АиГ2015-2016 / Лекции / Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2

Следовательно,			j - линейный оператор.
Линейный оператор полностью задается заданием образов базисных
векторов.	Выберем		в	пространствеV базис e1 , e2 ,..., en и			применим	к
каждому	из	них		операторj.	Полученные	образы	разложим	по

базису e1 , e2 ,..., en .

y1 = j(e1 ) = a11e1 + a21e2 +... + an1en ,

y2 = j(e2 ) = a12e1

+ a22e2

+... + an2en

,

.....................................................

(7.1)

yn

= j(en ) = a1n e1 + a2ne2 +... + ann en .

æ a11

a12 ...

a1n

ö

(

ç a

a

22

...

a

2n

÷

Def. Матрица

A =

a

=

ç

21

÷

,

столбцы которой – координаты

ç .

. .

.

÷

ij

)

ç

an2 ...

÷

è an1

ann ø

образов базисных векторовj(e1 ), j(e2 ),...,

j(en ), называется матрицей

линейного оператора j в базисе e1 , e2 ,..., en .

Th. 7.1

æ x1

ö

ç x

÷

вектор в базисе e , e ,..., e . Тогда

Пусть X = ç

2

÷ -

ç M

÷

1 2

n

ç

÷

è xn ø

j(x) = AX ,

(7.2)

где A - матрица линейного оператора j в базисе e1 , e2 ,..., en .

Доказательство.

æ x

ö

ç 1

÷

Пусть X = ç x2 ÷ , тогда x = x e + x e +... + x e .

ç M

÷

1

1 2 2

n

n

ç

÷

è xn ø

j(x) = j (x1e1 + x2e2 +... + xn en ) = j (x1e1 ) +j (x2e2 ) +... +j (xnen ) = x1j (e1 ) +

+x2j (e2 ) +... + xnj (en ) = x1 (a11e1 + a21e2 +... + an1en ) + x2 (a12 e1 + a22e2 +... + an2en ) + +... + xn (a1ne1 + a2ne2 +... + ann en ) = (x1a11 + x2 a12 +... + xn a1n )e1 +

+(x1a21 + x2a22 + ... + xn a2n )e2 +... + (x1an1 + x2 an 2 +... + xn ann )en =

51

æ x1a11 + x2 a12 +... + xn a1n

ö

ç x a

+ x a

+ ... + x a

÷

= AX .

= ç

1

21

2

22

n

2n

÷

ç .................................... ÷

ç

÷

è x1an1 + x2 an2 +...

+ xn ann ø

Th. 7.2

Пусть

A -

матрица

линейного

оператораj

в

базисе

e = (e1 , e2 ,..., en ),

A¢ - матрица

j

в базисе

e¢ = (e1¢, e2¢,..., e¢),

¢

Te®e¢ - матрица перехода от базиса e к базису e . Тогда

¢

-1

(7.3)

A = Te®e¢ ATe®e¢

и

¢

(т.е.

определитель

матрицы

линейного

det A = det A

оператора не зависит от выбора базиса)

Доказательство.

Пусть

дан

линейный операторj :V ® V .

x ÎV

и X - вектор-столбец

его координат в базисе e = (e1 , e2 ,..., en ),

а X ¢-

вектор-столбец его координат

в базисе e¢ = (e1¢, e2¢ ,..., e¢).

Y , Y ¢ -

столбцы координат j(x)

в базисах e и e¢

соответственно.

Согласно (7.2)

Y = AX

(7.4)

Y

¢

=

¢ ¢

(7.5)

A X

Согласно(3.9)

¢

¢

X = Te®e¢ X , Y

= Te ®e¢Y .

Из (7.4) следует:

Te®e¢Y ¢ = ATe ®e¢ X ¢

Te-®1 e¢Te®e¢Y ¢ = Te-®1 e¢ ATe®e¢ X ¢;

Y

¢

-1

¢

(7.6)

С учетом (7.5)

= Te®e¢ ATe®e¢ X ;

A¢X ¢ = Te-®1 e¢ ATe®e¢ X ¢;

¢

-1

Откуда, A

= Te®e¢ ATe®e¢ .

N. Задан

линейный

операторj : R3 ® R3

и

j( f ) = f , j( f

2

) = - f

2

,

1

1

j( f3 ) = 2 f3 .

