1. Функція

У дослідженнях зустрічаються величини, які при даних умовах або навіть при будь-яких умовах мають те саме значення. Такі величини називають сталими. Якщо значення величини змінюється, то таку величину називаютьзмінною.

Приклад 1. НехайR– радіус кола, а l– довжина кола. Як відомо, довжина кола виражається формулою l = 2πR, якщо тепер у цій формулі змінюється радіус колаR, то при цьому змінюватиметься і довжина кола l, а числоπ, яке виражає відношення довжини кола до його діаметра, залишається сталим.

Отже, в даному прикладі ми зустрічалися із змінними величинами Rіl та сталою величиноюπ, причому вона залишається сталою при будь-яких умовах. Величини, які залишаються сталими при будь-яких умовах, називаютьсяабсолютно-сталими.

Приклад 2. Нехай під поршнем циліндра знаходиться певна маса газу (ідеального), температура якого не змінюється. За законом Бойля-Маріотта, об’ємVі тиск Pцієї маси газу пов’язані співвідношенням PV = С = const.

У цій рівності при зміні, наприклад, об’єму Vбуде змінюватися і тискP. ВеличинаС при тій самій температурі залишається сталою. Але якщо змінювати температуру газу, змінюватиметься йС.

Сталі величини, які в умовах даної задачі залишаються незмінними, але при зміні умови задачі можуть змінюватися, називають параметрами.

Отже, в законі Бойля-Маріотта стала величина Сє параметр. Прикладами сталих величин параметрів можуть бути ще такі величини, як коефіцієнт тертя, показник заломлення світла тощо.

Зауважимо, що та сама величина в одній задачі може бути сталою, а в другій – змінною. Так, наприклад, температура кипіння води є стала величина, якщо кипіння її відбувається в тому самому місці і при тих самих атмосферних умовах. Але температура кипіння стане величиною змінною, якщо кипіння відбувається в різних місцях і при різних атмосферних умовах.

Оскільки в природі та повсякденному житті зустрічаються сталі й змінні величини, то в математиці вивчають два види величини: сталі і змінні.

Сталі величиниє предметом вивчення елементарної математики. Вища математика має своїм об’єктом змінні величини. Сталі величини, хоч і зустрічаються, проте мають другорядне значення. Як відомо,змінні величини, що спостерігаються в даному явищі чи процесі, змінюються незалежно одна від одної, а перебувають у тісному зв’язку, у певних залежностях. При цьому зміна одних величин приводить до зміни інших. Так, у прикладі 1 величиниRі lпов’язані між собою формулоюl = 2πR, причому довжина колаl змінюється залежно від зміни радіусаR.

Можна навести приклади складнішої залежності, коли зустрічається більше ніж дві змінні величини.

Приклад 3.Нехай під поршнем циліндра знаходиться одна грам-молекула ідеального газу. Якщо температура цієї маси газу змінюється. то, як відомо, об’ємVі тискPпов’язані з абсолютною температуроюТзаконом Клапейрона-МенделєєваPV = RT, де з чотирьох величин величинаR– стала (абсолютно стала), а решта величин можуть змінюватися. Зокрема, при зміні об‘ємуVі температуриTбуде змінюватися і тискP.

У подальшому розглядатимемо простійший випадок залежностей, а саме залежності між двома змінними величинами, якщо в таких залежностях абстрагуватися від конкретного змісту величин, то дістанемо залежності між математичними величинами. Тоді такі залежності називають функціональними.

У функціональних залежностях змінні величини відіграють неоднакову роль. Деякі з них змінюються довільно, а другі – залежно від зміни перших.

Змінні величини, значення яких в умовах даної задачі можуть вибиратися довільно, називаються незалежними змінними, або аргументами.

Змінна величина, значення якої залежить від зміни значень аргументу, називається залежно змінною, або функцією.

Якщо незалежних змінних є одна, то функція називається функцією однієї змінної. Якщо незалежних змінних є дві, то функція називається функцією двох змінних і т. п. Так, уприкладі 1зміннаRє аргумент, аlє функція.Уприкладі 2V– аргумент,P– функція, причому в обох прикладахlіPє функції однієї змінної.У прикладі 3V,T– аргументи, Р– функція. Тут Pє функція двох змінних.

Зазначимо, що в усіх розглянутих прикладах ми для кожного значення незалежної змінної можемо вказати цілком конкретне значення залежної змінної. Саме такі залежні величини називають функціями. Проте є й такі величини, які залежать від інших величин, але про їх числове значення нічого не можна сказати, якщо незалежним змінним надавати певних значень. Так, наприклад, залежність між урожайністю зернової культури і кількістю опадів. Такого роду величини не є функціями.

Отже, нехай маємо дві змінні величини xіy. Тоді змінна величинаyназивається функцією змінної величиниx, якщо кожному значенню величиниxвідповідає одне значення величиниy.

Символічно записується y = f(x)і читають“ігрек дорівнює еф від ікс”.

Проте у природі і в техніці зустрічаються випадки, коли явища і процеси описуються більше ніж двома величинами. Отже доводиться мати справу з функціями, в яких незалежних змінних є відповідно дві, три т. д., взагалі, кажучи n. Такі функції називаються функціями кількох зміннихy =f(x, z, t).

Для позначення функції іноді вживають і інші букви: F,Φ,Ψі т.д. Різні букви вживають тоді, коли розглядають кілька функції від того самого аргументу. Функція називаєтьсяявною, якщо формула, по якій визначається функція, указує математичні операції, які проводяться над аргументом для визначення функціїy, в противному разі вона називаєтьсянеявною функцією:y = ax²; y = f(x)– явні функції;y² – x = 0; F(x, y) = 0– неявні функції. Функції можуть бутипарніінепарні,періодичні,зростаючаінезростаюча.