- •МІністерство охорони здоров’я україни
- •Передмова
- •1. Функція
- •Способи задання функції
- •Класифікація функцій
- •Механічний та геометричний зміст похідної
- •Правило знаходження похідної
- •Приклади
- •Теореми
- •Приклади
- •Похідні вищих порядків
- •Приклади
- •Загальна схема дослідження функції та побудова графіка
- •Розв’язування
- •Графік заданої функції
- •3. Диференціал функції
- •Приклади
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Невизначений інтеграл
- •Приклади
- •Властивості невизначеного інтегралу
- •Основна таблиця інтегралів
- •Методи інтегрування
- •Приклади
- •Інтегрування за частинами
- •Приклади
- •Визначений інтеграл
- •Задача про роботу змінної сили
- •Властивості визначеного інтегралу
- •Приклади
- •4. Диференціальні рівняння Диференціальні рівняння першого порядку
- •Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
- •Приклади
- •Однорідні диференціальні рівняння
- •Приклади
- •Неоднорідне диференціальне рівняння
- •Розв’язок
- •Диференціальні рівняння вищих порядків. Основні означення і поняття
- •Приклади
- •5. Математична обробка результатів вимірювання. Обчислення похибок
- •Приклад:
- •Приклад:
Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
Розглянемо окремі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах. Нехай маємо диференціальне рівняння виду , яке явно не містить шуканої функціїу. Як вже зазначалося, таке диференціальне рівняння має загальний розв’язок y =.
Задамо початкову умову у(х0) = у0, де х0 – будь-яка точка відрізка [a, b], то для диференціального рівняння виконуються умови, диференціальне рівняння має єдиний розв’язок. Цей розв’язок можна записати так: у(х) = у0+.
Приклади
Розв’язати диференціальні рівняння:
.
Тут права частина є функція, неперервна в усіх точках інтервалу . Тому диференціальне рівняння з початковою умовою має єдиний розв’язок:
у = у0+
= y0+).
Зокрема, якщо х0 =0, то у = у +.
, приу1.
Дане рівняння допускає відокремлювання змінних . Звідси
. Знайшовши інтервали, маємо ln. Після потенціювання ln, маємо у = 1 + сe. Дістали загальний розв’язок диференціального рівняння.
х(у –1)dx + y(x2 –1)dy = 0.
Помножимо обидві частини цього рівняння на функцію . Дістанемо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними.
Загальний інтеграл, згідно з формулою має
Знайшовши інтеграли, дістанемо ln. Після потенціювання остаточно маємо такий загальний інтеграл (х2–1)(у2–1) = с. Знайдемо корні рівнянь:
х2–1 = 0, у2–1 = 0.
Маємо х=1;у=1. Отже, пряміх=1іу=1є інтегральними кривими диференціального рівняння. Проте ці розв’язки знаходяться із загального інтеграла прис=0. Тому вписувати їх не слід. Вони є окремими розв’язками заданого диференціального рівняння.
Однорідні диференціальні рівняння
Диференціальне рівняння =f(x, y) називаютьоднорідним, якщо функціяf(x, y)задовольняє умову f(x, y) = f(tx, ty), деt– будь-яке число, відмінне від нуля. Функціяf(x, y), що задовольняє умову, називається однорідною функцією нульового виміру. Тому диференційне рівняння називають однорідним, якщо права частина його є однорідна функція нульового виміру.
Розглядають також функції виміру n, це функції, для яких справджується умова f(tx, ty) = tnf(x, y). Приn=0маємо функцію нульового виміру. Однорідні диференціальні рівняння зводяться до диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними підстановкою y = u(x), деu– невідома функціях, u = u(х). Припустимо, що функція u = u(х) є розв’язком диференціального рівняння= f(x, y). Тоді тотожно виконується рівність x+ u =f(x, ux). Проте за умовою, функцію f(x, ux) можна записати так: f(x, ux) = f(tx, tux). Нехай t =(x). Маємо f(x, ux) = f(1, u), тобто f(1, u) є функція від однієї змінної u f(1, u) =. Диференціальне рівняння набирає вигляду: x, або в диференціальній формі:
xdu = [(u) – u]dx.
Диференціальне рівняння допускає відокремлювання змінних. Справді, якщо (u)–u0, то рівняння можна записати так:, звідси. Підставивши сюди значення u =, дістанемо загальний інтеграл диференціального рівняння. Загальний інтеграл ми знайшли при виконанні умови. Нехай дана умова не виконується. Тоді матимемо два такі випадки:
1., або. У даному випадку диференціальне рівняння набирає вигляду. Загальним розв’язком цього рівняння є сім’я півпрямих у = Сх(х0), до яких треба приєднати півпрямі х = (у0).
Умова (u) – u0 порушується при окремих значенняхх, наприклад, при u= u0. Тоді, крім загального інтеграла, диференціальне рівняння має ще розв’язок u = u0або у = u0х, тобто інтегральною кривою є пряма, що проходить через початок координат.