АиГ2015-2016 / Лекции / Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2

Пусть l = 5, ему соответствует система уравнений:

æ -4 2 öæ x

ö

Û

ì-4x + 2x = 0,

Û x2 = 2x1 , x1 Î R.

ç

֍ 1

÷ = 0

í

1

2

è

4 -2 øè x2 ø

î4x1

- 2x2 = 0;

x¢¢ = (1; 2) -

фундаментальная

система

решений полученной системы. Вся

совокупность

собственных

векторов, соответствующих

собственному

значению l = 5, имеет вид

x = C2 (1; 2) = (C2 ; 2C2 ),

C2 Î R.

Th. 8.5

Пусть

дано

линейное

пространствоV (dimV = n)

и

j :V ® V -

линейный оператор,

который имеет n линейно

независимых векторов. Если выбрать их в качестве базиса, то

матрица

оператора j

будет

иметь диагональный вид. И

наоборот,

если

в

некоторм

базисе

матрица

линейного

оператора имеет диагональный вид, то все векторы этого

базиса собственные.

Доказательство.

Пусть

e1 , e2 ,..., en -

линейно независимые

собственные векторы, тогда

j(e1 ) = l1e1 , j(e2 ) = l2e2 , ..., j(en ) = ln en .

Тогда

матрица

оператора

в этом

базисе имеет вид:

æl

0 ...

0 ö

ç

1

l2 ...

0

÷

A = ç

0

÷.

ç . . .

.

÷

ç

0

0

÷

è

... ln ø

Обратное

утверждение

очевидно .

Th. 8.6

Если e1 , e2 ,..., en

- собственные векторы линейного оператора

j

и соответствующие им собственные значенияl1 , l2 ,..., ln

попарно различны, то e1 , e2 ,..., en

- линейно независимы.

Доказательство.

Применим метод математической индукции.

1) При k = 1 утверждение очевидно.

вектора.

Докажем

его

2) Пусть утверждение верно для k -1

справедливость для k векторов. Пусть e1 , e2 ,..., ek

- линейно зависимы, т.е.

a1e1 +a2e2 +... +ak ek

= 0

æ

k

ö

(8.6)

ç

åai2

¹ 0 ÷.

è i =1

ø

61

Пусть для определенности a1 ¹ 0. Применим к обеим частям равенства (8.6) оператор j.

j (a1e1 +a2 e2 + ... +ak ek ) = 0; a1j (e1 ) +a2j (e2 ) +... +akj (ek ) = 0;

a1l1e1 +a2l2e2 +... +ak lk ek

= 0.

(8.7)

Домножим обе части равенства (8.6) на lk :

a1lk e1 +a2lk e2 +... +ak lk ek

= 0.

(8.8)

Вычтем из равенства (8.8) равенство (8.7), получим:

a1 (lk - l1 )e1 +a2 (lk - l2 )e2 + ... +ak -1 (lk - lk -1 )ek -1 = 0.

(8.9)

Т.к. lk

¹ li "i ¹ k,

то из

равенства(8.9) следует линейная зависимость

векторов e1 , e2 ,..., ek -1 ,

что противоречит

нашему предположению. Значит,

утверждение теоремы справедливо "n Î N .

Следствие.

Если характеристический многочлен линейного оператораj

имеет n

различных корней, то матрица этого оператора может быть приведена

к

диагональному виду, т.е. оператор диагонализируем.

N.

Пусть

j : R3 ® R3 -

линейный

оператор, заданный

матрицей

æ2

1

1 ö

ç

1

2

1

÷

A = ç

÷. Выяснить является ли он диагонализируемым.

ç

1

1

2

÷

è

ø

Решение.

Найдем собственные значения оператора j.

det (A - lE ) = 0

2 - l

1

1

1

2 - l

1

= 0

1

1

2 - l

Раскрыв определитель, получим:

-l3 + 6l2 - 9l + 4 = 0.

Откуда l1 = -1, l2 = 4.

Найдем собственные векторы, соответствующие l1 = -1.

ìx + y + z = 0,

ï

íx + y + z = 0, Þ x = -y - z, z Î R. ïîx + y + z = 0.

