АиГ2015-2016 / Лекции / Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2
.pdfЛЕКЦИЯ 12.
ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ МЕТОДОМ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
Lemma |
Пусть |
R - вещественное |
евклидово |
пространство |
|
и |
|||||
|
T = (cij ) - матрица перехода |
от |
ортонормированного |
базиса |
|
|
|||||
|
e = (e1 , e2 ,..., en ) |
|
к |
другому |
ортонормированному |
|
базису |
||||
|
e¢ = (e1¢, e2¢,..., en¢ ). Тогда T -1 = T T . |
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. |
T = (cij ) |
- матрица |
перехода |
от |
базисаe к |
¢ |
то |
|
|||
базису e , |
|
||||||||||
ei¢ = c1i e1 + c2i e2 +... + cni ei "i = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
1; n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим |
линейное |
преобразованиеj |
с матрицейT . Согласно |
|
|||||||
условию |
леммы j |
переводит |
ортонормированный |
базис |
в |
||||||
ортонормированный. Значит, |
j - |
ортогональный оператор. Тогда j* = j-1 , |
|
||||||||
т.е. T * = T -1 , но T * = T T Þ T T = T -1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть в евклидовом пространстве R |
выбран ортонормированный базис |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
e1 , e2 ,..., en |
и |
дана |
|
|
билинейная |
Bформа(x, y) = å aij xi y j , |
где |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
i , j =1 |
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = åxi ei , y = å y j ej . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i =1 |
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим линейное преобразование j с такой же матрицей A = (aij ) в
том же базисе e1 , e2 ,..., en . |
|
|
|
|
|
|
Согласно (11.7) при переходе к |
|
¢ |
¢ |
,..., e |
¢ |
матрица |
новому базисуe , e |
|
|||||
билинейной формы перейдет в матрицу |
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = T T |
AT |
¢ . |
|
|
|
|
e®e¢ |
e®e |
|
|
|
|
|
А матрица линейного преобразования j , |
согласно (7.3), в матрицу |
A¢ = T -1¢ ATe ®e¢.
e®e
Согласно лемме T -1 = T T . Следовательно, матрица билинейной формы и матрица линейного оператора преобразовываются одинаково.
Таким образом, в евклидовом пространстве любой билинейной форме
соответствует вполне определенное линейное преобразование, имеющее ту же матрицу в произвольном ортонормированном базисе.
81
Если B(x, y) - симметричная билинейная , формато j - самосопряженный оператор. Но матрица самосопряженного оператора в некотором ортонормированном базисе e1 , e2 ,..., en имеет диагональный вид:
æl |
0 ö |
|
ç |
1 |
÷ |
ç |
O |
÷, |
ç |
0 |
÷ |
è |
ln ø |
где ei - собственные |
векторы этого оператора, а |
li - |
соответствующиеим |
|||||
собственные значения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом базисе билинейная форма приводится к виду |
|
|
|
|
||||
|
|
B(x, y) = l 1 x1¢y1¢ + l 2 x2¢ y2¢ +... + l n xn¢ yn¢ , |
|
|
(12.1) |
|||
а соответсвующая квадратичная форма, следовательно, |
приводится к |
|||||||
каноническому виду: |
B(x, x) = l 1 x1¢2 + l 2 x2¢2 +... + l n xn¢2 . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(12.2) |
|||
Этот |
метод |
называетсяметодом ортогонального |
преобразования |
|||||
приведения квадратичной формы к каноническому виду. |
|
|
|
|
||||
N. Привести |
квадратичную форму f (x, x) = 7x2 + 6x2 + 5x2 - 4x x |
- 4x x . к |
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
2 |
3 |
каноническому виду методом ортогонального преобразования и найти канонический базис.
Решение.
Запишем матрицу заданной квадратичной формы:
|
æ 7 |
-2 |
0 |
ö |
|
A = |
ç |
-2 |
6 |
-2 |
÷ |
ç |
÷. |
||||
|
ç |
0 |
-2 |
5 |
÷ |
|
è |
ø |
Найдем собственные значения матрицы A.
7 - l |
-2 |
0 |
|
-2 |
6 - l |
-2 |
= 0. |
0 |
-2 |
5 - l |
|
Решив, полученное уравнение, имеем l1 = 3, l2 = 6, l3 = 9.
Таким образом, канонический вид заданной квадратичной формы: f (x, x) = 3y12 + 6 y22 + 9 y32 .