Найти

матрицу

оператора

в

стандартном

, базисеесли

f1 = (1;1;1),

f2 = (0;1;1), f3 = (1; -1; 0).

Решение.

1

1

1

= 1 ¹ 0, значит, векторы

f1 , f2 ,

f3 образуют базис.

0

1

1

1

-1

0

52

Найдем координаты j( f1 ), j( f2 ), j( f3 ) в базисе f1 , f2 , f3 .

j( f1 ) = 1 f1 + 0 f2 + 0 f3 = (1; 0; 0);

j( f2 ) = 0 f1 -1 f2 + 0 f3 = (0; -1;0);

j( f3 ) = 0 f1 + 0 f2 + 2 f3 = (0; 0; 2).

Значит, в базисе f1 , f2 , f3 матрица оператора j имеет вид:

	æ1		0	0	ö
A =	ç	0	-1	0	÷
	ç				÷.
	ç	0	0	2	÷
	è				ø

Найдем матрицу перехода от стандартного базиса к базисуf1 , f2 , f3 и обратную к ней.

æ1 0 1 ö

æ 1 1 -1ö

T

= ç1 1 -1÷

T -1

= ç

-1 -1 2

÷.

e® f

ç

÷

e® f

ç

÷

ç

÷

ç

0

-1 1

÷

è1 1 0 ø

è

ø

¢

- матрица оператора j в стандартном базисе. Согласно (7.3)

Пусть A

A = Te-®1 f

A¢Te ® f

,

откуда A¢ = Te® f ATe-®1 f . Следовательно,

¢

æ1 0 1 ö æ1 0 0 öæ 1 1 -1ö æ1 -1 1 ö

=

ç

÷

ç

0 -1 0

֍

-1

-1 2

÷

ç

2 4 -5

÷

A

ç1 1 -1÷×

ç

֍

÷

= ç

÷ ×

ç

÷

ç

0 0 2

֍

0

-1 1

÷

ç

2 2 -3

÷

è1 1 0 ø è

øè

ø è

ø

æ 1

-1

1 ö

Ответ.

ç

2

4

-5

÷

ç

÷ - матрица оператора j в стандартном базисе.

ç

2

2

-3

÷

è

ø

Def. Определим сумму, произведение

операторов и произведение

оператора на скаляр так:

1)(j +y )(a) = j(a) +y (a);

2)jy (a) = j(y (a));

3)(lj)(a) = lj(a).

Def. Оператор		E	называется тождественным, если E(x) = x, "x ÎV .
Оператор O называется нулевым, если O(x) = 0,						"x ÎV .
Th. 7.3	Сумма,		произведение линейных			операторов	и произведение
	линейного			оператора	на	скаляр	является		линейны
	оператором. Причем, если A и B					матрицы операторов j		и
	y ,	то:

53

1)A + B - матрица оператора j +y ;

2)AB - матрица оператора jy ;

3)l A - матрица оператора lj.

Доказательство.

Докажем утверждение (2).

	y -лин.		j - лин.	опр. проиизв.
j(y (a + b))	оператор		оператор	операторов
	= j (y (a) +y (b))		= j (y (a))+j y( (b)) = jy (a) +jy (b).
y -лин.		j - лин.		опр. произв.
оператор		оператор	lj (y (a))	операторов
j(y (la))	= j (ly (a))	=		= ljy (a).

Значит, jy - линейный оператор.

Пусть C - матрица оператора jy . Пусть x ÎV и X - вектор-столбец из координат вектора x. Согласно (7.2)

jy (x) = CX .

С другой стороны jy (x) = j (y (x)) = A(BX ) = ( AB) X .

Таким образом, CX = ( AB) X , откуда C = AB.

Утверждения (1) и (3) доказываются аналогично. Проведите их самостоятельно .

Ядро и образ линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора.

Def. Ядром линейного

оператораj

(обозначается

Ker j ) называется

множество таких векторов x,

что j(x) = 0.

Def. Множество

векторов j(x) ("x ÎV ) называется

образом

линейного

оператора. Обозначается Imj.

Th. 7.4

Ker j

и

Imj

являются

подпространствами

линейного

æ x1

ö

пространства V . Если X

ç x

÷

-

вектор-столбец координат

= ç

2

÷

ç M

÷

ç

÷

è xn

ø

вектора

x ÎV

в базисеe,

а

A -

матрица

линейного

оператора j

в

этом

базисе, то

x ÎKerj тогда и только

тогда, когда AX = 0.