62

			x		y		z
			-1		1		0
f1	= (-1;1;0), f2 = (-1;0;1)		-1		0		1
			–	собственные				векторы, соответствующие
l1	= -1.
Найдем собственные векторы, соответствующие l2 = 4.
	ì-2x + y + z = 0,
	ï	+ z = 0,			Þ x = z, y = z, z Î R.
	íx - 2 y
	ï
	îx + y - 2z = 0.				y
			x				z
f3			1		1		1
	= (1;1;1) – собственный вектор,				соответствующий l2 = 4.
f1	, f2 , f3 - линейно независимы, значит, оператор j диагонализируем.

ЛЕКЦИЯ 9.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. СОПРЯЖЕНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА.

САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА.

Сопряженные операторы и их свойства.

Def. Пусть V -		вещественное евклидово пространство jи -			линейный
оператор,	действующий в этом пространстве. Оператор j*				называется
сопряженным к оператору j, если
			(j(x), y) = (x,j* ( y)) "x, y ÎV .		(9.1)
Th. 9.1
	В евклидовом пространстве любому линейному операторуj
	соответствует сопряженный оператор j* и притом только
	один.
Доказательство.
Пусть	A = (aij )- матрица линейного оператора j в ортонормированном
базисе e1 , e2 ,..., en .		Рассмотрим преобразование j* с матрицей AT			= (a ji ).

63

Докажем, что (j(ei ), ek ) = (ei ,j* (ek )).

(j(ei ), ek ) = (a1i e1 + a2i e2 +... + ani en , ek ) = a1i (e1 , ek ) + a2i (e2 , ek ) + ... + aki (ek , ek ) +

+... + ani (en , ek ) = aki .

(ei ,j* (ek )) = (ei , ak1e1 + ak 2e2 +... + akn en ) = ak1 (ei , e1 ) + ak 2 (ei , e2 ) +... + aki (ei , ek ) +

+... + akn (ei , en ) = aki .

Значит, (j(ei ), ek ) = (ei ,j* (ek )).

n

n

Пусть x, y ÎV и x = åxi ei ,

y = å yk ek .

i =1

k =1

(

j(x), y

)

=

æj æ

n

x e

ö

,

n y e

ö =

æ

n x j

(

e , n y e

ö

=

n

n

x y

k (

j

e ,e .

ç

çå i i

÷

å k k ÷

ç

å i

i )å k k

÷

åå i

( i )

k )

è

è i =1

ø

k =1

ø

è i =1

k =1

ø

i =1 k =1

(x,j

*

æ

n

*

æ

n

öö

æ

n

n

*

(ek

ö

n

n

*

(ek ) =

( y))= ç

åxiei ,j

ç

å yk ek ÷÷

=

ç

åxi ei , å yk j

)÷

= ååxi yk (ei ,j

è i =1

è k =1

øø

è i =1

k =1

ø

i =1 k =1

n

n

k (

(

i

) k

)

=

åå i

j

x y

e

, e .

i =1

k =1

(j(x), y) = (x,j* ( y))

Таким

образом,

"x, y ÎV .

По

определениюj*

-

сопряженный к оператору j.

Докажем единственность сопряженного оператора. Пусть j*

и y *

-

операторы, сопряженные к j. Тогда

(j(x), y) = (x,j* ( y))=(x,y * ( y))

"x, y ÎV ,

(x,j* ( y) -y * ( y))=0 "x, y ÎV ,

(x, (j* -y * )( y))=0 "x, y ÎV .

(9.2)

Положим x = (j* -y * )( y). Подставляя в (9.2), имеем:

((j* -y * )( y), (j* -y * )( y))=0 "y ÎV .

Откуда (j* -y * )( y) =0 Þ j* ( y) -y * ( y) =0

Þ j* ( y) =y * ( y)

"y ÎV .

Следовательно, j*

=y * .

если A = (aij )-

Замечание.

Из

доказательства теоремы следует, что

матрица линейного оператора j в ортонормированном базисе, то

A* = AT

(9.3)

– матрица сопряженного оператора j* в этом же базисе.

