Elektrotekhnika_ch_1

41

1. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Переменным называют ток (напряжение, Э.Д.С.), изменяющийся во

времени по величине и направлению. Синусоидальный ток может быть представлен посредством действительной функции времени – синусной или косинусной, например,

i(t) = Im sin(ωt + ϕi ) ,

(3.1)

где Im – максимальная амплитуда тока (амплитудное значение);

ω – угловая частота, причем ω = 2π f ;ω = 2π T ; f – частота колеба-

ний [Гц]; Т – период [C]; ϕi – начальная фаза, определяет значение тока в момент времени t=0, т.е.

i(t=0) = Im sin ϕi.

На рис. 3.1 приведен график двух колебаний с разными начальными фазами ϕ1 и ϕ2, причем ϕ1 < ϕ2. Амплитуда гармоник проходит через нуль, когда

ωt + ϕ = πn, (n = 0,1,2...),

т.е. в моменты

t = πn − ϕ .

ω

Так как ϕ1< ϕ2, то t2 имеет место раньше t1.

i(t)	i1(t)	i2(t)
	t2	t1
		t

Рис. 3.1. Графики мгновенных значений синусоидального тока i1(t) = Im·sin ωt

и I2(t) = Im·sin(ωt+30º)

42

Начальная фаза часто задается в градусах. Поэтому при определении мгновенного значения тока аргумент синуса (слагаемые ωt и ϕ) нужно привести к одной единице измерения (радиан или градус).

Иногда гармоническое колебание представляется в косинусной форме. Легко видеть, что для перехода к такой форме в (3.1) достаточно изменить лишь начальную фазу, т.е.

i(t) = Im sin(ωt + ϕi ) = Im cos	ωt + ϕi +	π	.
	2

Промышленная частота переменного тока в России и всех странах Европы равна 50 Гц, в США и Японии - 60 Гц, в авиации - 400 Гц. Снижение промышленной частоты ниже 50 Гц ухудшает качество освещения. Увеличение частоты ухудшает условия передачи электроэнергии на большие расстояния.

Выражение для синусоидального напряжения аналогично (3.1), т.е.

u(t) = Um sin (ωt + ϕu).

(3.2)

Кроме уже названных параметров в практике электротехники часто пользуются понятиями среднего и действующего значений тока и напряжения. Рассмотрим их.

Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за половину периода:

2 T 2

2

1

T

1

Iср = I0

=

∫ Im sinωt dt =

Im

−

cosω

+

cosω 0 =

T

T

ω

2

ω

0

(3.3)

2 Im

2 Im 2 T

2Im

=

(cos0 − cosπ ) =

=

.

ω T

2πT

π

Видим, что среднее значение синусоидального тока составляет 2/π ≈ 0,64 от амплитудного значения. Аналогично определяется среднее значение синусоидального напряжения:

Uср = U0 = 2Um .

π

43

Действующим называют среднее квадратичное значение синусоидального тока (напряжения) за период

				1	T
		I =			∫ Im2		sin2 ω t dt .
				T
					0
Так как
		T				Im2	T
1		∫Im2 sin2 ω t dt =					∫	1	(1 − cos(2 ω t)) dt =
	T					T
		0					0 2

2

T

−

T

)

=

= Im

(

∫t

dt

∫cos 2

ω

t

dt

2 T

0

0

то

I = Im . 2

Im2 , 2

(3.4)

Видим, что действующее значение синусоидального тока составляет 0,707 от амплитудного значения. Аналогично определяется действующее значение синусоидального напряжения:

U = Um .

2

Если говорят о значениях переменного тока или напряжения, то, как правило, подразумевают их действующие значения. Например, напряжение в однофазной сети переменного тока 220 В - действующее. При этом ампли-

тудное значение Um 310 В.

2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА (НАПРЯЖЕНИЯ) РАДИУС-ВЕКТОРОМ

При анализе состояния электрических цепей переменного тока возника- ет необходимость вычисления суммы или разности колебаний одинаковых

44

частот, но с разными амплитудами и разными начальными фазами. Решать такую задачу с помощью рассмотренной формы представления (т.е. с помо- щью тригонометрических функций) достаточно трудно.

Пусть нужно найти ток i(t) = i1(t) + i2(t), причем: i1(t) = Im1 sin (ω t + ϕ1), i2(t) = Im2 sin (ω t + ϕ2).

Так как частоты колебаний одинаковы, то задача сводится к нахожде-

нию суммарных амплитудного значения тока Im и начальной фазы ϕ. Если применить для решения известные тригонометрические преобразования, то получим:

I

m

=

I 2

+ I 2

+ 2I

m

I

m

cos(ϕ

2

− ϕ ) ,

m

m

2

2

1

1

1

Im sin ϕ1 + Im

sin ϕ2

tgϕ = Im

cosϕ1 + Im

cosϕ

2 .