Доказательство.

54

Пусть x, y Î Kerj,

тогда j(x) = j( y) = 0.

j(x + y) = j(x) +j( y) = 0 Þ

(x + y)ÎKerj.

j(lx) = lj(x) = 0

Þ

lx ÎKer j.

Значит,

Ker j - подпространство линейного пространства V .

Пусть

x1 , y1 ÎImj,

тогда, существуют

x, y ÎV ,

такие, что

x1

= j(x) и

y1 = j( y).

j - лин.

оператор

x1 + y1 = j(x) +j( y) = j(x + y) Î Im j.

j - лин.

оператор

l x1 = lj(x) = j(l x) Î Im j.

Значит,

Imj - подпространство линейного пространства V .

Вторая

часть утверждения вытекает непосредственно из

определения

ядра линейного оператора и теоремы7.1 .

Th. 7.5

Пусть j :V ® V - линейный оператор. Тогда

dim Kerj + dim Imj = dimV .

(7.7)

Доказательство.

Пусть dimV = n, dim Kerj = k < n и e1 , e2 ,..., ek

- базис Kerj.

Дополним базис

Ker j до базиса всего пространства V :

e1 , e2 ,..., ek , ek +1 ,..., en - базис V .

Покажем,

что

Imj = L (j(ek +1 ),...,j(en )).

Во-первых,

j(ek +1 ),...,j(en ) Î Imj,

следовательно, любая

их

линейная

комбинация

принадлежит Imj.

Пусть

y Î.

Покажем,

что y -

линейная

комбинация векторов

j(ek +1 ),...,j(en ).

y = j(x) = j (x1e1 + x2e2 +... + xk ek + xk +1ek +1 + ... + xnen ) = j (x1e1 + x2 e2 + ... + xk ek ) + +j (xk +1ek +1 +... + xn en ).

(x1e1 + x2e2 +... + xk ek )Î Kerj, значит, j (x1e1 + x2 e2 + ... + xk ek ) = 0. Таким образом,

y = j (xk +1ek +1 +... + xn en ) = xk +1j (ek +1 ) +... + xnj (en )Î L (j(ek +1 ),...,j(en )).

Следовательно, j(ek +1 ),...,j(en ) - базис Imj Þ dim Imj = n - k, откуда вытекает соотношение(7.7) .

Построим	A -	матрицу	линейного		оператораj	в базисе
e1 , e2 ,..., ek , ek +1 ,..., en ,		построенном		при	доказательстве	теоремы7.5.
			55

j(e1 ) = ... = j(en ) = 0,		поэтому первыеn столбцов матрицы A нулевые.
Столбцы	k +1- й,…,	n - й линейно независимы,	т.к. содержат координаты
векторов	j(ek +1 ),...,j(en ) - базиса Imj Þ rang A		= n - k.

Def. Рангом линейного оператора( rangj ) называют ранг его матрицы в произвольном базисе.

Очевидно, что

def
rang j = rang A = dim Im j.	(7.8)

Def. Дефектом линейного оператора называется размерность его ядра.

Таким образом, справедлива теорема.

Th. 7.6 Если j :V ® V - линейный оператор, то сумма его ранга и дефекта равна размерности линейного пространства V .

Def. Линейный оператор j-1 называется обратным к линейному оператору j, еслиj-1j = jj-1 = E ( E - тождественный оператор).

Th. 7.7 Если j :V ® V - линейный оператор и A - его матрица в данном базисе, тогда A-1 - матрица оператора j-1 в этом

базисе и следующие утверждения эквивалентны:

1)$ j-1;

2)Kerj = 0;

3)Imj = V ;

4)det A ¹ 0.

Доказательство.
ПустьB -		матрица оператора j-1 ,				тогда	согласно теореме 7.3			AB -
матрица	оператора jj-1.		Значит,	AB = E.			Аналогично BA = E.			Отсюда
следует, что B = A-1. Таким образом, доказана первая часть теоремы.
Существование				-1	,	таким		образом,	равносильно
			оператораj
существованию		A-1 , а это в свою		очередь			возможно тогда		и только тогда,
когда det A ¹ 0.		Равносильность утверждений (1) и (4) доказана.
Из теоремы 7.5 вытекает равносильность утверждений (2) и (3).
Покажем		равносильность				утверждений(3)		и	(4).	Пусть
Imj = V	Û dim Imj = n		Û rangj=rang A = n Û det A ¹ 0.

