ab + cd = 0

(10.8)

На основании (10.6) можно положить a = cosa, c = cosa. На основании

(10.7)

полагаем

b = cos b, d = cos b.

Из (10.8)

следует,

что

cosa cos b + sin a sin b = 0, т.е.

cos (b -a ) = 0.

Значит,

b -a =

p

или

3p

2

b -a =

.

2

p

p

Пусть b -a =

Þ b =

+a. Тогда:

2

æ p

2

æ p

ö

ö

b = cos b = cosç

+a

÷ = -sin a; d = sin b = sin ç

+a

÷ = cosa.

2

è 2

ø

è

ø

В этом случае

æcosa

-sin a ö

, det A = 1.

A = ç

÷

è sin a

cosa ø

Следовательно, j - поворот на

уголa

вокруг начала

координат. В

частности при a = 0 j = E,

при a = p

j - симметрия относительно начала

координат.

3p

3p

Пусть b -a =

Þ b =

+a. Тогда

2

2

	æ 3p		ö
	b = cos b = cos ç		+a ÷	= sin a;
		2
	è		ø

	æ 3p		ö
	d = sin b = sin ç		+a ÷	= -cosa.
		2
	è		ø

Тогда	æcosa	sin a ö	, det A = -1.
	A = ç	÷
	è sin a	-cosa ø

Матрица	оператора	в	данном		случае	симметр, значитчна,
j - самосопряженный		оператор.		Следовательно,		существует
ортонормированный базис, в		котором	матрица A		имеет диагональный вид

73

(элементы диагонали – собственные значения), т.е.	æ1		0 ö	в некотором
	A = ç	0	÷
	è		-1ø

базисе e1 , e2 .

Если	æ x	ö	,	æ1		0 öæ x	ö	æ	x	ö	Значит, в данном
	X = ç 1	÷		то j(x) = AX = ç	0	÷ç 1	÷	= ç	1	÷.
	è x2 ø			è		-1øè x2 ø		è	-x2 ø

случае j - симметрия относительно прямой, которая задается вектором e1.

Таким образом, ортогональное преобразование плоскости – это либо поворот вокруг начала координат(det A = 1) , либо осевая симметрия

(det A = -1).

Из этого получаем, в частности, две теоремы плоской элементарной геометрии.

1.Произведение двух осевых симметрий – поворот вокруг точки пересечения осей.

2.Произведение поворота и осевой симметрии (ось проходит через центр поворота) есть симметрия относительно оси, проходящей через эту же точку.

В общем случае, когда ортогональный лператорj действует в n - мерном евклидовом пространстве, существует ортонормированный базис e1 , e2 ,..., en , в котором матрица блочно-диагональный вид, т.е. на ее главной

æcosa	-sin a ö		,	а остальные
диагонали стоят либо ±1, либо клетки вида T = ç	cosa	÷
è sin a		ø

элементы равны 0.

æ1						ö
ç	O		0			÷
ç						÷
ç	1					÷
ç	-1					÷
ç						÷
ç	O					÷
ç						÷
	-1
A = ç						÷
ç		cosa1	-sin a1			÷
ç						÷
ç		sin a1	cosa1			÷
ç	0		O			÷
ç						÷
ç			cosa		-sin a	÷
ç				k		k ÷
ç			sinak		cosak	÷
è						ø

Таким образом, в некотором ортонормированном базисе действие

ортогонального оператора сводится к последовательным поворотам и отражениям относительно координатных осей.

74

ЛЕКЦИЯ 11.

БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ.

Билинейные и квадратичные формы.

Def. Говорят, что		в	линейном пространствеV			задана линейная функция
(линейная форма),			если	"x ÎV	поставлено	в соответствие числоf (x)
такое что:
1)	f (x + y) = f (x) + f ( y)			"x, y ÎV ;		(11.1)
2)	f (lx) = l f (x)	"x ÎV .				(11.2)
	Найдем выражение линейной функции в координатах. Пусть e1 , e2 ,..., en -
базис V .
						n
			x = x1e1 + x2 e2 + ... + xnen = åxi ei .
	Согласно (11.1) и (11.2) имеем:					i =1
				n	n
			f (x) = åxi f (ei ) =åai xi , где ai = f (ei ).
				i =1	i =1

Таким образом, линейная функция представляется линейной формой:

		n
		f (x) = åai xi			(11.3)
		i =1
N. Пусть V -	пространство непрерывных функций			на[a;b].	Рассмотрим
b
f (j) = òj(t)dt.	f (j) - линейная функция.
a
Def. Пусть V -	линейное пространство над полемK .			A(x; y)	называется

билинейной функцией от x ÎV и y ÎV , если:

1)при фиксированном x она является линейной функцией относительно y;

2)при фиксированном y она является линейной функцией относительно x.

