АиГ2015-2016 / Лекции / Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2

Доказательство.

(x, y )=

x(e + x e + ... + x e , y e + y e

+... + y e

) =

n

x y

e , e

.

j

1 1

2 2

n n

1 1

2 2

n n

å i

( i

j )

i =1

Т.к. (ei , ej ) = 0

то (x, y

n

n

yi .

при i ¹ j,

)= åxi

yi (ei , ei ) = åxi

i =1

i =1

Th. 5.5

Координаты

вектора x

в

ортонормированном базисе равны

скалярному

произведению

вектора x

на

соответствующий

базисный вектор, т.е.

xi = (x, ei ), i =

.

1; n

(5.13)

Доказательство.

вектораx по базисным векторам:

Запишем

разложение

x = x1e1 + x2e2 +... + xnen .

Умножим

данное

равенство

на

векторe :

1

(x, e1 ) = x1 (e1 , e1 )+ x2 (e2 , e1 )+... + xn (en , e1 ).

Но	(e2 , e1 ) = ... = (en , e1 ) = 0, (e1 , e1 ) = 1,			поэтому					(x, e1 ) = x1. Аналогично
можно показать, что (x, ei ) = xi "i =				.
		1; n
Def.	Скалярное произведение (x, e),			где		e		=1,	называется проекцией
вектора x на e.

Таким образом, координаты вектора в ортонормированном базисе– его проекции на базисные вектора.

ЛЕКЦИЯ 6.

ИЗОМОРФИЗМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ. УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. РАЗЛОЖЕНИЕ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ В ПРЯМУЮ СУММУ ПОДПРОСТРАНСТВ И ИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ДОПОЛНЕНИЙ. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ПОДПРОСТРАНСТВО. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

Изоморфизм евклидовых пространств.

Def. Два евклидовых пространства V и V ¢ называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие x ® x¢, y ® y¢ так, что:

41

1)x + y ® x¢ + y¢;

2)lx ® lx¢;

3)(x, y) ® (x¢, y¢).

Т.е. евклидовы пространства изоморфны, если они будут изоморфны как линейные пространства и этот изоморфизм таков, что сохраняет скалярное произведение соответствующих векторов.

Таким образом, если некая теорема сформулирована и доказана в некотором евклидовом пространстве в терминахx + y, lx и (x, y), то она верна в любом изоморфном ему пространстве.

Th. 6.1

Все

евклидовы

пространства

одинаковой

размерности

изоморфны между собой.

Доказательство.

Докажем,

что

все

такие

пространства

изоморфны

специально

выбранному

«стандартному»

пространству.

В

качестве

такого

«стандартного»

пространства

выберем

множествоV ¢

–

множество

упорядоченных n-ок чисел x¢ = (x1; x2 ;...; xn ) , где

(x¢, y¢) = x1¢y1¢ + x2¢ y2¢ +... + xn¢ yn¢.

(6.1)

ПустьV - произвольное евклидово пространство с ортонормированным

базисом

e1 , e2 ,..., en .

Вектору

x ÎV (x = x1e1 + x2 e2 + ... + xnen )

поставим в

соответствие вектор

x

¢

= (x1

; x2

¢

Очевидно, что такое соответствие

;...; xn )ÎV .

взаимно-однозначное. Выполнение свойств 1-2 в

определении

изоморфных

евклидовых пространств очевидно. Проверим выполнение свойства3.

Согласно

теореме 5.4

(x, y) = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn .

Согласно

(6.1)

(x¢, y¢) = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn , т.е. (x, y ) = (x¢, y¢)

.

Таким образом, любое утверждение

для2-х, 3-х

векторов

достаточно

проверить в известном в геометрии3-мерном пространстве. В частности, из

справедливости

неравенства

треугольника

для

геометрических

векторов

x + y

£

x

+

y

следует справедливость неравенства

b

b

b

ò( f + g)2 dx £ ò f 2 dx + òg 2 dx

a

a

a

в пространстве непрерывных на [a;b] функций.

Унитарные пространства.

Def. Комплексное

линейное

пространствоV

называется унитарным

(комплексным

евклидовым

пространством),

если

"x, y ÎV

поставлено в

42

соответствие число (x, y )ÎC,			называемое эрмитовым произведением и
выполняются следующие аксиомы:
1) (x, y )=		; )
	y(, x
2) (x + y, z ) = (x, z )+ (y, z );
3) (lx, y ) = l (x, y ), l ÎC;
4) (x, x)Î R, (x, x) ³ 0; (x, x) = 0			тогда и только тогда, когда x = 0.

