- •МІністерство охорони здоров’я україни
- •Передмова
- •1. Функція
- •Способи задання функції
- •Класифікація функцій
- •Механічний та геометричний зміст похідної
- •Правило знаходження похідної
- •Приклади
- •Теореми
- •Приклади
- •Похідні вищих порядків
- •Приклади
- •Загальна схема дослідження функції та побудова графіка
- •Розв’язування
- •Графік заданої функції
- •3. Диференціал функції
- •Приклади
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Невизначений інтеграл
- •Приклади
- •Властивості невизначеного інтегралу
- •Основна таблиця інтегралів
- •Методи інтегрування
- •Приклади
- •Інтегрування за частинами
- •Приклади
- •Визначений інтеграл
- •Задача про роботу змінної сили
- •Властивості визначеного інтегралу
- •Приклади
- •4. Диференціальні рівняння Диференціальні рівняння першого порядку
- •Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
- •Приклади
- •Однорідні диференціальні рівняння
- •Приклади
- •Неоднорідне диференціальне рівняння
- •Розв’язок
- •Диференціальні рівняння вищих порядків. Основні означення і поняття
- •Приклади
- •5. Математична обробка результатів вимірювання. Обчислення похибок
- •Приклад:
- •Приклад:
Приклади
Знайти невизначений інтеграл функцій:
f(x) = 1
f(x) = ex
f(x) = sinx
f(x) =
f(x) =
, припустивши, щох0, підінтегральну функцію можна записати так:
Властивості невизначеного інтегралу
Послідовне виконання операції диференціювання та інтегрування в будь-якому порядку з точністю до довільної сталої приводить до початкової функції d()= f(x)dx= F(x)+c. Розглянуту властивість можна сформулювати ще так: операції диференціювання та інтегрування з точністю до сталої є взаємно обернені.
Якщо число а0, то=a. Дана властивість формулюється так: сталий множник можна виносити за знак невизначеного інтегралу.
Невизначений інтеграл від суми (різниці) функції дорівнює сумі (різниці) невизначених інтегралів від кожної функції:
.
Основна таблиця інтегралів
-
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
;
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Методи інтегрування
Усі методи інтегрування функцій зводять невизначений інтеграл до інтегралу, який знаходиться в основній таблиці інтегралів або, як кажуть, до табличного інтегралу. Одним із найбільш сильних методів є так званий метод підстановки. В основі цього методу лежить заміна перемінної функції. Звернемо увагу читача на те, що заtтреба вибирати таку функціюt = w(x), щоб:
під інтегралом був явний диференціал від w(x)(w′(x)dx)або якщо даного диференціалу й немає, то його можна легко утворити за допомогою множення або ділення на стале число, відмінне від нуля;
інтеграл був би табличним.
Якщо одночасно ці два пункти не виконуються, то інтеграл треба обчислювати іншими методами.
Приклади
Користуючись методом підстановки, обчислити невизначені інтеграли:
Підстановка: t = sinx; dt = cosxdx.
2.
Підстановка: t = lnx; dt = .
.
Підстановка: t =x2; dt = 2xdx.
Підстановка: t = tg.
Інтегрування за частинами
Розглянемо дві функції u =(x), v = g(x), які на деякому проміжку(а;b)є неперервні і мають неперервні похідні першого порядкуφ′(x),g′(x). Тоді функціїuтаv мають диференціали du = φ′(x)dx, dv = g′(x)dx, причому виконується рівність d(uv) = udv+vdu. Візьмемо від обох частин цієї рівності невизначений інтеграл. Тоді внаслідок рівності диференціалів невизначені інтеграли відрізнятимуться тільки на сталу величину. Отже, маємо рівність з точністю до сталої=–але=. Тому дістаємо формулу:= uv –. Зазначимо, що у формулі ми не пишемо сталої, адже стала міститься в інтегралі, а сума двох сталих є сталою. Формула, що написана, називаєтьсяформулоюінтегрування за частинами.
Приклади
Знайти невизначені інтеграли, користуючись методом інтегрування за частинами:
= uv–.
Введемо позначення u=x;dv=sinxdx. Знаходимо=.v = –cosx – сталої при знаходженніvне пишемо. Сталу запишемо при обчисленні інтегралу. Оскількиuє відома функція: u = x, то du = u′dx = dx. Отже,= –xcosx –= –xcosx+sinx+c. Якби ми взяли заu=sinx, то ми приклад не розв’язали б.
2.
Введемо позначення: u =lnx ; du = ; dv = xdx, v =.
.
Введемо позначення: u = ln2x; du = 2lnx; dv =dx; dv =.
Невизначений інтеграл будемо інтегрувати за частинами.
Нехай u = lnx; dv = dx. Тоді du =dx, v == x.
Отже, xlnx –= xlnx – x + с.
Остаточно знаходимо = xln2x –2(xlnx – x) + c.
= еах
Позначимо в цьому інтегралі u = eax , dv = sinbxdx. Звідки du = aeaxdx,
v = = –.
Тоді .
Інтеграл у правій частині цієї рівності теж обчислюється за частинами. Введемо позначення: u = eax; dv = cos bxdx, звідки du = eaxdx v ===. Скориставшись формулою метода інтегрування за частинами, маємо.
Підставивши значення цього інтегралу в рівність, дістанемо:
.
У правій частині цієї рівності маємо той самий інтеграл, що у лівій. Тому, розв’язуючи цю рівність відносно інтегралу, знаходимо:
.