- •Лекция 6.
- •5. Динамика вращательного движения
- •5.1. Момент силы.
- •5. 1. 1. Момент силы относительно неподвижной точки.
- •5. 1. 2. Момент силы относительно неподвижной оси
- •5. 2. Момент импульса.
- •5. 2. 1. Момент импульса(кол-ва движения)материальной точки относительно неподвижной точки.
- •5. 2. 3. Момент импульса тела относительно неподвижной точки.
- •5. 2. 4. Момент импульса механической системы относительно неподвижной оси.
- •5. 2. 5. Момент импульса тела относительно неподвижной оси.
- •5. 3. Момент инерции.
- •5. 3. 1. Момент инерции системы относительно неподвижной оси.
- •5. 3. 2. Теорема Гюйгенса - Штейнера.
- •5. 3. 3. Моменты инерции однородных тел простейшей формы.
- •5. 4. Основной закон динамики вращательного движения.
- •5. 5. Закон сохранения момента импульса.
- •5. 5. 1. Вывод основного закона динамики вращательного движения и закона сохранения момента импульса.
- •5. 6. Кинетическая энергия вращающегося тела.
- •5. 7. Работа при вращательном движении.
- •5. 8. Сравнение параметров и законов движения материальной точки и вращения твёрдого тела относительно оси.
- •5. 9. Кинетическая энергия твёрдого тела при сложном движении.
5. 2. Момент импульса.
5. 2. 1. Момент импульса(кол-ва движения)материальной точки относительно неподвижной точки.
Моментом импульса (количества движения) относительно неподвижной точки (полюса) называется вектор , равный векторному произведению радиуса-вектора , проведённого из полюса в место нахождения материальной точки на вектор её импульса.
|
(5.7) |
где , ,-масса, радиус-вектор и скорость i-той материальной точки, а N-общее число точек системы.
5. 2. 3. Момент импульса тела относительно неподвижной точки.
Момент импульса тела относительно неподвижной точки О, вокруг которой это тело вращается с угловой скоростью , равен:
|
(5.8) |
- радиус-вектор, проведённый из точки О к малому элементу тела массой dm; -скорость этого элемента тела.
Поскольку
, |
|
то векторы и в общем случае не совпадают по направлению
|
(5.9) |
5. 2. 4. Момент импульса механической системы относительно неподвижной оси.
Моментом импульса системы относительно неподвижной оси называется величина ,равная проекции на эту ось вектора момента импульса системы относительно какой-либо точки О, принадлежащей этой оси:
|
(5.10) |
Выбор положения точки О на оси а не влияет на числовое значение величины .
Под моментом импульса системы относительно неподвижной оси ОZ можно понимать векторную величину
|
(5.11) |
где -орт оси ОZ.
Если скорости всех точек системы лежат в плоскостях перпендикулярных выбранной оси ОZ , то (суммарный (полный) момент импульса системы)момент импульса системы может быть представлен в виде векторного произведения:
|
(5.12) |
5. 2. 5. Момент импульса тела относительно неподвижной оси.
|
При вращении твердого тела относительно оси ОZ с угловой скоростью (рис.5.4) каждая элементарная масса , двигаясь по окружности, обладает моментом импульса: | ||
|
(5.13) | ||
Рисунок 5.4. |
|
|
Учитывая, что , получаем:
|
(5.14) |
(Напомним, что в случае вращения тела относительно неподвижной точки (5.9), это может быть не так.)
Следовательно, в то время как векторы импульса элементарных масс вращающегося тела имеют различные направления, векторы момента импульса направлены одинаково.
Полный момент импульса тела (и/или системы материальных точек) равен сумме моментов импульсов его элементарных масс:
|
(5.15) |
Или, при непрерывном распределении массы, получаем:
|
(5.16) |
где - элементарный объём массы dm с плотностью .
В случае однородного твердого тела (=const) имеем:
|
(5.17) |
5. 3. Момент инерции.
5. 3. 1. Момент инерции системы относительно неподвижной оси.
Момент инерции материальной точки относительно оси
.
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси ОZ называется физическая величина , равная сумме произведений масс всех N материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси ОZ:
|
(5.18) |
где и - масса i-той точки и её расстояние до оси.
Момент инерции тела (при непрерывном распределении масс):
|
(5.19) |
где: - масса малого элемента объема dV - тела, - плотность малого элемента объема; - расстояние от объема dV до оси ОZ .
Если тело однородно, т.е. плотность всюду одинакова, то
|
(5.20) |
Момент инерции является мерой инертности во вращательном движении, подобно тому, как масса является мерой инертности при поступательном движении.