5. 5. 1. Вывод основного закона динамики вращательного движения и закона сохранения момента импульса.

Для механических систем, поведение которых описывается классической (ньютоновской) механикой, закон сохранения момента импульса можно рассматривать как следствие из законов Ньютона.

Рассмотрим механическую систему из Nматериальных точек, массы и скорости которых соответственно равныи. На каждуюi-тую точку могут действовать как внутренние силы, так и внешние силы, равнодействующие которых обозначим каки. В соответствии со вторым законом Ньютона, для каждой точки можно записать уравнение движения:

(5.28)

Ограничимся случаем, когда все силы и все скорости точек лежат в параллельных плоскостях (рис. 5.5)

	Выберем некоторую ось, перпендикулярную плоско­стям движения точек. Пересечение оси и плоскости на рис. 25 обозначим как О. Тогда каждую точкуiможно характеризовать вектором. Вектор совпадает с перпендикуляром, опущен­ным изi-той точки на осьОи направлен от оси кi-той точке.
Рисунок 5.5.

Умножим векторно слева каждое из уравнений системы (5.28) на соответствующий вектор :

(5.29)

Проанализируем левую часть полученного выражения. Имеем:

(5.30)

Первый член в правой части выражения (5.30) обращается в нуль.

т. к. , и векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулю.

Теперь выражение (5.29) можно записать в виде:

(5.31)

Проведём суммирование всех выражений (5.5.1-5):

(5.32)

Первый член в правой части полученного выражения представляет собой сумму моментов внутренних сил и обращается в нуль, т. к. моменты внутренних сил попарно компенсируются согласно (5.4).

Второй член в правой части выражения (5.32) представляет собой главный (результирующий) момент внешних сил (5.5):

(5.33)

Левая часть выражения (5.32) преобразуется к виду:

(5.34)

и представляет собой производную по времени от момента импульса системы(5.12)

Итак, основной закон динамики вращательного движения заключается в том, что момент импульса системы материальных точек изменяется только под действием главного момента внешних сил и в математической форме имеет вид:

(5.35)

Далее, если , т. е. внешние силы отсутствуют (система консервативна) или сумма моментов внешних сил относительно какой-либо неподвижной оси равна нулю, то момент импульса относительно этой оси сохраняется.

,и.

(5.36)

Если вокруг неподвижной оси вращается твёрдое тело, то закон сохранения момента импульса приобретает вид:

(5.37)

5. 6. Кинетическая энергия вращающегося тела.

Кинетическая энергия вращающегося тела, как и системы материальных точек, складывается из кинетических энергий отдельных элементарных масс тела.

Поскольку кинетическая энергия элементарной массы dm, находящейся на расстоянииrот оси вращения и имеющей скорость, определяется выражением:

(5.38)

то для кинетической энергии всего телаимеем:

(5.39)

Аналогичным образом для механической системы материальных точек имеем:

(5.40)