Для отыскания канонического базиса найдем собственные векторы.
82
|
|
|
ì4x - 2 y = 0, |
Если l = 3, |
то ( A - lE ) X = 0 |
Û |
ï |
í-2x + 3y - 2z |
|||
|
|
|
ï |
|
|
|
î-2 y + 2z = 0; |
Фундаментальная система решений: f1 |
= (1; 2; 2). |
||
|
|
|
ìx - 2 y = 0, |
Если l = 6, |
то ( A - lE ) X = 0 |
Û |
ï |
í-2x - 2z = 0, |
|||
|
|
|
ï |
|
|
|
î-2 y - z = 0; |
Фундаментальная система решений: f2 |
= (2;1; -2). |
||
|
|
|
ì-2x - 2 y = 0, |
Если l = 9, |
то ( A - lE ) X = 0 |
Û |
ï |
í-2x - 3y - 2z |
ïî-2 y - 4z = 0;
Фундаментальная система решений: f3 = (2; -2;1).
|
ì |
3y - 2z |
|
|
ïx = |
|
, |
|
2 |
||
= 0, Û |
ï |
|
|
|
|
||
íy = z, |
|
ïïz Î R.
î
ìx = 2 y,
ï
Û íy Î R, ïîz = -2 y.
ìx = 2z,
ï
= 0, Û íy = -2z, ïîz Î R.
Векторы |
|
|
|
f1 , f2 , f3 |
|
ортогональны, |
т.к. |
|
это |
|
|
|
собственные |
векторы, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
соответствующие |
|
|
различным |
|
собственным |
значениям. Нормируем |
|
эту |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
систему векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
f1 |
|
= |
|
f2 |
|
|
= |
|
|
f3 |
|
|
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
e = |
f1 |
= æ |
1 |
; |
2 |
; |
2 |
ö |
; e = |
f2 |
|
= æ |
2 |
; |
1 |
; - |
2 |
ö |
; e = |
|
|
f3 |
= |
æ 2 |
; - |
2 |
; |
1 |
ö. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
2 |
|
f2 |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
3 |
|
|
f3 |
|
3 3 3 |
÷ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è 3 3 3 ø |
|
|
è 3 3 3 ø |
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
e1 , e2 , e3 |
- канонический базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
N. Привести квадратичную форму f (x, x) = 3x2 |
+ 3x2 |
+ 4x x |
2 |
+ 4x x |
- 2x x . к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
1 |
|
1 |
3 |
2 |
3 |
каноническому виду методом ортогонального преобразования и найти канонический базис.
Решение.
Запишем матрицу заданной квадратичной формы:
|
æ0 |
2 |
2 ö |
||
A = |
ç |
2 |
3 |
|
÷ |
ç |
-1÷. |
||||
|
ç |
2 |
-1 |
3 |
÷ |
|
è |
ø |
Найдем собственные значения матрицы A.
-l |
2 |
2 |
|
2 |
3 - l |
-1 |
= 0. |
2 |
-1 |
3 - l |
|
83
Решив, полученное уравнение, имеем l1,2 = 4, l3 = -2.
Таким образом, канонический вид заданной квадратичной формы: f (x, x) = 4 y12 + 4 y22 - 2 y32 .
Для отыскания канонического базиса найдем собственные векторы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì-4x + 2 y + 2z = 0, |
|
ìx, y Î R, |
|||||||||||||||
Если l = 4, то ( A - lE ) X = 0 Û |
ï |
|
- y |
- z = |
0, |
|
Û |
||||||||||||||||||||||||
í2x |
|
í |
|
= 2x - y. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
- y |
- z = |
0; |
|
|
îz |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Фундаментальная система решений: |
f1 |
= (1; 0; 2), |
f2 |
= (0;1; -1). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì2x + 2 y + 2z = 0, |
|
ìx = -y - z, |
|||||||||||||||
Если l = -2, |
то ( A - lE ) X = 0 |
Û |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
Û |
ï |
|
= z, |
|||||||||||||||
í2x + 5 y - z |
íy |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0; |
|
ï |
|
Î R. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î2x - y + 5z |
|
îz |
|||||||||||||||
Фундаментальная система решений: |
f3 |
= (-2;1;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Векторыf и f |
3 |
, f |
2 |
и f |
3 |
|
ортогональны, |
т.к. соответствуют различным |
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
собственным значениям. Ортогонализируем систему векторов |
|
f1 , f2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1¢= f1 = (1;0; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2¢ = f2 +a f1¢ |
|
× f1¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
¢ |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
¢ |
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f2 , f1 ) = ( f2 , f1 ) +a ( f1 , f1 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Найдем значение a, |
|
при котором ( f2¢, f1¢) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
¢ ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
( f2 , f1¢) |
|
0 + |
0 - 2 |
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
( f2 , f1 )+a ( |
f1 , f1 ) = 0 Þ a = - |
|
|
|
¢ ¢ = - |
|
|
|
|
= |
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f1 , f1 ) |
|
1+ 0 + 4 5 |
|
||||||||||
Тогда f ¢ = f |
|
+ |
2 |
f ¢= |
(0;1; -1)+ |
2 |
(1; 0; 2) |
= æ |
2 |
;1; - |
1 |
ö. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
5 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 5 |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f3¢ = f3 = (-2;1;1).