Из аксиом(1) и (3) вытекает, что (x, l y ) =							l		(x, y ),	"l ÎC.
Еслиe , e ,..., e – ортонормированный базис унитарного пространства и
1 2	n
в этом базисе x = {x1; x2 ;...; xn }, y = {y1 ; y2 ;...; yn }, то
		(			n
			x, y	=	x	y		.		(6.2)
				)	å i i
					i =1

Замечание. В унитарном пространстве в отличие от евклидова пространства, не вводится понятие угла между векторами, все остальные результаты переносятся на унитарное пространство.

N.

Даны

векторы

унитарного

пространстваU (dimU = 2) :

a = (2; 2 - i ), b = (3 + i; 2). Найти

a

и (a, b).

Решение.

.)

a

=

(a, a

(a, a) = a1

+ a2

= 2 × 2 + (2 - i)(2 + i) = 4 + 4 +1 = 9.

a1

a2

Откуда

a

= 3.

(a,b) = a1

+ a2

= 2(3 - i) + (2 - i) ×2 = 6 - 2i + 4 - 2i = 10 - 4i.

b1

b2

Ответ. a = 3, (a,b) = 10 - 4i.

Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.

Def. Пусть W - подпространство евклидова пространства E. Вектор h Î E

ортогонален W , если h ^ x "x ÎW .

Th. 6.2 Пусть e1 , e2 ,..., em - базис подпространстваW . Если x ^ ei

"i = 1, m, тогда x ортогонален W .

Доказательство.

43

Поскольку x ^ ei , то (x, ei ) = 0 "i =1, m. Пусть y - произвольный вектор W , тогда y = y1e1 + y2 e2 + ... + ym em .

(x, y) = y1 (x, e1 ) + y2 (x, e2 )+ ... + ym (x, em ) = 0. Значит, x ортогонален W .

Def. Пусть W -	подпространство		евклидова	пространстваE.
Ортогональным	дополнением W ^	подпространства W		называется
множество векторов, ортогональных W .

Очевидно, что W ^ является подпространством E.

Th. 6.3 Любое евклидово пространство E можно разложить в сумму

его подпространства и его ортогонального дополнения, т.е.

E = W ÅW ^ .

Доказательство.

Пусть W подпространство евклидова пространства E, dimW = k < +¥.

e1 , e2 ,..., ek -

ортогональный

базисW . Дополним

его

до базиса

всего

пространства E :

e1 , e2 ,..., ek , fk +1 ,..., fn .

С

помощью

процесса

ортогонализации, построим

систему

ортогональных векторов:

e1 , e2 ,..., ek , ek +1 ,..., en .

Пусть x Î E,

тогда

x = x1e1 + x2 e2 + ... + xk ek

+ xk +1ek +1 + ... + xnen .

Обозначим x1e1 + x2e2 +... + xk ek

= y,

xk +1ek +1 +... + xnen

= z, причем y ÎW .

e

,..., e

^ e

(i =

),

значит,

e

,..., e

^ W ,

т.е. e

,..., e

ÎW ^ . Поскольку

1; k

k +1

n

i

k +1

n

k +1

n

W ^

является

подпространством E и

z -

линейная

комбинация

векторов

e

,..., e ,

то z ÎW ^ .

Таким

образом, E = W +W ^ .

Учитывая, что

k +1

n

W IW ^ = 0,

можно утверждать, что E = W ÅW ^ .

Следствие.

1)

Если

E

-

конечномерное

евклидово

пространство, то

dim E = dimW + dimW ^ .

2) Очевидно, что (W ^ )^ = W .

44

Ортогональная проекция вектора на подпространство. Расстояние от точки до подпространства.

Рассмотрим

в пространстве E

некоторое k - мерное

подпространство

W и вектор

f ÏW .

Поставим

задачу: «опустить перпендикуляр

из f на

W », т.е. найти

вектор

f0 ÎW

такой,

что

h = ( f - f )0 ^ W .

При

этом f0

называют ортогональной проекцией

f

на W .

Покажем,

что

введенный

таким

образом«перпендикуляр»

есть

кратчайшее расстояние от f

до W ,

т.е.

f - f0

<

f - f1

"f1 ÎW .

( f0 - f1 )ÎW , т.к.

f0 , f1 ÎW .