64

Th. 9.2 (свойства сопряженных операторов)

Для линейных операторовj и y евклидова справедливы

следующие свойства:

1)(jy *)=y *j* ;

2)(j* )* = j;

3)(j +y )* = j* +y * ;

4)(lj *) = lj* "l Î R.

Доказательство.

(

)

(

)

1)

С

одной

x,y *j* ( y)

.

С

другой

стороны(jy (x), y ) = y (x),j* ( y)

=

стороны (jy (x), y) = (x,(jy *)( y)).

Таким образом,

(jy *)=y *j* .

2) Пусть j* - оператор, сопряженный к оператору j.

Тогда

(j(x), y) = (x,j* ( y)).

Обозначим

j* =y.

Имеем (j(x), y) = (x,y ( y)).

Согласно

свойствам

скалярного

произведения ( y,j(x)) = (y ( y), x).

Положив x = y,

y = x,

получим

(y (x), y ) = (x,j( y)).

Из полученного равенства следует, что y * = j, т.е. (j* )*

= j .

3)

С

одной

)

стороны((j +y )(x), y) = (x,(j +y )* ( y)). С

другой

стороны

((

j +y

)

(x), y

(

)

=

(

j(x), y

)

(

)

=

(

x,j* ( y)

)

+

(

x,y

* ( y)

)

=

= j(x) +y (x), y

+ y (x), y

(x,j* ( y) +y * ( y)) = (x,(j* +y * )( y)). Таким образом,

(j +y )*

= j* +y * .

4)

С

одной

стороны((lj)(x), y) = (x, (lj)* ( y)).

С

другой

стороны

((lj)(x), y) = (lj(x), y) = l (j(x), y) = l (x,j* ( y)) = (x, lj* ( y)) =

=(x,(lj* )( y)). Отсюда и следует доказываемое утверждение .

N. Пусть y - поворот евклидовой плоскости на уголj. Матрица этого оператора в стандартном базисе имеет вид:

æcosj	-sinj ö
A = ç	cosj	÷.
è sin j		ø

y * - оператор, сопряженный к y . Его матрица в том же базисе:

65

A* = AT = æ cosj

ç

è -sin j

sin j ö	æcos(-j)
÷	= ç
cosj ø	è sin(-j)

-sin(-j) ö

÷.

cos(-j) ø

Таким

образом, y *

-

поворот на тот

же уголj в

противоположном

направлении.

Th. 9.3

Если

A -

матрица

линейного

оператораj

в

произвольном

базисе e1 , e2 ,..., en

вещественного евклидова пространства, то

A* = G-1 (e1 , e2 ,..., en ) AT G (e1 , e2 ,..., en ).

(9.4)

Доказательство.

(x, y) = X T G(e1 , e2 ,..., en )Y ,

1) Докажем,

что

где X ,Y -

ствектор-столбцы

координат векторов x и y

соответственно.

(x, y )=

æ

n x e ,

n

y

j

e

ö

= n

n x y

e , e

.

ç

å i

i

å

j ÷

åå i

j ( i

j

)

è i =1

j =1

ø

i =1 j =1

æç (e1 , e1 )

ç(e , e ) X T G(e1 , e2 ,..., en )Y = (x1 x2 ... xn )ç 1 2

.

ç

è(e1 , en )

(e2 , e1 )		... (en , e1 )			öæ y1		ö
(e	, e )	...	(e	, e )	÷ç y		÷	=
2	2	.	n	2	÷ç	2	÷
	.			.	÷ç	M	÷
(e2	, en )	...	(en , en )		÷ç		÷
					øè yn		ø

æ n

ç åxi (e1 , ei )

è i =1

n	n
åxi (e2 , ei ) ...	åxi (en , ei )
i =1	i =1

	æ	y	ö
ö	ç	1	÷
	ç y2		÷
÷	ç	M	÷
ø
	ç		÷
	è yn ø

n

n

= y1 åxi (e1 , ei ) + y2 åxi (e2 , ei ) +

i =1

i =1

n	n	n	n n
+... + yn å xi (en , ei ) = å y j åxi (ej , ei ) = ååxi y j (ei , ej ).
i =1	j =1	i =1	i =1 j =1
Таким образом, (x, y) = X T G(e1 , e2 ,..., en )Y.				(9.5)
2) (j(x), y) = (x,j* ( y)). Учитывая, что j(x) = AX , а j* ( y) = A*Y ,				имеем:
( AX , y) = (x, A* ( y)).