1

2

1

2

Видим, что даже окончательный результат имеет громоздкий и не наглядный вид.

Значительное упрощение достигается применением графического метода. Векторное представление синусоидальных величин известно из тригонометрии. Синусоидальный ток (напряжение) изображается в виде радиус-

вектора, вращающегося против часовой стрелки с частотой ω. Длина векто-

ра равна амплитудному значению - Im. Один оборот вектор совершает за время одного периода (рис.3.2).

Положение радиус-вектора относительно оси Х в момент начала от-

счета t=0 определяется углом ϕ. Проекция вектора на ось Y определяется выражением (3.1).

На одной векторной диаграмме могут быть изображены векторы нескольких колебаний, например, i1(t) и i2(t) (рис. 3.3). Для упрощения анализа

45

все векторы изображаются в момент времени t=0. Тогда сумма двух векторов определится по правилу параллелограмма.

Результирующий радиус-вектор также вращается относительно начала координат с частотой ω, а его проекция на ось Y определяется выражением

i(t) = Im sin (ω t + ϕ),

где ϕ - положение суммарного вектора относительно оси Х в момент време-

ни t=0.

Простота решения очевидна. Однако графический метод обладает существенным недостатком – низкой точностью. Поэтому его применяют чаще всего для качественного анализа электрических цепей с помощью топографических векторных диаграмм напряжений.

Для построения топографической векторной диаграммы в анализируемой электрической цепи выделяют несколько участков по направлению обхода. Падение напряжения на каждом участке может быть определено вектором. Устанавливая каждый последующий (по направлению обхода) вектор в точку конца предыдущего вектора получим топографическую векторную диаграмму напряжений. Вектор между любыми двумя точками этой диаграммы характеризует напряжение между соответствующими точками электрической цепи.

y			y
I m
Imcos(	t+	)	x

	Im
I m	@m
Im2
	i
2
Im1	Re
1
x	i

Рис. 3.2. Представление	Рис. 3.3. Сложение	Рис. 3.4. Изображающий
синусоидального тока	векторов	вектор на комплексной
радиус-вектором		плоскости

46

3. КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Комплексное представление синусоидальных токов и напряжений позволяет совместить простоту и наглядность векторного представления с точностью представления действительными функциями времени. Для перехода от графического представления к комплексному заменим оси декартовой системы координат (рис.3.2) следующим образом:

–ось Х на ось действительных чисел Re;

–ось Y на ось мнимых чисел Jm (рис.3.4).

При этом длина вектора тока (напряжения) по-прежнему определяется амплитудным значением, но обозначается как комплексная величина, т.е. Im (Um ). Угол наклона вектора к оси реальных чисел Re в момент времени t=0

остается прежним, т.е. ϕ.
Обозначим проекцию вектора Im на ось						реальных чисел i' = Im cosϕ,
а проекцию Im на ось мнимых чисел i′′ = Im sin ϕ. Тогда очевидно, что
	Im = i′ +				j i′′,	(3.5)
		j	π			− j	π
где j – мнимая единица, причем	j = e	2 ;			– j = e	2 .

Выражение (3.5) определяет комплексную алгебраическую форму пред- ставления синусоидального тока. Она удобна для выполнения действий сложения и вычитания токов (напряжений). Действительно, для сложения двух комплекс- ных чисел достаточно отдельно сложить их действительные и мнимые части.

Подставим в (3.5) вместо i′ и i" их значения. Тогда получим:

Im = Im (cosϕ + j sinϕ ) ,

(3.6)

где Im – модуль комплексного представления тока, численно равный ампли-

тудному значению.

47

Выражение (3.6) определяет комплексную тригонометрическую фор-

му представления синусоидального тока. Вектор тока Im , величины i′ и i″ на рис. 3.4 образуют прямоугольный треугольник. Поэтому, применяя извест- ные выражения для сторон треугольника, можем записать:

				ϕ = arctg	i"	.
	Im = (i')2 + (i")2 , а						(3.7)
					i'
	Видим, что выражения (3.7) характеризуют параметры синусоидаль-
	ного тока, не зависящие от времени - действительную амплитуду I m						и на-

чальную фазу ϕ. Они позволяют легко перейти от комплексной формы представления к представлению действительными функциями времени.

Введем в (3.5) зависимость от времени. Тогда

Im (t) = i' (t) + j i"(t) ,

(3.8)

где i' (t) = Im cos(ωt + ϕ ), i" (t) = Im sin(ωt + ϕ ).