Значит, h ^ ( f0 - f1 ). По теореме Пифагора:

f

0

- f

2 +

h

2 =

f

0

- f

2 +

f - f

0

2 =

f

0

- f + f - f

2

=

f - f

2 .

1

1

1

1

Отсюда имеем, что

f

0

- f

2

<

f

- f

2 .

1

1

Покажем,

как фактически

вычислить f0 -

проекцию

f

на W .

Пусть

e1 , e2 ,..., ek - базис W .

f0

= c1e1 + c2e2 +... + ck ek - искомый вектор

(6.3)

Коэффициенты ci

найдем из условия ( f

- f0 ) ^ ei , т.е.

( f - f0 , ei ) = 0 "i = 1; k;

( f , ei ) - (f0 , ei ) = 0 "i =

1; k

;

( f , ei ) = ( f0 , ei )

"i =

;

1; k

Учитывая (6.3) соотношение (6.4) запишется в виде:

(

1 1

2 2

k k

i )

(

i

)

=

"i

=1; k;

c e

+ c e

+ ... + c e , e

f , e

1

(

1 i )

2

( 2 i

)

k (

k

i

)

(

i )

+ + c

=

"i = 1; k.

c e , e

+ c e , e

e , e

f , e

Или

ìc1 (e1 , e1 )+ c2 (e2 , e1 )+ + ck (ek , e1 ) = ( f , e1 );

íï 1 (

1 2 )

2 (

2

2 )

k

(

k

2 )

=

(

2 )

;

ïc e , e

+ c

e , e

+... + c

e , e

f , e

....................................................................

ï

1

k )

2 (

2

k )

k

(

k

k

)

(

k )

î 1 (

=

.

ïc e , e

+ c

e , e

+... + c e , e

f , e

(6.4)

(6.5)

Система (6.5)	имеет	единственное	решение, сли e1 , e2 ,...., ek -
ортонормированный	базис.	Т.к. такой	базис	всегда	существует,
следовательно и система(6.5) всегда имеет единственное решение. Если
базис не является ортонормированным, то			система (6.5)	все равно	имеет
единственное решение, значит,

45

(e1 , e1 )

(e2 , e1 )

... (ek , e1 )

G(e

, e

,..., e

) =

(

e , e

e , e

...

(

e ,e

¹ 0.

(6.6)

1

2 )

(

2

2 )

k

2 )

1

2

k

...

...

...

...

(

(

(

1 k )

2

k )

...

k

k )

e , e

e

, e

e

, e

Def. Определитель

G(e1 , e2 ,..., ek ) называется определителем

Грамма

векторов e1 , e2 ,..., ek ,

а соответствующая матрица Г (e1 , e2 , ..., ek ) – матрицей

Грамма.

æ (e1 , e1 )

(e2 , e1 )

... (ek , e1 ) ö

Г (e , e , ..., e

ç

e

, e

e

, e

...

e

, e

÷

(6.7)

) = ç(

1

2 )

(

2

2 )

(

k

2 )

÷.

1

2

k

ç ...

...

...

...

÷

ç

1

k )

(

2

k )

(

k

k )

÷

è(

...

ø

ç

e

, e

e

, e

e

, e

÷

Таким образом, координаты вектора

f0 -

проекции

f

на W в

базисе

e1 , e2 ,..., ek являются решением системы

			æ c1	ö		æ (
			ç	÷		ç	(
Г (e	, e	, ..., e	) çc2 ÷		=	ç
1	2	k	ç M	÷		ç
			ç	÷		ç	(
			c	ø		ç
			è k			è

	f , e1 )ö
	f , e2 )÷÷		.	(6.8)
	M	÷
		÷
	f , ek )ø÷

Def. Углом между вектором f	и подпространством W называется					угол
между f и его ортогональной проекцией f0 .
Def. Расстоянием от f до подпространства W называется			f - f0			, где
f0 - ортогональная проекция f	на W .
N. Даны a = (1; 0;1;1), b = (0;1;1; 0), c = (0;1;1;1) и m = (2;1; -1;1). Найти:
а) проекцию m на линейную оболочку векторов a, b, c;
б) угол между m и L (a,b, c);
в) расстояние от m до L (a,b, c).
Решение.
а) Пусть m0 - проекция m на L (a,b, c). Тогда
m0 = xa + yb + zc,						(6.9)
где (x, y, z) - решение системы

46

æ x ö			æ(m, a) ö
ç	÷	=	ç	(m, b)	÷	(6.10)
Г (a, b, c)ç y	÷		ç		÷.
ç	÷		ç	(m, c)	÷
è z	ø		è		ø

(m, a) = 2 -1+1 = 2; (m,b) = 1-1 = 0;(m, c) = 1-1+1 = 1.

