6. Қалыпқа келтірілетін жүйелердің сенімділік көрсеткіштері

Жүйелерді істен шыққаннан кейін қалыпқа келтірудің екі моделі бар: лезде қалыпқа келтіру (қалыпқа келтіру уақыты 0-ге тең) және баяу қалыпқа келтіру (қалыпқа келтіру уақыты шектелген). Қалыпқа келтірудің екінші тәсілінде жүйенің жұмыс уақыттары мен қалыпқа келтіру уақыттары өзара кезектесе орналасады.

Лезде қалыпқа келтірілетін жүйелердің жұмыстық графигі 5.1 суретте келтірілген

а) ξξξξξξ

0t

5.1 сурет Істен шығу ағындарын сипаттаудың тәсілдері а) – істен шығу аралықтарындағы жұмыс істеу уақыттарының заңдылығы; б) – істен шығу оқиғасының заңдылығы n(t).

Жүйе t=0 уақыт моментінде жұмысын бастайды, моментте алғашқы істен шығу оқиғасы орын алады. Істен шыққан жүйе лезде қалыпқа келтіріліп, жұмысын ары қарай жалғастырады. моментте жүйе екінші рет істен шығады да, лезде қалыпқа келтіріліп, жұмыысын жалғастырады т.с.с. Кездейсоқ уақыттарда бірінен кейін бірі болып тұратын істен шығудың тізбегін істен шығу ағындары деп атайды. Қалыпқа келтірілетін жүйелерді қарастыру кезінде, істен шығу ағындары негізгі түсініктемелердің бірі болып табылады. Істен шығу ағындарын сипаттаудың негізгі екі тәсілі бар: біріншісі – кездейсоқ дискретті шамалар n(t) арқылы (0, t – уақыт интервалындағы орын алатын істен шығу оқиғаларының саны), екіншісі – істен шығу аралықтарындағы жүйенің кездейсоқ жұмыстық уақыттарын ξ; ξ; ξ; … қарастыру (5.1 сурет).

Сенімділік теориясында негізінен қарапайым ағын (пуассондық стационарлық) кеңінен қолданылады. Егер ағын ординарлық, стационарлық және өзара әсерлік (отсутствие последствия) қасиеттеріне ие болса, онда ондай ағынды қарапайым ағын деп атаймыз.

Ағынның ординарлық қасиеті – қандайда бір уақыт аралығында (уақытта) екі немесе бірнеше істен шығулардың орын алмайтындығын көрсетеді.

Ағынның стационарлық қасиеті - бірлік уақыттағы істен шығу сандарының орта мәндерінің тұрақтылығын көрсетеді.

Ағынның өзара әсерлік қасиеті – істен шығу оқиғаларының өзара тәуелсіз туындайтындығын көрсетеді, яғни t₁ уақыттағы істен шығу сандары t₂ уақыттағы істен шығу сандарына тәуелсіз.

Істен шығу ағындарын дискретті кездейсоқ процесс n(t) ретінде қарастырсақ (0, t интервалындағы істен шығу сандары), онда істен шықпаушылықтың көрсеткіші ретінде істен шығу ағынының параметрін алуға болады. Егер істен шығу ағындарын істен шығу аралықтарындағы жүйенің кездейсоқ жұмыстық уақыттары ξ, ξ… арқылы өрнектесек, онда істен шықпаушылықтың көрсеткіші ретінде істен шығу аралықтарындағы жұмыстық уақыттардың орта мәнін алуға болады.

Істен шығу ағынының параметрі ағынның жетекші функциясының (ведущей функции) туындысымен анықталады.

(5.1)

Жетекші функция t уақыт аралығындағы істен шығу сандарының орта математикалық күтімімен анықталады

(5.2)

мұндағы n(t)–белгілі бір уақыт аралығындағы кездейсоқ істен шығу сандары

функциясытеріс емес және кемімелі емес функция. Стационарлық ағын үшін жетекші функция сызықты функция болып келеді,сол себептен істен шығу ағынының параметрі =const,яғни тұрақты шама

Егер қалыпқа келтіру уақытын ескермеген жағдайда, істен шығу ағыны статистикалық мәліметтерге сүйене отырып, былайша анықталады

(5.3)

Мұндағы -і –ші жүйенің (0,t) интервалындағы істен шығу сандары, - (0,t+t) -і –ші жүйенің интервалындағы істен шығу сандары

Істен шығу ағыны мен істен шығу жиілігі f(t) Вольтердің келесі интегралдық теңдеуімен байланысып жатыр.

(5.4)

Бұл теңдеу операциондық тәсілмен шешіледі. интегралы жәнеf(t) шамаларының ықшамдалу (свертка) функциялары болғандықтан, Вольтер теңдеуі операторлық формада былайша жазылады.