Нормируем систему векторов f1¢, f2¢, f3¢.
|
f1¢ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2¢ |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
+1+ |
1 |
= |
30 |
; |
|
f |
3¢ |
|
= |
|
= |
|
|
|||||||||||
|
|
1+ 4 |
5; |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
4 +1 +1 |
6. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
25 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
g |
|
= |
f1 |
|
|
= |
æ |
|
; 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
f1¢ |
|
|
|
|
ç |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
f ¢ |
|
|
æ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ö |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
g2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
; - |
|
|
|
ï |
канонический ортонормированный базис. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
2 |
|
|
|
= ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ý |
||||||||||||||||||||||||
f2¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
30 |
ø |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
f |
3¢ |
|
|
|
æ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ö |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
g3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
= ç |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
f |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
ø |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84
ЛЕКЦИЯ 13.
ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА.
Закон инерции квадратичных форм.
Приводя квадратичную форму к каноническому виду различными способами, мы, очевидно, будем получать различные коэффициенты. Однако справедливо следующее утверждение, которое носит название закона инерции квадратичных форм.
Th. 13.1 |
Если |
квадратичная |
|
форма приводится к сумме квадратов |
в |
|
||||||||
|
двух |
|
различных |
|
|
базисах, то |
число |
положительных |
|
|
||||
|
коэффициентов и число отрицательных коэффициентов |
в |
|
|||||||||||
|
обоих случаях одно и то же. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Доказательство. |
|
базисеe , e ,..., e |
|
квадратичная |
|
форма |
приводится |
к |
||||||
Пусть |
в |
|
|
|||||||||||
каноническому виду: |
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A(x, x) = x2 |
+ x2 |
+... + x2 |
- x2 |
-... - x2 |
. |
(13.1) |
|
|
||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
p |
p +1 |
|
p+q |
|
|
|
|
А в базисе e1¢, e2¢,..., en¢ она приводится к каноническому виду:
|
|
|
|
A(x, x) = x1¢2 + x2¢2 + ... + xk¢2 - xk¢2+1 -... - xk¢2+m . |
|
|
|
(13.2) |
||||||||
|
Предположим, |
что |
p > k. |
Рассмотрим R1 = L (e1 , e2 ,..., ep ) Ì R и |
||||||||||||
R2 |
= L (ek¢+1 ,ek¢+2 ,..., en¢ ) Ì R. |
Заметим, что |
|
dim R1 = p и dim R2 |
= n - k. |
|||||||||||
dim R1 + dim R2 = p + n - k > n Þ R1 I R2 |
¹ Æ. |
|
Пусть x ÎR1 I R2 (x ¹ 0). |
|||||||||||||
Тогда, |
т.к. |
x ÎR1 , |
то x = a1e1 +a2e2 +... +a p ep |
æ |
åai2 |
¹ 0 |
ö |
Поскольку |
||||||||
ç |
÷. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
i |
|
|
ø |
|
x ÎR2 , |
то x = b1ek¢+1 + b2ek¢+2 +... + bn-k en¢ |
æ |
åbi2 |
¹ 0 |
ö |
|
|
|
|
|
||||||
ç |
÷. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
i |
|
ø |
|
|
|
|
|
Из (13.1) для x |
имеем A(x, x) = a 2 |
+a 2 +... +a 2 |
> 0. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
Из |
(13.2) |
для |
x |
имеем A(x, x) = -b 2 - b |
2 -... - b 2 |
£ 0 |
|
|
(неравенство |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
k +m |
|
|
|
|
нестрогое, т.к. возможно, что |
k + m < n ). |
Получили |
|
|
противоречие. |
|||||||||||
Следовательно |
p £ k. Аналогичноможнопоказать, |
что k £ p. |
|
Значит, p = k. |
||||||||||||
Так же доказывается, что и |
q = m |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
Определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
Def. Квадратичная форма A(x, x) называется положительно определенной,
если A(x, x) > 0 "x ¹ 0.