Согласно (9.5) получаем:

( AX T)G(e1 , e2 ,..., en )Y = X T G(e1 , e2 ,..., en ) A*Y; X T AT G(e1 , e2 ,..., en )Y = X T G(e1 , e2 ,..., en ) A*Y; AT G(e1 , e2 ,..., en = G(e1 , e2 ,..., en ) A*;

A* = G-1 (e1 , e2 ,..., en ) AT G (e1 , e2 ,..., en ) .

66

Def. Линейный оператор j называется самосопряженным (симметричным), если j = j* , т.е.

(j(x), y) = (x,j( y)).

(9.6)

Th. 9.4 (свойства самосопряженных операторов)

Если j и y самосопряженные линейные операторы, то:

1)j +y - самосопряженный;

2)lj - самосопряженный "l Î R;

3) jy - самосопряженный тогда и только тогда, когда jy =yj.

Доказательство.

1) Пусть j и y самосопряженные линейные операторы, тогда

(j(x), y) = (x,j( y)) и (y (x), y ) = (x,y ( y)).

((j +y )(x), y ) = (j(x) +y (x), y) = (j(x), y) + (y (x), y) = (x,j( y)) + (x,y ( y) ) =

=(x,j( y) +y ( y)) = (x, (j +y )( y)).

Следовательно, по определению оператор j +y - самосопряженный.

2) Свойство	доказывается	аналогично	предыдущему(проведите
доказательство самостоятельно).
3) Пусть j и y самосопряженные линейные операторы			Û j* = j, y *	=y.
(jy *)=y *j* =yj.	С другой	стороны(jy *)= jy ,	в силу того,	что

оператор jy самосопряженный. А это возможно тогда и только тогда, когда jy =yj .

Из (9.3) следует, что в вещественном евклидовом пространствематрица самосопряженного оператора симметрична.

Th. 9.10	Собственные	значения	самосопряженного	оператора
	вещественны.
Доказательство.		вектор самосопряженного оператораj (x ¹ 0),
Пусть	x - собственный
тогда j(x) = lx. Т.к. j = j* ,		то (j(x), x) = (x,j(x))
(lx, x) = (x, lx)

l (x, x) = l (x, x).

Т.к. x ¹ 0, то и (x, x) ¹ 0. Значит, l = l. Таким образом, l Î R .

67

Lemma	Пусть j :Vn ®Vn - самосопряженный			оператор		иe его
	собственный	вектор.	Тогда	множество		векторов,
	ортогональных	к e	образуют		(n -1) - мерное
	подпространство V1 инвариантное относительно j.
Доказательство.

Пусть x ÎV1 , докажем, что j(x) ÎV1.

(x, e) = 0,	т.к. V1 - множество ортогональный векторов к e.
		(j(x), e) = (x,j(e)) = (x, le) = l (x, e ) = 0.
Значит, вектор j(x) ортогонален вектору e,						т.е. j(x) ÎV1 .
Th. 9.11	Пусть	j - самосопряженный					оператор		nв- мерном
	евклидовом пространстве R.				Тогда		существует n			попарно
	ортогональных		собственных			векторов			оператораj с
	вещественными собственными значениями.
Доказательство.
В R существует собственный вектор e1					самосопряженного оператора j.
Согласно лемме множество ортогональных к нему векторовR1									инвариантно
относительно j. Далее в R1 существует собственный вектор e2 , множество
ортогональных		к	нему	векторовR - инвариантно					относительно
					2
j (dim R2	= n - 2).	Продолжая		этот процесс, имеем				e1 , e2 ,..., en -		попарно
ортогональных		векторов,	соответствующие			им		собственные		значения
вещественны по теореме 9.10 .
Th. 9.12	Пусть	j - самосопряженный					оператор		nв- мерном
	евклидовом			пространстве.			Тогда			существует
	ортонормированный базис, в котором матрицаj									имеет
	диагональный		вид	и	вещественна. Верно				и	обратное
	утверждение.