Соңғы теңдеуден келесі теңдеулер жүйесін аламыз

w(s) = f(s) / [1 - f(s)] ; және f(s) = w(s) / [1- w(s) ] (5.5)

Егер және f(t) функцияларының Лаплас бойынша тура және кері түрлендірулері белгілі болса, онда соңғы теңдеулерден бір сипаттаманы екіншісі арқылы табуға болады.

Істен шығу ағынының негізгі қасиеттері:

1 f(t) функциясының түріне байланыссыз, егер t, онда ; мұндағы істен шығу аралықтарындағы жұмыс уақытының орта мәні. Бұл қасиет қалыпқа келтірілетін жүйелерді ұзақ уақыт эксплуатациялау кезінде, олардың істен шығу ағындары тұрақталған мәнге ұмтылады, яғни w(t) = 1 / t _cp

2 Егерде істен шығу қарқыны уақыт бойынша тұрақты болмаса , онда жүйенің істен шығу ағындарының параметрі сол жүйеге кіретін элементтер параметрлерінің қосындысына тең емес, яғни:

,

мұндағыN–элементтер саны.

3 Істен шығу аралықтарындағы жұмыс уақыттарының таралу заңдылықтары экспоненциалды болып келсе, онда келесі қатынас орын алады , . және , яғни алғашқы істен шыққанға дейінгі және істен шығу аралықтарындағы жұмыс уақыттарының орта мәндері өзара тең болады.

Істен шығу аралықтарындағы жұмыс уақыттарының орта мәні былайша анықталады ; (i=1,2) (5.6)

мұндағы ξ_i – істен шығу аралықтарындағы жұмыс уақытының ұзақтығы, f(t) – істен шығу аралықтарындағы жұмыс уақытының таралым тығыздығы. Қарапайым ағын үшін келесі қатынас тура , (- істен шығу ағынының ппараметрі).

Істен шығу аралықтарындағы жұмыс уақыттарының орта мәнін статистикалық тәсілмен анықтау үшін, N жүйені сынаққа қоиамыз. Егер жүйелердің әрқайсысы t уақыт жұмыс істесе, онда шамасының статистикалық анықталуы

(5.7)

мұндағы - (0, t) интервалындағы і–ші жүйенің істен шығу сандары Егер сынаққа бір жүйе қойылса, N = 1. Бұл жағдайда

(5.8)

мұдағы n(t) – t уақыттағы жүйенің істен шығу сандары,- (i- 1)жәнеі–ші істен шығу аралықтарындағы жүйенің жұмыс істеу уақыты

Егер қалыпқа келтіру уақытын Тв ескерген жағдайда, жүйенің қызметтік графигін келесі түрде көрсетуге болады (5.2 сурет)

ξ ξ ξ ξ

0 Тв1 Тв2 Тв3t

5.2 суретЖүйенің қызметтік графигі

Қалыпқа келтіру уақыты Тқ кездейсоқ шама болғандықтан, ол таралым функцясы және таралым тығыздығы арқылы сипатталады. Егер істен шығу аралықтарындағы жұмыс уақыттары ξ, ξ… өзара байланыссыз және таралымдары біркелкі болып келсе, онда ондай істен шығу ағынын (Т_қ уақытын есепке алғанда) қалыпқа келтірудің альтернирленген (альтернирующего) процессі деп аталады. Жүйелердің сенімділігі бұл жағдайда берілген уақыт аралығында жүйенің жұмыстық күйін қалыпқа келтіру ықтималдылығы мен қалыпқа келтіру уақытының орта мәнімен айқындалады. Бұл көрсеткішттер жүйенің жөнделуге (қалыпқа келтірілуге) икемділігін сипаттайды. Мысалға, жүйе сенімді болуы мүмкін, бірақта оны жөндеу өте қиын болып келеді, немесе керісінше.

t₀уақыт ішінде жүйені қалыпқа келтіру ықтималдылығы

(5.9)

Калыпқа келтіру уақытының орта мәні

(5.10)

Жоғарғы көрсетқіштердің статистиклық анықталулары

(5.11)

(5.12)

мұндағы m(t₀) – ұзақтығы t₀ уақыттан кем болып келетін, қалыпқа келтіру сандары, - қалыпқа келтірудің жалпы саны; - і–ші істен шығудан кейінгі жүйені қалыпқа келтіру уақыты

Әдебиеттер нег. 1[29-38], қос. 6[16-22]

Бақылау сұрақтары

1 Қалыпқа келтірудің қандай модельдерін білесіңдер?

2 Істен шығу ағындары. Қарапайым ағын деп қандай ағындарды айтамыз?

3 Істен шығу ағындарының параметрі және оның негізгі қасиеттарі.

4 Қалыпқа келтірілетін жүйелердің сенімділік көрсеткіштері.