Def. Квадратичная форма A(x, x) называется отрицательно определенной,
если A(x, x) < 0 |
"x ¹ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Def. |
Квадратичная |
форма A(x, x) |
называется положительно |
|
|||||||||||||
полуопределенной, если A(x, x) ³ 0 |
"x ¹ 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Def. |
Квадратичная |
форма A(x, x) |
называется отрицательно |
|
|||||||||||||
полуопределенной, если A(x, x) £ 0 |
"x ¹ 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
N. Рассмотрим билинейную форму B(x, y) = (x, y). Тогда, соответствующая |
|
||||||||||||||||
ей |
квадратичная |
формаB(x, x) = (x, x) , |
является |
положительно |
|||||||||||||
определенной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
N. Рассмотрим квадратичную форму |
f (x, x) = (x1 + x2 + x3 )2 - 2 (x2 - x3 )2 . |
|
|||||||||||||||
При x1 |
= 0, x2 = 1, x3 |
= -1 f (x, x) < 0. |
А при |
x1 = x2 = x3 |
= 1 f (x, x) > 0. |
|
|||||||||||
Значит, |
f (x, x) |
не является ни положительно определенной, ни отрицательно |
|
||||||||||||||
определенной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Очевидно, |
что |
положительно |
определенная |
квадратичная |
форма |
||||||||||||
приводится к сумме квадратов с положительными коэффициентами, |
|||||||||||||||||
отрицательно определенная форма– к сумме квадратов с отрицательными |
|
||||||||||||||||
коэффициентами. Сформулируем |
критерий, который |
позволит |
выяснить, |
|
|||||||||||||
является ли квадратичная форма положительно определенной, не сводя ее к |
|
||||||||||||||||
каноническому виду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Th. 13.2 |
(критерий Сильвестра) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Для |
того, чтобы |
квадратичная |
формаA(x, x) |
была |
|
|
|||||||||
|
|
положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы |
|
|
|||||||||||||
|
|
ее главные миноры Di > 0, где |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
D1 = a11 , D2 |
= |
|
a11 |
a12 |
|
,..., Dn = det (aij .) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Доказательство (индукция по числу переменных). |
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) Пусть n = 1. Тогда A(x, x) = a |
x2 . |
В этом случае тверждение теоремы |
|
||||||||||||||
очевидно. |
|
|
11 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m-1 |
|
|
|
2) Пусть теорема справедлива для n = m -1, |
т.е. для A(x, x) = å aij xi x j . |
|
i, j =1
86
3) Докажем справедливость утверждения теоремы для n = m, т.е. для
m
A(x, x) = å aij xi x j .
i, j =1
Необходимость. Пусть A(x, x) > 0, |
докажем, что Di > 0. |
|
|
|
|||||
m-1 |
m -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x, x) = å aij xi x j + 2åaim xi xm + amm xm2 . |
|
|
|
|
|||||
i , j =1 |
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14243 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B ( x ,x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(x, x) > 0. Иначе, если |
бы B(x, x) £ 0, то для x = (x1 ,..., xm , 0) A(x, x) £ 0, а |
||||||||
это не так. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По предположению |
индукции D1 > 0, D2 > 0, ... , Dm -1 > 0. |
Покажем, |
что |
||||||
Dm = det (aij ) > 0. Т.к. A(x, x) > 0, |
то в некотором базисе она приводится к |
||||||||
каноническому виду |
|
¢2 |
|
¢2 |
|
¢2 |
- ее матрица в этом |
||
A(x, x) = x1 |
+ x2 |
+ ... + xm . Пусть B |
|||||||
базисе, тогда det B = 1 > 0. Согласно (11.7): |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
B = T T AT , |
|
|
|
|
||
где A - матрица квадратичной формы в старом базисе, |
B - в новом базисе, |
||||||||
T - матрица перехода от старого базиса к новому. |
|
|
|
||||||
|
det B = det T T ×det A ×det T = det A×(det T )2 . |
(13.3) |
|||||||
Поскольку det B > 0, |
то det A = Dm > 0. |
|
|
|
|
||||
Достаточность. |