Значит, утверждения (1) – (4) равносильны .

56

ЛЕКЦИЯ 8.

ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА И КЛЕТОЧНОДИАГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА.

Инвариантные подпространства и клеточно-диагональные матрицы.

Def. Пусть

задан

линейный

операторj :V ® V ( V -

линейное

пространство).

Подпространство

U

называется инвариантным

относительно линейного оператора j,

если j(x) ÎU "x ÎU.

N. Пусть V -

пространство всех многочленовf (x),

U -

подпространство

многочленов

степени

не

большеn.

Рассмотрим

оператор

дифференцирования j =

d

. Тогда U инвариантно относительно j.

N. Пусть V -

dx

трехмерное

пространство,

j -

поворот

вокруг

, оси

проходящей

через

начало

отсчета.

Очевидно,

что

инвариантными

подпространствами

относительно j

будут

ось

вращения

и

плоскость,

перпендикулярная оси вращения.

Th. 8.1

Kerj

и Imj

являются инвариантными подпространствами

относительно оператора j.

Доказательство.

Пусть y Î Imj.

Но Imj Ì V ,

значит, y ÎV .

Согласно

определению

образа линейного оператора j( y) Î Imj.

Пусть

x ÎKerj. Тогда j(x) = 0.

Т.к Kerj

подпространство V ,

то

оно

содержит нулевой элемент, т.е. j(x) Î Kerj .

Th. 8.2

Если

j :V ® V -

линейный

оператор, e = (e1 , e2 ,..., en ) -

базис V ,

U -

подпространство,

порожденное

векторами

e1 , e2 ,..., ek

и

A -

матрица оператораj в

базисе e. Тогда

следующие утверждения эквивалентны:

1) U = L(e1 , e2 ,..., ek )

инвариантно относительно j;

2)

æ A¢

A¢¢ ö

A = ç

0

¢¢¢÷,

(8.1)

è

A

ø

где

¢

-

матрица

размерностиk ´ k,

¢¢

матрица

A

A -

57

размерности k ´(n - k),	¢¢¢	-	матрица	размерности
	A
(n - k ) ´(n - k).

Доказательство.

1) Докажем, что из утверждения (2) следует утверждение (1). Пусть матрица A оператора j имеет вид (8.1). Пусть x ÎU Þ x = x1e1 + x2e2 +... + xk ek .

Рассмотрим X = (x1 ... xk 0 ... 0)T - Согласно теореме 7.1.

æ Ak¢´k j(x) = AX = ç

è 0

вектор-столбец из координат вектора x.

Ak¢¢´( n-k )

A¢¢¢

(n-k )´(n-k )

æ x		ö	æ	y		ö
ç	1	÷	ç		1	÷
ç M		÷	ç	M		÷
öç x		÷	ç y			÷
÷ç	k	÷ = ç			k	÷.
øç	0	÷	ç	0		÷
ç	M	÷	ç	M		÷
ç		÷	ç			÷
ç	0	÷	ç	0		÷
è		ø	è			ø

Очевидно,	что	j(x) ÎU = L(e1 , e2 ,..., ek ),		а	это	означает, что		U
инвариантно относительно j.
2) Докажем, что		из утверждения(1) следует			утверждение (2).			Если
U = L(e1 , e2 ,..., ek )		инвариантно	относительно j;			тогда j(e1 ),j(e2 ),...,
j(ek ) ÎU. Значит,
j(e1 ) = (e11 , e12 ,..., e1k , 0..., 0), ..., j(ek ) = (ek1 , ek 2 ,..., ekk , 0...,0).
Поэтому в	матрице A оператора j в нижнем левом углу образуется
угол из нулей размером (n - k ) ´ k			.
Следствие.				иV = U ÅW ,
Пусть j :V ® V -		линейный	оператор				где U ,W -
инвариантные	подпространства		относительно			оператораj.		Если

e1 ,..., ek , ek +1 ,..., en - базис V , причем e1 ,..., ek - базис U , а W , то матрица оператора j в базисе e1 , e2 ,..., en имеет вид:

æç a11 ç .