																																								æ(a, a)										(b, a)														(c, a) ö
																					Г (a, b, c) =																			ç		(a, b)								(b, b)														(c, b)						÷
																																								ç																														÷
																																								ç		(a, c)									(b, c)													(c, c)						÷
																																								è																														ø
(a, a) = 3; (b, a) = (a,b) =1; (c, a) = (a, c) = 2; (b,b) = 2; (c,b) = (b, c) = 2; (c,c) = 3.
	Таким образом,
			æ3								1								2 ö
			ç					1			2								2		÷				и система (6.10) принимает вид:
	Г (a, b, c) = ç																				÷
			ç					2			2								3		÷
			è																		ø
																																		ì3x + y + 2z = 2,
																																		ï
																																		íx + 2 y + 2z = 0,
																																		ï
																																		î2x + 2 y + 3z = 1.
	Решая систему, например, по формулам Крамера, получаем:
																													x =						2				, y = -								2			, z =													1	.
																																		3											3																3
	Из соотношения (6.9) получаем:
	m0 =	2									2																		1																æ				2							1					1					ö								m
			(1;0;1;1)							-				(0;1;1; 0) +																			(0;1;1;1) = ç																			; -							;					;1÷ - проекция																	на
		3									3																		3																				3												3
																																													è											3										ø
линейную оболочку векторов a, b, c.
б) Пусть j - угол между m и L (a,b, c).																																																	Значит,																	j - угол между m и m0 .
		j = arccos									(m, m0 )														= arccos																					4					-		1	-			1			+1												= arccos	5					.
																																														3							3				3
												m						m0
																																								4 +1+1 +1 ×																			4		+				1		+	1	+1				105
																																																											9						9			9
в) Расстояние от m до L (a,b, c) равно расстоянию от m до m0 , т.е.																																																																	m - m0				.
	m - m0		æ					2						1												1						ö		æ						4				4					4						ö
			= ç2 -							;1+									; -1-									; 0				÷		= ç									;		; -						; 0				÷.
								3						3												3														3				3					3
			è																													ø		è																					ø
																											=				4								.
	m - m				=		16		+		16			+						16				+ 0												3
		0			9						9								9															3

47

Метод наименьших квадратов

Пусть величина y - линейная функция величин x1 , x2 ,..., xm , т.е. y = c1 x1 + c2 x2 +... + cm xm ,

где ci - неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты можно найти экспериментально. Для этого производится ряд измеренийx1 , x2 ,..., xm , y. Пусть в таблице представлены результаты таких измерений.

	№	x1	x2	…	xm	y
	измерения
	1	x11	x21	…	xm1	y1
	2	x12	x22	…	xm 2	y2
	…	…	…	…	…	…
	k	x1k	x2k	…	xmk	yk

Обычно k > m. Коэффициенты ci				определим из системы
ìx	c + x		c	+... + x	c	= y ,
ï 11	1	21	2	m1	m	1	,
ïx12c1		+ x22c2 +... + xm 2cm = y2
í...........................................							(6.11)
ï
ïx	c	+ x	c	+... + x	c	= y	.
î 1k	1	2k 2		mk m		k

Поскольку	измерения связаны			с погрешностями, то вообще говоря
система (6.11)	несовместна		и точно	решать ее бессмысленно. Поэтому
необходимо	найти ci	так,	чтобы	они удовлетворяли системе(6.11)
приближенно.
Поставим задачу: найти ci			так, чтобы левые части были наиболее близки

кправым частям. В качестве «меры близости» берется квадратичное

отклонение левых частей уравнений системы (6.11) от свободных членов.

k

å(x1i c1 + x2i c2 + ... + xmi cm - yi )2 = d.

i =1

Необходимо найти ci так, чтобы d было минимальным. Рассмотрим векторы

e1 = (x11, x12 ,..., x1k ), e2 = (x21 , x22 ,..., x2k ),..., em = (xm1 , xm2 ,..., xmk ), f = ( y1, y2 ,..., yk ).

Всистеме(6.11) правые части – координаты вектора f , а левые –

координаты	вектора f	* = c e	+ c e	+... + c	e . Тогда d =		f - f *		2 .	Таким
		1 1	2 2	m	m
образом d	будет минимальным			тогда	и только тогда, когда					f * -
ортогональная проекция		f на L(e1 , e2 ,..., em ).

