9. Сенімділікті есептеу тәсілдері.

Қалыпқа келтірілетін жүйелердің сенімділігін есептеуде кеңінен таралған тәсілдерге жататыны:ықтималдылықтың классикалық теориясын қолдану, жаппай қызмет көрсету теориясына (теория массового обслуживания) негізделген есептеулер, граф теориясына негізделген тәсіл. Төменде граф-өткелдерін (граф переходов) қолдану тәсілдері қарастырылады.

Іс жүзінде жүйелердің бір күйден екіншісіне ауысу процестері кездейсоқ уақыт моменттерінде болып тұрады. Жүйелердің түрлі күйге ауысуларын граф өткелдері арқылы бейнелеу тиімді тәсіл. Егерде жүйе тек екі күйде ғана болса, яғни жұмыстық немесе істен шығу (қалыпқа келтіру), онда бір күйдің ықтималдылығы Р₀(t) азайған жағдайда, екіншісінікі P(t) көбейеді, себебі кез келген уақытта Р₀(t)+ Р(t)=1.

Істен шығу күйіне түсу қарқынын арқылы, ал жұмыстық күйге түсу қарқынын - деп белгілесек, онда күйлердің граф өткелдерін 9.1- суретте көрсетілгендей сызбамен бейнелеуге болады.

l

m

9.1- сурет Граф өткел мысалы

Сызбадағы0- оқиғасы жүйенің жұмыстық күйін сипаттайды (жүйе элементтерінің бәрі істен шықпаған), ал 1-оқиғасы жүйенің істен шыққан күйін сипаттайды. Граф өткелдерді кей жағдайларда өткелдер матрицасы арқылы немесе теңдеулер жүйесі арқылы да бейнелейді. Күйлердің графы берілген жағдайда, жұмыстық күйді сипаттаушы теңдеуді келесі тәртіппен құруға болады: теңдеудің сол жағына dP_k/dt мүшесін ( P_k - k-ші күйінің ықтималдылығы) жазып, ал оң жағына, қаралып отырған оқиға (күй) қанша стрелкамен байланысса, сонша мүше жазылады. Әрбір мүше сәйкесінше қарқындармен ( немесе ) стрелка шығып жатқан күй ықтималдылықтарының көбейтіндісіне тең. Бұл жерде шыққан стрелкаға минус таңбасы сәйкес келеді, ал кіріп жатқан стрелкаға- плюс таңбасы сәйкес келеді. Мысалы, 6.1- суреттегі граф өткеліне сүйене отырып, жұмыстық күйдің ықтималдылығын былайша жазуға болады:

(9.1)

Егерде құрылған теңдеулер жүйесінің оң жақтарының қосындысы нөлге тең болса, онда теңдеу дұрыс құрылған деп есептеледі. Жалпы жағдайда, теңдеулер саны жүйенің түсетін күйлерінің санына тең болады.

Жүйе сенімділігін талдау үшін, бірінші дәрежелі сызықты теңдеулер жүйесін бастапқы берілген шартта шешу қажет. Шешу барысында Лаплас түрлендіруін қолдануға болады. Практикалық есептеулерде, кейбір жасалған болжамдардың арқасында дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешуді жеңілдетеді.

Тұрақталған режимде күй ықтималдылықтарын тұрақты шама деп қарастыруға болады, сол себептен dP_k/dt = 0 (К=1,2…). Бұл жағдайларда дифференциалдық теңдеулер жүйесі алгебралық теңдеулер жүйесіне көшеді. Мысалға, (9.1) теңдеулер жүйесі былайша түрленеді:

(9.2)

Есептеулерді жеңілдету үшін келесі тәртіпті қолданған жөн. Егерде жүйе күйлері 9.2- суретте көрсетілгендей граф түрінде берілсе (қалыпқа келтіру есепке алынған ), онда сенімділікті есептеу келесі тәртіппен орындалады:

l₀₁l₁₂ l_n-1,n

m₁₀ m₂₁ m _n,n-1

6.2- сурет Қалыпқа келтірілетін жүйелер үшін граф өткел

1) Әрбір күй үшін күй теңдеулерін құру қажет. Құру кезінде теңдеулердің сол жағына нөлдер қойылады, оң жағына қарастырылып отырған күй қанша стрелкамен байланысса, сонша мүше жазылады. Әрбір мүше қарқындармен (жұмыстық немесе қалыпқа келтіру) және қарастырылып отырған күй ықтималдылығының көбейтіндісімен анықталады. Егер стрелка шығып жатса, онда таңбасы плюс, ал кіріп жатса, онда таңбасы минус қойылады.

2) Әрбір күй ықтималдылықтары келесі өрнекпен анықталады:

(9.3)

Мұндағы Р₀ 0- күйінің ықтималдылығын(жүйенің барлық элементтері істен шықпаған )анықтайды да, келесі формуламен анықталады:

(9.4)

Егерде бөлшектердің істен шықпау ықтималдылықтары есептелген жағдайда, даярлық функциясы былайша анықталады

, (9.5)

Мұндағы және -жүйенің жұмыстық және жұмыссыздық күйлері

Еріксіз тұру функциясы

(9.6)

Даярлық коэффициентін анықтаудың бірнеше тәсілдері бар. Онық бір тәсілі мәнінің ұмтылғандағы шегін табу. Екінші әдісі, дифференциалдық теңдеулер жүйесіндегі мәнін нолге теңеп, алынған алгебралық теңдеулер жүйесін барлық жұмыстық күй ықтималдылықтарына арнап шешу. Мысалы, екі күйде (жұмыстық және жұмыссыздық) болатын жүйелер үшін мәнін есептеуге арналған алгебралық теңдеулер жүйесі мына түрде жазылады.

(9.7)

Бұдан мұндағы-жүйенің жұмыстық күйінің ықтималдылығы..

Жүйенің жұмыс уақытының орта мәні былайша есептеледі

,мұндағы

Әдебиеттер нег. 1 [131-139], нег.2 [58-68].

Бақылау сұрақтары

1. Қалыпқа келтірілетін жүйелердің сенімділігін есептеуде қолданылатын тәсілдер

2. Күйлердің графы берілген жағдайда, жұмыстық күйді сипаттаушы теңдеуді құру тәртібі

3. Даярлық функциясы қалайша анықталады?

4. Жүйенің жұмыс уақытының орта мәні қалайша есептеледі?