çak1 A = ç

ç 0

çç . çè 0

...	a1k	0
.	.	.
...	akk	0
...	0	ak +1,k +1
.	.	.
...	0	an,k +1

... 0

. .

... 0

... ak +1,n

. .

... ann

ö

÷

÷

÷æ A¢

÷= ç

֏ 0

÷

÷

ø

ek +1 ,..., en - базис

0 ö ÷. (8.2)

A¢¢ø

58

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Def. Пусть j :V ® V -		линейный	оператор. Вектор x ¹ 0	называется
собственным вектором линейного оператора j, если j(x) = lx.				Число l
при этом называется собственным значением линейного оператора j.
Th. 8.3	В любом	комплексном	пространствеV всякий	линейный
	оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство.

Пусть e1 , e2 ,..., en - базис V , A - матрица линейного оператораj. Пусть

æ x1 ö

X = çç M ÷÷ - вектор-столбец координат вектораx ÎV . Вектор x будет

çè xn ÷ø

собственным вектором тогда и только тогда, когда

æ a x

+ ... + a x

ö

æ lx

ö

ç

11 1

1n

n

÷

ç

1

÷

j(x) = AX =

ç ........................

÷ = lx = ç M

÷.

ç a

x +... + a

nn

x

n

÷

çlx

n

÷

Отсюда

è

n1 1

ø

è

ø

ìa x + + a

x = lx ,

ï

11

1

1n

n

1

.................................

í

ïa

x +... + a

nn

x = lx

;

или

î

n1

1

n

n

ì(a11 - l ) x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0,

ï

+ (a22 - l )x2

+ + a2n xn

= 0,

ïa21 x1

Û (A - lE ) X = 0.

(8.3)

í..................................................

ï

ï

+ an2 x2 + +

(ann - l) xn

= 0.

îan1 x1

Система линейных уравнений(8.3) имеет ненулевое решение тогда и

только тогда, когда ее главный определитель равен нулю, т.е. когда

det (A - lE ) = 0

(8.4)

Уравнение (8.4) – уравнение n - й степени, а значит имеет по крайней мере один корень l0 . Подставив l0 в систему(8.3) получим ее решение

(x10 , x20 ,..., xn0 ) - собственный вектор линейного оператора j .

Def. Многочлен det (A - lE ) называется характеристическим многочленом линейного оператора j, а уравнение

59

				det (A - lE ) = 0				(8.5)
– характеристическим уравнением линейного					оператора j.
	Th. 8.4		Характеристический многочлен (а, значит,				и	собственные
			значения) линейного оператора не зависит от выбора базиса
Доказательство.								¢
		Пусть	A - матрица линейного оператора j в базисе e,				а
								A - матрица
			¢			¢		-1
линейного оператора j в базисе e . Согласно теореме 7.2						A	= Te®e¢ ATe®e¢.
det (A¢ - lE ) = det (Te-®1 e¢ ATe®e¢ - lE ) = det (Te-®1 e¢ ATe®e¢ - lTe-®1 e¢ETe ®e¢ ) =
= det (Te-®1 e¢ (A - lE )Te®e¢ ) = det Te-®1 e¢ det (A - lE )det Te®e¢ =
=	1		det (A - lE )det Te®e¢ = det (A - lE ) .
		det Te®e¢

Def. Множество всех собственных значений называется спектром линейного оператора j. Обозначается spec j.

N. Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, который в некотором базисе задается матрицей

æ1		2	ö
A = ç	4	3	÷.
è			ø

Решение.

Составим и решим характеристическое уравнение.

det (A - lE ) =	1- l	2	= 0,
	4	3 - l
(1- l)(3 - l) -8 = 0,

3 - 3l - l + l2 -8 = 0,

l2 - 4l - 5 = 0,

l= -1; l = 5 - собственные значения.

Пусть l = -1,		подставив его в систему ( A - lE ) X = 0 , получим:
æ 2	2 öæ x		ö	= 0		ì2x		+ 2x	= 0,	= -x2 , x2 Î R.
ç	4	÷ç 1	÷		Û	í	1	2	Û x1
è 4		øè x2 ø				î4x1 + 4x2			= 0;

x¢ = (-1;1) -	фундаментальная	система решений полученной системы. Вся
совокупность	собственных	векторов, соответствующих	собственному
значению l = -1, имеет вид

x = C1 (-1;1) = (-C1;C1 ), C1 Î R.

60