Инными словами "x1 , x2 , y1 , y2 ÎV , "l Î K :

	A(x1 + x2 ; y) = A(x1 ; y) + A(x2 ; y);
	A(lx; y) = l A(x; y);	(11.4)
	A(x; y1 + y2 ) = A(x; y1 ) + A(x; y2 );
	A(x; l y) = l A(x; y).

75

Найдем выражение билинейной формы в координатах. Пусть e1 , e2 ,..., en

– базис V .

n

n

x = åxi ei ;

y = å yi ei .

i =1

i =1

(11.4)

n

A(x, y) = A(x1e1 +... + xn en , y1e1 +... + ynen ) =

å xi y j A(ei ,ej ).

i, j =1

Обозначим A(ei , ej ) = aij .

Таким образом, любая

билинейная

функция

представляется билинейной формой:

n

A(x; y) = å aij xi y j ,

где aij = A(ei , ej ).

(11.5)

i , j =1

Def. Матрица A = (aij ),

где aij

= A(ei , ej ),

называется матрицей билинейной

формы.

Рассмотрим как изменяется матрица билинейной формы при переходе к

новому базису.

базисеe , e ,..., e

Пусть

в

билинейная

форма

имеет

ви

1

2

n

n

A(x; y) = å aij xi y j ,

где aij = A(ei , ej ). И пусть e1¢, e2¢,..., en¢ - новый базис, в

i , j =1

n

котором

A(x; y) =

å x¢p yq¢bpq ,

где bpq

= A(e¢p , eq¢ ).

В

базисе e1 ,

e2 ,..., en

p,q =1

формыA = (aij ),

матрица

билинейной

а

в

базисе

e1¢, e2¢,..., en¢

матрица

билинейной формы B =

(bij ). Пусть Te®e¢ = (tij )

- матрица перехода от базиса

e = (e1 , e2 ,..., en ) к базису e¢ = (e1¢, e2¢ ,..., en¢ ).

e¢p	= t1 p e1 + t2 p e2 +... + tnp en ;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
eq¢	= t1q e1 + t2q e2 + ... + tnq en .
n	n	n

bpq = A(e¢p , eq¢ ) = åtipt jq A(ei , ej ) =åtipt jq aij =å tip aij t jq .

i, j =1	i, j =1	i , j =1
Обозначим tip = d pi . Тогда (d pi ) = TeT®e¢ .		Тогда

n

bpq = å d pi aij c jq i , j =1

Это равенство в матричной форме имеет вид

B = T T ¢ ATe ®e¢ ,

e®e

(11.6)

(11.7)

76

где Te®e¢ - матрица перехода от базиса e к базису e¢.

Def. Билинейная	форма A(x, y)		называется симметрической, если
A(x, y) = A( y, x).
В этом случаеaij		= A(ei , ej ) = A(ej , ei ) = a ji ,		т.е. матрица билинейной
формы A = (aij )	будет	симметрической. Верно		и обратное. Если матрица

некоторой билинейной формы симметрическая, то и билинейная форма симметрическая.

N. Примером симметрической билинейной формы является скалярное произведение векторов.

Def. Если в симметрической билинейной форме A(x, y) положить x = y, то получим квадратичную форму A(x, x). В этом случае билинейная форма A(x, y) называется полярной к A(x, x).

Очевидно, что матрица квадратичной формы всегда симметрическая.

Th. 11.1

По

квадратичной

форме

однозначно

определяе

породившая ее билинейная форма.

Доказательство.

Пусть A(x, y) = A( y, x) "x, y ÎV .

A(x + y, x + y) = A(x, x) + 2 A(x, y) + A( y, y).

Отсюда

A(x, y) =

1

A(x + y, x + y) - A(x, x) - A( y, y)

)

.

(11.8)

2 (

Нахождение

билинейной

формы

полярной

к заданой

квадратичной

форме называется поляризацией квадратичной формы .

Из (11.5) следует, что любая квадратичная форма в заданном базисе

задается формулой:

n

A(x, x) = å aij xi x j ,

где aij

= a ji .

(11.9)

i, j =1

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Def. Квадратичная форма в некотором базисе имеет канонический вид, если ее матрица в этом базисе имеет диагональный вид, т.е. если

77

n

A(x, x) = åli xi2 .

(11.10)

i =1

Базис, в котором квадратичная форма имеет

канонический вид называеся

каноническим базисом.

в

Th. 11.2

Пусть

A(x, x) - произвольная

квадратичная

форма

n - мерном векторном пространстве. Тогда найдется базис, в

котором эта форма имеет канонический вид.

Доказательство.

Пусть

n

A(x, x) = å aij xi x j .

(11.11)

i, j =1

Будем пребразовывать базис так , чтобы в этом выражении исчезли

слагаемые,

содержащие

xi x j

(i ¹ j).