48

Таким образом, метод наименьших квадратов решения системы

линейных уравнений AX = B состоит в том, чтобы отыскать проекцию
вектора-столбца	свободных членов B			на линейную	оболочку	столбцов
A1 , A2 ,..., Am	матрицы		системы. Решением		системы		будут
коэффициенты	в	разложении		найденной	проекции	по	столбцам
A1 , A2 ,..., Am .
N. Решить систему линейных уравнений методом наименьших квадратов
		ì2x + 3y + z = 1,
		ï	- y + z =1,
		ïx
		í
		ï3x + y + 2z =1,
		ï	+ y + z = 1.
		îx

Решение.

Рассмотрим b = (1;1;1;1), a1 = (2;1;3;1), a2

= (3; -1;1;1), a3 = (1;1; 2;1).

Пусть

b0 -

проекция b

на L(a1 , a2 , a3 ),

которую ищем в виде

b0 = xa1 + ya2 + za3.

Коэффициенты x,

y,

z

найдем из системы

æ x ö

æ (b, a ) ö

Г (a , a

2

, a )

ç y

÷ =

ç

(b, a1 )

÷.

1

3

ç

÷

ç

2

÷

ç z

÷

ç

(b, a )

÷

è

ø

è

3

ø

(b, a1 ) = 7, (b, a2 ) = 4, (b, a3 ) = 5.

æ (a1 , a1 ) (a2 , a1 ) (a3 , a1 ) ö æ15 9 10 ö

Г (a , a

2

, a ) =

ç

(a , a

2

) (a

2

, a

2

) (a , a

2

)

÷ = ç 9

12

5

÷.

1

3

ç

1

3

÷ ç

÷

ç

(a , a ) (a

2

, a ) (a , a )

÷ ç10

5

7

÷

è

1

3

3

3

3

ø

è

ø

Таким образом, имеем систему уравнений:

								ì15x + 9 y +10z = 7,
						ï
								í9x +12 y + 5z = 4,
						ï
								î10x + 5 y + 7z = 5,
решая которую получим x = -									7	,	y =	2	,	z =	5	.
						9					9			3
Ответ. x = -	7	,	y =	2	,	z =	5	.
9			9			3

49

ЛЕКЦИЯ 7.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ИХ МАТРИЦЫ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД ЛИНЕЙНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ И МАТРИЦАМИ. ЯДРО И ОБРАЗ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. РАНГ И ДЕФЕКТ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА.

Линейные операторы, их матрицы и простейшие свойства. Операции над линейными операторами и матрицами.

Def. Пусть V - линейное пространство над полем P. Пусть задана функция j(x) :V ®V . j(x) называется линейным оператором, если выполняются следующие условия:

1)j(a + b) = j(a) +j(b), "a, b ÎV (свойство аддитивности оператора);

2)j(la) = lj(a), "a ÎV , "l Î P (свойство однородности оператора).

Обозначают j(x) или j x.

N. Пусть V - пространство многочленов степени не меньше n, и j( f ) = df

					dx
– оператор дифференцирования. Очевидно, что j - линейный оператор.
N. Пусть задано отображениеj : R	2	® R	2	и	j
					(x; y) ¾¾®(3x - y; x + 2 y).

Докажите, что j - линейный оператор.

Решение.

Пусть a = (x1 , y1 ), b = (x2 , y2 ).

j(a) +j(b) = (3x1 - y1 ; x1 + 2 y1 ) + (3x2 - y2 ; x2 + 2 y2 ) =

=(3x1 + 3x2 - y1 - y2 ; x1 + x2 + 2 y1 + 2 y2 ).

a + b = (x1 + x2 ; y1 + y2 );

j(a + b) = (3(x1 + x2 ) - ( y1 + y2 );(x1 + x2 ) + 2( y1 + y2 )) = = (3x1 + 3x2 - y1 - y2 ; x1 + x2 + 2 y1 + 2 y2 ).

Т.е. j(a + b) = j(a) +j(b), "a, b Î R2 . la = (lx1; l y1 ).

j(la) = (3lx1 - l y1; lx1 + 2l y1 );

lj(a) = l (3x1 - y1 ; x1 + 2 y1 ) = (3lx1 - l y1; lx1 + 2l y1 ). Значит, j(la) = lj(a), "a Î R2 , "l Î R.

50