Теперь очевидно, что реальная часть (3.8) характеризует реально существующее колебание, описываемое действительной косинусной функцией, а мнимая часть – это же колебание в синусной форме.

С помощью формулы Эйлера от (3.6) переходят к показательной форме комплексного представления тока:

Im = Im e jϕ .

(3.9)

С учетом зависимости от времени выражение (3.9) принимает вид:

Im (t) = Im e j (ωt +ϕ ) = Im e jϕ e jωt = Im e jωt .

(3.10)

Показательная комплексная форма удобна для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень или извлечения корня. Действительно, для умножения двух комплексных чисел в показательной форме (3.9) достаточно перемножить их модули, а аргументы (показатели степени) сложить.

Представим токи и напряжения на пассивных элементах, обладающих резистивным сопротивлением, емкостью и индуктивностью в комплексной

48

форме. Пусть имеем:

Im (t) = Im e jωt ; Um = Um e jωt .

Для элемента с резистивным сопротивлением справедливо равенство:

Um (t) = R Im (t) .

Освободим это выражение от временной зависимости:

Um e jωt = R Im e jωt ;
Um e jϕU = R Im e jϕi .	(3.11)

Но равенство (3.11) возможно только в том случае, когда ϕi = ϕu . Таким образом, мы пришли к важному выводу о том, что на элементе с резистивным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе. Максимумы тока и напряжения имеют место в один и тот же момент времени. Векторы тока и напряжения будут совпадать (рис. 3.5).

Для элемента, обладающего емкостью, известно выражение:

1 t

uc (t) = C ∫0 iC (t)dt.

Применяя к нему комплексную форму представления тока и напряжения, получим:

1

t

e jωt dt =

1

ImC e jωt .

UmC

(t) =

∫

ImC

C

jωC

0

j

π

− j

π

Учитывая, что j

= e

− j

= e

2 приходим к выражению:

2 ;

49

UmC (t)

или:

UmC =

= −

1

ωC

j 1 Im e jωt ,

ωC C

	π
j ϕi −
Im e	2 .		(3.12)

Таким образом видим, что напряжение на емкости отстает от тока на

90о (см. рис. 3.6).

Для элемента, обладающего индуктивностью, воспользуемся выра-

жением (1.11). Тогда

		.	e jωt )
UmL	(t) = L	d (I mL		= jωLImL e	jωt
		dt
или
					π
	jωL Im e jϕi			j ϕi +
UmL =			= ωL Im e		2 .		(3.13)

Видим, что напряжение на индуктивности опережает ток на 90о (рис. 3.7). В заключение лекции отметим, что выражения (3.11), (3.12) и (3.13) не имеют временных зависимостей. Это упрощает расчеты электрических цепей, сводя их к алгебраическим операциям с комплексными числами. Именно поэтому комплексное представление широко используется при анализе

электрических цепей переменного тока.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

3.1. Определите значение тока i(t) = 10 sin (314t + 30) в момент времени t = 0,005

С.

3.2.Сформулируйте определения и приведите выражения для среднего и действующего значений тока. Определите среднее и действующее значения тока по п. 3.1.

3.3.Приведите векторное изображение тока по п. 3.1. Сложите этот ток с током i(t) = 5 sin (314t – 30).

50

3.4.Можно ли на одной векторной диаграмме изобразить синусоидальные токи, имеющие разные частоты?

3.5.Что называют топографической векторной диаграммой электрической цепи? Сформулируйте правила построения векторных диаграмм.

3.6.Для каких действий над синусоидальным током удобно применять комплексную алгебраическую форму его представления?

3.7.Представьте ток по п.3.1. в комплексной алгебраической форме. Сложите его

стоком по п. 3.3.

3.8.Задан ток Im = 0,707 + j0,707. Представьте этот ток посредством действи-

тельной синусной функции.

3.9.Для каких действий над синусоидальным током удобно применять комплексную показательную форму его представления?

3.10.Приведите соотношения между токами и напряжениями на R, L, и C элементах в комплексной показательной форме.

3.11.Каковы фазовые соотношения между током и напряжением на R, L и С эле-

ментах?

ЛЕКЦИЯ 4. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА СОПРОТИВЛЕНИЯ И ПРОВОДИМОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

1. КОМПЛЕКСНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Введение комплексного представления токов и напряжений требует определить и сопротивление R, С и L элементов электрических цепей в комплексной форме – ZR, ZC и ZL.

Хорошо известно, что сопротивление резистора определяется как отношение напряжения на резисторе к току, протекающему через него. Если напряжение и ток представлены в комплексной форме, то