Пусть A(x, x)

не содержит

ни одного

квадрата, тогда она

содержит хотя

бы

одно произведениеx x

,

например

i j

2a12 x1 x2 . Сделаем замену:

x1 = y1 + y2 ; x2 = y1 - y2 ; x3

= y3 ; ...; xn = yn .

(11.12)

Тогда A(x, x) = 2a

( y2

- y

2 ) +...

12

1

2

Если обозначить X = (x1 x2 ...

xn )T , Y = ( y1

y2 ...

yn )T , то

æ1

1

0 ...

0 ö

ç

-1

0 ...

0

÷

ç1

÷

X = ç 0

1

0 ...

0 ÷Y = TY ,

ç

. .

.

÷

ç . .

÷

ç

0

0 ...

1

÷

è 0

ø

где T - матрица

перехода

к новому

базису(det T = -2 ¹ 0) . А новые

базисные векторы имеют вид:

f3 = (0;0;1;...;0),..., fn = (0;...; 0;1).

f1 = (1;1; 0;...; 0), f2

= (1; -1; 0;...;0),

Таким образом, можно считать, что в формуле (11.11) a11 ¹ 0.

Выделим

все слагаемые, содержащие x1.

A(x, x) = (a11 x12 + 2a12 x1 x2 + ... + 2a1n x1 xn ) +...

Дополним выражение, стоящее в скобке до полного квадрата.

	A(x, x) =	1	(a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn )2 - a12 x22 -... - a1n xn2 +...
		a
	11

78

	A(x, x) =	1	(a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn )2 + B,
		a
	11

где B - сумма слагаемых, не содержащих x1. Сделаем замену

y1 = a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn ;

			y2 = x2 ;
	............
			yn = xn .
		1	n
	Тогда A(x, x) =		y12 + å aij* yi y j .
		a11
			i, j =2
	Если X = (x1 x2 ...		xn )T , Y = ( y1 y2 ... yn )T , то

æç a1 Y = ç 0 ç .

ç

è 0

Причем det T -1 = a11 ¹ 0, Þ базису.

a		...	a	ö
	2		n	÷
1 ...			0	÷	X
. .			.	÷
0 ...			1	÷
				ø
det T ¹ 0.			T -

= T -1 X .

матрица

Аналогично

проводим

преобразования

(11.13)

перехода к новому

n

выраженияå aij* yi y j .

i , j =2

Продолжая

этот

процесс, мы прийдем к

переменнымx* , x* , x* ,..., x* ,

в

1

2 3

n

которых квадратичная форма A(x, x)

имеет вид:

n

A(x, x) = åli xi*2

.

i =1

Метод, описанный в доказательстве теоремы11.2, называется методом

Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому базису.

N. Квадратичную

форму A(x, x) = 4x1 x2 + 4x1 x3 + 8x2 x3

привести

к

каноническому виду методом Лагранжа и найти канонический базис.

Решение.

A(x, x) не содержит ни одного квадрата. Выполним замену:

ìx

= y

+ y

,

ï

1

1

2

(11.14)

íx2

= y1 - y2 ,

ïx

3

= y .

î

3

A(x, x) = 4( y + y

2

)( y - y

) + 4( y + y

2

) y +

8( y - y

2

) y = 4 y2 -

4y2

- 4y

y +

1

1

2

1

3

1

3

1

2

2

3

79

+12

+y32

или

T =

y y = (4 y2			+12 y y + 9 y2 ) - 9 y			2	- 4 y2	- 4 y y = (2 y + 3y )2				- (4 y2	+ 4 y	2	y +
1	3	1	1	3	3	3	2	2	3	1	3	2			3
) + y2		- 9 y2	= (2 y + 3y		)2 - (2 y	2	+ y )2	-8 y2	= z2	- z2	-8z2 .
	3	3	1	3			3	3	1	2	3

Учитывая (11.14) имеем:

	ìx		=		1	z		+			1			z			- 2z ,
																2
	ï	1			2		1			2									3
	ï
	ï				1					1
	íx2		=				z1	-							z2		- z3 ,
					2					2
	ï						,
	ïx		= z
	ï	3			3
	î
				æ	1			1								-2		ö
				ç														÷
					2			2
				ç														÷
	X =			ç	1			-		1						-1		÷	Z.
				ç	2					2								÷
				ç	0			0									1	÷
				ç														÷
				ç														÷
				è														ø
æ 1 1	ö

ç2 2 -2 ÷

ç÷

	ç 1		-	1	-1	÷	-	матрица перехода к новому базису.
	ç	2		2		÷
	ç	0	0		1	÷
	ç					÷
	ç					÷
	è					ø

f

=

æ 1

;

1

; 0

ö

,

f

=

æ

1

; -

1

; 0

ö

,

f

= (-2; -1;1) -

канонический

базис, в

ç

÷

2

ç

÷

3

1

2

2

2

è 2

ø

è

ø

котором квадратичная форма имеет канонический вид

A(x, x) = z2

- z2

-8z2 .

1

2

3

80