Пусть |
|
D1 > 0, D2 |
> 0, ... , Dm > 0. Докажем, |
что |
||||
|
|
|
|
|
|
m -1 |
|
|
|
A(x, x) > 0. Из предположения |
|
индукцииB(x, x) = å aij xi xj |
> 0. Значит, в |
||||||
|
|
|
|
|
|
i, j =1 |
|
|
|
некотором базисе она приводится к каноническому виду: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
¢2 |
¢2 |
¢2 |
|
|
|
|
|
B(x, x) = x1 |
+ x2 + |
... + xm -1. |
|
|
|
Сделав соответствующую замену переменных и положив xm = xm¢ имеем:
|
¢2 |
|
|
¢2 |
¢2 |
|
¢ ¢ |
|
¢ ¢ |
¢ |
¢ |
¢2 |
= |
||||
A(x, x) = x1 |
+ x2 |
+ ... + xm-1 |
+ 2 (b1m x1 xm |
+ b2m x2 xm |
+... + bm-1,m xm -1 xm )+ amm xm |
||||||||||||
¢ |
¢ |
|
2 |
|
¢ |
|
¢ |
2 |
|
|
¢2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
= (x1 |
+ b1m xm ) |
|
+... + (xm-1 + bm-1,m xm ) |
|
+ bxm , где |
b = anm - b1m |
- b2m |
-... - bm -1. |
|||||||||
Положим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"i = 1; m -1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
yi = xi |
+ bim xm |
|
|
|
ym = xm¢ .
Получим A(x, x) = y12 + y22 +... + bym2 .
Если |
B - матрица квадратичной формы в новом базисе, |
то det B = b. |
|
Согласно |
(13.3) знаки det B и Dm = det A |
совпадают, |
т.е. b > 0. |
Следовательно, A(x, x) > 0 .
87
Следствие (критерий отрицательно определенной формы).
Квадратичная форма A(x, x) отрицательно определена тогда и только
тогда, когда D1 < 0, D2 |
> 0, D3 |
< 0,... и т.д. То есть знаки главных миноров |
|||||||||||||||||
чередуются, начиная со знака «минус». |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
A(x, x) |
|
отрицательно |
определена |
|
тогда |
и |
только , когдатогда |
||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-A(x, x) = å (-aij )xi x j |
положительно определена, |
т.е. все главные миноры |
||||||||||||||||
|
|
i , j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ -a11 |
-a12 |
|
-a1n ö |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
ç |
-a |
|
-a |
|
... |
-a |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
21 |
. |
22 |
. |
2n ÷ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç . |
|
|
. |
÷ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
-an1 |
-a2n |
... |
|
÷ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
-ann ø |
|
||||||
были положительны. Отсюда имеем: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
-a11 > 0 Û D1 = a11 < 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
-a11 |
-a12 |
|
= a a - a a |
21 |
> 0 Û D |
2 |
> 0. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
-a21 |
-a22 |
|
11 |
22 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
-a11 |
-a12 |
|
-a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
-a21 |
-a22 |
|
-a23 |
= -D3 > 0 Û D3 < 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
-a31 |
-a32 |
|
-a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И так далее. То есть знаки главных миноров чередуются, начиная со знака «минус» .
N. Определить, является ли квадратичная форма, заданная своей матрицей, положительно определенной или отрицательно определенной.
|
|
æ-4 0 |
2 ö |
|
|
|
æ1 2 2 ö |
|
|
|
æ 2 |
-1 2 ö |
||||||||||
а) |
B = |
ç |
0 |
-4 2 |
÷ |
; |
б) |
B = |
ç |
2 |
6 |
-2 |
÷ |
; |
в) |
B = |
ç |
-1 1 |
-3 |
÷ |
||
ç |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
÷. |
|||||||||||||||||
|
|
ç |
2 |
2 |
-6 |
÷ |
|
|
|
ç |
2 |
2 |
1 |
÷ |
|
|
|
ç |
2 |
-3 |
11 |
÷ |
|
|
è |
ø |
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
è |
ø |
Решение.
а) D = -4 < 0; D |
|
|
-4 0 |
|
|
|
-4 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
= |
=16 > 0; D |
3 |
= |
0 -4 2 |
= -64 < 0. |
|||||
1 |
|
0 |
-4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
-6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, квадратичная форма отрицательно определена согласно следствию из критерия Сильвестра.