Доказательство.

В качестве базиса возьмем систему векторовe1 , e2 ,..., en , построенную в предыдущей теореме, поскольку любые n попарно ортогональных векторов являются линейно независимыми.

j(e1 ) = l1e1 , j(e2 ) = l2e2 ,...,j(en ) = lnen (li Î R).

Матрица A оператора j имеет вид:

68

æl1		0	...	0	ö
ç	0	l	...	0	÷
A = ç		2			÷
ç .` .			.	.	÷
ç	0	0	...		÷
è				ln ø

Обратное утверждение очевидно .

Th. 9.12	Пусть j - самосопряженный				оператор	nв- мерном
	евклидовом		пространстве.		Тогда		существует
	ортонормированный базис, в котором матрицаj						имеет
	диагональный	вид	и	вещественна. Верно		и	обратное
	утверждение.

Доказательство.

Пустьl ¹ l - собственные значения самосопряженного оператора j , а

1 2

e1 , e2 - соответствующие им собственные векторы. Тогда j(e1 ) = l1e1 , j(e2 ) = l2e2 .

(j(e1 ), e2 ) = (e1 ,j(e2 )),

(l1e1 , e2 ) = (e1 , l2e2 ),

l1 (e1 , e2 ) = l2 (e1 , e2 ),

(l1 - l2 )×(e1 , e2 ) = 0.

Т.к. l1 ¹ l2 , то (e1 , e2 ) = 0 .

ЛЕКЦИЯ 10.

УНИТАРНЫЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА.

Унитарные операторы.
Def. Пусть V - евклидово пространство. Линейный			оператор j :V ® V
называется унитарным, если "x, y ÎV справедливо соотношение
	(j(x),j( y)) = (x, y)		(10.1)

Соотношение (10.1) будем называть условием унитарности оператора.

Следующие теоремы выражают свойства унитарных операторов.

69

Th. 10.1 Унитарный оператор j сохраняет модули векторов.

Доказательство.

j(x) 2 = (j(x),j(x)) = (x, x =) x 2 . Значит, j(x) = x.

Следствие. Унитарный оператор сохраняет углы между векторами.

Th. 10.2 Если l - собственное значение унитарного оператораj, то

l =1.

Доказательство.

Пусть x - собственный вектор унитарного оператора l - соответствующее собственное значение. Тогда

(x, x) = (j(x),j(x)) = (lx, lx) = ll (x, x). Следовательно, ll = 1 Þ l =1 .

Th. 10.3	Для того, чтобы		линейный операторj , действующий в
	евклидовом пространстве V , был унитарным, необходимо и
	достаточно, чтобы было выполнено соотношение
				j* = j-1.			(10.2)
Доказательство.
1) Необходимость.		Пусть оператор j унитарный,				т.е. выполнено	условие
унитарности (10.1).		Обращаясь	к определению			сопряженного	оператора,
можно переписать это определениев следующем виде
		(x, y) = (j(x),j( y)) = (x,j*j( y)),					(10.3)
или, иначе, "x, y ÎV		выполняется равенство
		(x, (j*j - E)( y)) = 0,

где E - тождественный оператор. Фиксируя в этом равенстве любой элемент

y	и считая x	произвольным,		получим,		что	линейный	операторj*j - E
действует поправилу (j*j - E)( y) = 0.					Следовательно, j*j = E.				Аналогично
убеждаемся, что jj* = E. Таким					образом,		j,j* -	взаимно		обратные
операторы, т.е. соотношение (10.2) выполнено.
2)	Достаточность. Пусть		выполнено			условие(10.2).		Тогда, очевидно,
j*j = jj* = E.		Используя	эти	соотношения			и обращаясь		к	определению

сопряженного оператора, "x, y ÎV получим

(j(x),j( y)) = (x,j*j( y)) = (x, E( y)) = (x, y ).

70