88
б) D = 1 > 0; D |
2 |
= |
1 |
2 |
= 2 > 0. Значит, квадратичная форма не является ни |
|||||||||
1 |
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
положительно определенной, ни отрицательно определенной. |
||||||||||||||
в) D = 2 > 0; D |
|
|
2 -1 |
|
|
|
|
2 |
-1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
= |
= 1 > 0; D |
3 |
= |
|
-1 1 -3 |
|
= 1 > 0. |
||||||
1 |
|
-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-3 |
11 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, согласно критерию Сильвестра квадратичная форма является положительно определенной.
ЛЕКЦИЯ 14.
ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ.
Def. Пусть |
на плоскости выбрана |
прямоугольная |
|
декартова |
|
система |
|||||||||||
координат. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют |
|||||||||||||||||
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
x2 + 2a xy + a y2 |
+ 2a x + 2a y + a = 0, |
|
|
|
(14.1) |
|
||||||
|
|
|
|
11 |
12 |
22 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называют кривой второго порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Th. 14.1 |
|
Уравнение (14.1) |
задает |
либо |
эллипс, |
либо |
гиперболу, |
либо |
|
||||||||
|
|
|
параболу, |
либо |
пару |
прямых, либо |
|
точку, |
либо |
пустое |
|
||||||
|
|
|
множество. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пусть e1 , e2 |
- орты координатных осей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Первые три слагаемые уравнения (14.1) задают квадратичную форму |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
f (x, x) = a x2 |
+ 2a |
xy + a |
22 |
y2 . |
|
|
|
(14.2) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В некотором ортонормированном базисе e1¢, e2¢ |
она имеет канонический вид: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
f (x, x) = l1 x¢2 + l2 y¢2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
l1 , l2 |
- |
собственные |
числа |
|
|
|
æ a |
a |
ö |
, а e1¢, e2¢ |
- |
|
||||
матрицыA = ç |
11 |
12 |
÷ |
|
|||||||||||||
соответствующие собственные векторы. |
|
|
èa12 |
a22 ø |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пусть вектор e1¢ |
получается из вектора e1 поворотом на |
уголj. |
Тогда |
|||||||||||||
e2¢ |
может быть получен из e2 |
одним из двух способов: 1) поворот на угол j |
89
(рис. 14.1); 2) поворот на угол j и симметрия относительно начала отсчета
(рис. 14.2).
Рис. 14.1 |
Рис. 14.2 |
На рис. 14.2 вектор e2¢¢ = -e2¢ - |
собственный вектор матрицыA, |
соответствующий тому же собственному значению, что и векторe2¢. Действительно, пусть матрица A - матрица линейного оператораy и
y (e2¢ ) = l2e2¢. Тогда y (e2¢¢) = -y (e2¢ ) = -l2e2¢ = l2 e2¢¢.
Таким образом, можно считать, что новый базис получен из старого путем поворота на угол j, т.е.
e1¢ = cosje1 + sinje2 , e2¢ = -sinje1 + cosje2 .
Матрица перехода к новому базису имеет вид:
|
|
|
|
|
Te®e¢ = |
æ cosj |
-sinj ö |
|
||
|
|
|
|
|
ç |
|
÷. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
è sin j |
cosj ø |
|
|
Обозначим |
æ x ö |
, |
X |
¢ |
= |
æ x¢ ö |
|
|
¢ |
т.е. |
X = ç ÷ |
|
ç ÷. |
Тогда X = Te®e¢ X , |
|||||||
|
è y ø |
|
|
|
|
è y¢ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
ìx = cosj x |
- sin j y , |
(14.3) |
||
|
|
|
|
|
|
í |
|
¢ |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
îy = sin jx |
|
+ cosj y . |
|
Подставим(14.3) в уравнение(14.1), получим:
|
l1 x¢2 + l2 y¢2 + 2b1 x¢+ 2b2 y¢ + b = 0. |
(14.4) |
|||||||||
Описанное |
преобразование |
координат |
называетсяприведением |
к |
|||||||
главным осям. |
|
|
|
|
матрицыA, |
|
|
|
|||
l1 , l2 - собственные значения |
|
которые |
находятся |
из |
|||||||
уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(l) = |
|
a11 - l |
a |
a12 |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a |
22 |
- l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. матрица A симметрическая, то l Î R Þ l1l2 = q(0), |
т.е. |
|
90